有理數(shù)知識點及經(jīng)典題型

1、有理數(shù)知識點及經(jīng)典題型正數(shù)和負數(shù)1正數(shù)和負數(shù)的概念負數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù) 0 既不是正數(shù)，也不是負數(shù)注意：字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時，-a是負數(shù)；當(dāng)a表示負數(shù)時，-a是正 數(shù)；當(dāng)a表示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數(shù)是正數(shù)，帶負號的數(shù)是負數(shù)， 這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷） 正數(shù)有時也可以在前面加“ +”，有時“+”省略不寫。所以省略“ +”的正數(shù)的符號是正 號。2. 具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：零上8C表示為：+8C ；零下8C表示為：-8 C3.0表示的意義0表示“沒有”，如教

2、室里有0個人，就是說教室里沒有人；0是正數(shù)和負數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。有理數(shù)1. 有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）正分?jǐn)?shù)和負分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)正整數(shù)，0,負整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。n是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。也是奇數(shù)。2.有理數(shù)的分類按有理數(shù)的意義分類r正整數(shù)整數(shù)S 0I負整數(shù)注意：引入負數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5按正、負來分正整數(shù) 正有理數(shù)*正分?jǐn)?shù)

3、有理數(shù)J 0（0不能忽視）正分?jǐn)?shù)I C負整數(shù)負有理數(shù)I負分?jǐn)?shù)總結(jié)：正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負整數(shù)（也叫自然數(shù)） 負整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù) 正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負有理數(shù) 負有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)數(shù)軸1數(shù)軸的概念 規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意：數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素， 三者缺一不可；同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定 的。2. 數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，正有理數(shù)可用原點右邊的點表示，負有理數(shù) 可用原點左邊的點表示，0用原點表示。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來， 但數(shù)

4、軸上的點不都表示有理數(shù)，也就是說, 有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是對應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點n不是有理數(shù)）3. 利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)比較，距離原點遠的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。4. 數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù)；最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù)；最大的負整數(shù)是-1，無最小的負整數(shù)5. a可以表示什么數(shù)a0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a0；a0表示a是負數(shù)；反之，a是負數(shù)，則a0時，-a0 （正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)）當(dāng)a0 （負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當(dāng)a=0時，-a=0，（ 0的相反數(shù)是0

5、）考試常考：已知a,b互為相反數(shù)，立馬要想到 a+b=0.6. 多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律：“ +”號的個數(shù)不影響化簡的結(jié)果，可以直接省略；“-”號的個數(shù)決定最后化簡結(jié)果；即：“-”的個數(shù)是奇數(shù)時，結(jié)果為負，“-”的個數(shù)是偶數(shù)時，結(jié)果為正。11練習(xí) 1.-（-3 ）（-4 ）- -（-5）- -（ 2）2 5絕對值1絕對值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。2. 絕對值的代數(shù)定義一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.可用字母表示為： 如果a0,那么|a|=a ； 如果a0, v |a|=a （非負數(shù)的絕對值等于本身

6、；絕對值等于本身的數(shù)是非負 數(shù)。） a 0， |a|=-a（非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)；絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3. 絕對值的性質(zhì)任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a| 0。即0的絕對值是0;絕對值是0的數(shù)是0.即：a=0 |a|=0 ；一個數(shù)的絕對值是非負數(shù)，絕對值最小的數(shù)是0.即：|a| 0；任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即：|a| a；絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。即：若 |x|=a （a0），則x= a； 互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b| ；絕對值相等的兩數(shù)相等

7、或互為相反數(shù)。即：|a|=|b| ，則a=b或a=-b ；若幾個數(shù)的絕對值的和等于 0,則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0 ，則a=0且b=00 時，|a|=a；當(dāng) a0時，a+ba當(dāng)b0時，a+ba當(dāng)b=0時，a+b=a4. 有理數(shù)減法法則減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。5. 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加 法法則進行計算。在和式里，通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。 如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的

8、讀法：按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”按運算意義讀作“負8減7減6加5”6. 有理數(shù)加減混合運算中運用結(jié)合律時的一些技巧：I .把符號相同的加數(shù)相結(jié)合(同號結(jié)合法)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)=-33+18-15-1+23=(-33-15-1)+(18+23)=-49+41=-8n .把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合(湊整法)(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)=6.6-5.2+3.8-2.6

9、-4.8=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8=4-10+3.8=7.8-10=-2.2（將減法轉(zhuǎn)換成加法）（省略加號和括號）（把符號相同的加數(shù)相結(jié)合） （運用加法法則一進行運算） （運用加法法則二進行運算）（將減法轉(zhuǎn)換成加法）（省略加號和括號）（把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合）（運用加法法則進行運算）（把符號相同的加數(shù)相結(jié)合，（得出結(jié)論）并進行運算）E .把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合（同分母結(jié)合法）3 13217一 -一 + 一 - 一 + 一 - 一5245283 2、/11、/37、原式=(-)+(- + )+(+)55224811=-1+0- =-188IV .既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)

10、的運算要統(tǒng)一后再結(jié)合(先統(tǒng)一后結(jié)合)3 12(+0.125)-(-33 )+(-31)-(-102)-(+1.25)4 83原式=(+ 1 )+(+33 )+(-31 )+(+102)+(-1 1)8483413121=+3 -3+10 -1 848343 1112=(33-11 )+(1 -31 )+10 24 488312=2-3+1023=-3+13=1016V .把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合(先拆分后結(jié)合)C 1 6“1,7-3 +10-12 +4 5 112215原式=(-3+10-12+4)+(- + )+(-)5 151122411=-1+ 4 + 1115 22 8 157=-1+ +

11、 =-30 3030w.分組結(jié)合2-3-4+5+6-7-8+9 +66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0VD .先拆項后結(jié)合(1+3+5+7 - +99) - (2+4+6+8 +100)有理數(shù)的乘除法1. 有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；(“同號得正，異號得負”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過兩個，就必須運用法則三)法則二：任何數(shù)同0相乘，都得0；法則三：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù)；法則四：幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為 0,則積等于0.

