初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題典型例題含答案分析

1、 . 中考數(shù)學(xué)最值問(wèn)題總結(jié) 。，“線段的平移”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”1考查知識(shí)點(diǎn)：、“兩點(diǎn)之間線段最短” 、二次函數(shù)中最值問(wèn)題） 32、代數(shù)計(jì)算最值問(wèn)題 （ 二次函數(shù)頂點(diǎn)） 配方求多項(xiàng)式取值 問(wèn)題原型：飲馬問(wèn)題 造橋選址問(wèn)題 （完全平方公式 出題背景變式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。 解題總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”B ： 幾何基本模型lBA 、同旁的兩個(gè)定點(diǎn)是直線條件：如下左圖，A lPB?PPA 上確定一點(diǎn)的值最小問(wèn)題：在直線，使l ?llBAAA 的對(duì)稱點(diǎn)交方法：作點(diǎn)于關(guān)于直線，連結(jié)P ?BAPPA?PB? 點(diǎn)的值最小，則?A是

2、等邊三是正方形，ABE1、如圖，四邊形ABCD例 ，BN逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B角形，M為對(duì)角線BD（不含 、CM連接EN、AM ；ENB（1）求證：AMB 的值最?。稽c(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM（2）當(dāng)M 的值最小，并說(shuō)明理由；點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM當(dāng)M ）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)。（3 2，D，交By軸于），交x軸于A、，拋物線例2、如圖13y=ax1,4bxc(a0)的頂點(diǎn)為（ ）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0其中 ）求拋物線的解析式（1，2E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，交y軸于點(diǎn)F，其中2（）如圖14，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E、GH，使D軸上是否存在一點(diǎn)若直線

3、PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則x的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)H若存在，求出這個(gè)最小值及G、FH四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最小. 說(shuō)明理由作直線，過(guò)點(diǎn)M作x的垂線，垂足為MT3（）如圖15，拋物線上是否存在一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存，若存在，求出點(diǎn)BMDT，使，連接于點(diǎn)，交線段MNBDADNMDDNM. 在，說(shuō)明理由9 / 1 . 在a,b(b2a),且點(diǎn)F1，四邊形AEFG與ABCD都是正方形，它們的邊長(zhǎng)分別為例3、如圖 上（以下問(wèn)題的結(jié)果可用a,b表示）AD; S）求（ 1DBF; 0S中的得圖2,求圖45 (2) 把正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2DBF?最小值是否存在最大值,S在旋轉(zhuǎn)

4、過(guò)程中旋轉(zhuǎn)任意角度(3) 把正方形AEFG繞點(diǎn)A,DBF 試求出最大值、最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。如果存在, 12x+1y=3y=ax?+bx兩點(diǎn)，B交于與拋物線例4、A如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線，2重B，P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A的縱坐標(biāo)為點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B3。點(diǎn)D 于點(diǎn)，作PDAB軸的垂線交直線合），過(guò)點(diǎn)P作xAB與點(diǎn)CACPsin? 及（1）求a，b的值m 的橫坐標(biāo)為）設(shè)點(diǎn)（2Pm 長(zhǎng)的最大值；的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD 用含m使這兩個(gè)把PCPDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的值，線段PB