12、2. 倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a -=1 (aa工0)，就是說a和-互為倒數(shù)，即a是-的倒數(shù)，-是a的倒數(shù)。aaa注意：0沒有倒數(shù)； 求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個分?jǐn)?shù)的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的 倒數(shù)時，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置； 正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。(求一個數(shù)的倒數(shù)，不改變這個數(shù)的性質(zhì))； 倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。考試經(jīng)常考：已知a,b互為倒數(shù)，立馬要想到ab=1.例2.已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對值為5試求下式的值：x2 -(a b cd) (a b)199

13、8(-cd)19993. 有理數(shù)的乘法運算律乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即 ab=ba 乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即 (ab)c=a(bc).乘法分配律：一般地，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘， 在把積相加。即a(b+c)=ab+ac4. 有理數(shù)的除法法則（1除以一個不等0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。（2兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得05. 有理數(shù)的乘除混合運算（1乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果。（2）

14、有理數(shù)的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照先乘除，后加減 的順序進行。練習(xí)3快速計算（1） 33-15-6-減法沒有結(jié)合律！(2)(-3) 除法沒有結(jié)合律(3)60-8-(/)除法沒有分配律1(4)(弓同一級運算時一定要從左向右有理數(shù)的乘方1. 乘方的概念求n個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。2. 乘方的性質(zhì)（1）負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕的正數(shù)。（2）正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次幕都是0。(T)2008練習(xí) 4：計算：（-2）232（-2）2-22233練習(xí)5. n為正整數(shù)時，（_1）n +（1）n1的值是（）

15、A. 2 B . -2 C . 0 D .不能確定練習(xí) 6: 1.計算：x（_4f J丄 i14丿i 8丿2.已知 |x+2 | + (y4丫 =0，求 x y 的值練習(xí) 7：觀察下列算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：77，72 =49，7=343 , 74 =2401，75 =16807 ,76 =117649，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出：72011的末位數(shù)字是 。練習(xí)&某校初一年級共有8個班，以每班65人為標(biāo)準(zhǔn)，超過的人數(shù)記為正數(shù)，不足的人 數(shù)記為負數(shù)，統(tǒng)計情況記錄如下：-1，-6，+2, -3，+4, 0, -7，+3,求該校初一年級總?cè)?數(shù)。有理數(shù)的混合運算做有理數(shù)的混合運算時，應(yīng)注意以下運算順序：1. 先乘方

16、，再乘除，最后加減；2. 同級運算，從左到右進行；3. 如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成a 10n的形式（其中1 a 0，則 x y=.2 2113. x與2 -的差為_，則一x= .224 .近似數(shù)1.50精確到，78950用科學(xué)記數(shù)法表示為11115.按規(guī)律寫數(shù)1， 1，1，丄，第6個數(shù)是24 816二、選擇題1. 下列說法正確的是（）A. 最小的有理數(shù)是0;B. 最大的負整數(shù)是一1;C. 最小的自然數(shù)是1;D. 最小的正數(shù)是1.2. 下列說法正確的是（）A. 兩個有理數(shù)的和為零，則這兩個有理數(shù)都為0;B. 兩個有理數(shù)的和一定

17、大于其中任何一個加數(shù)；C. 兩個有理數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個數(shù)中至少有一個加數(shù)是正數(shù)；D. 兩個有理數(shù)的和為負數(shù)，則這兩個數(shù)一定都是負數(shù).3. 下列說法正確的是（）A. 一個正數(shù)減去一個負數(shù)，結(jié)果是正數(shù)；B. 零減去一個數(shù)一定是負數(shù)；C. 一個負數(shù)減去一個負數(shù)，結(jié)果是負數(shù)；D. “ 2 3”讀作“負2減負3”4. 下列說法正確的是（）A. n個有理數(shù)相乘，當(dāng)因數(shù)是奇數(shù)個時，積為負；B. n個有理數(shù)相乘，當(dāng)正因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；C. n個有理數(shù)相乘，當(dāng)負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；D. n個有理數(shù)相乘，當(dāng)積為負時，負因數(shù)有奇數(shù)個 .5. 下列說法正確的是（）A. 相反數(shù)是本身的數(shù)是1和0;B. 倒

18、數(shù)是本身的數(shù)是1和0;C. 絕對值是本身的數(shù)是0和正數(shù)；D. 平方等于64的數(shù)是8.6. 已知字母a、b表示有理數(shù)，如果a+b=0,貝U下列說法正確的是（）B.a、b都為0a與b的絕對值相等）D. 8 或-8A . a、b中一定有一個是負數(shù)C. a與b不可能相等D.7、一個數(shù)的平方為16,則這個數(shù)是（A. 4或-4 B. -4 C. 4&絕對值大于2且小于5的所有整數(shù)的和是A. 7 B. 7 C. 0 D. 510、一 _4 3等于（）A. -12 B. 12 C. -64 D. 6411、數(shù)軸上的點A、B、C D分別表示數(shù)a b、c、d,已知A在B的右側(cè)，C在B的左側(cè),、一8(-25) (-0.02)3、卜|+|-計卜36）-1 D在B、C之間，則下列式子成立的是（）A、 abcdB、bcdaC、cdbaD、 cbd-0.5，貝U a是正數(shù)B、若 a 0，貝U a b，則 abD、若 |a| =|b|，則 a = bab 014、a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A、 a+b0 B 、 a+c0 D三、計算1、-5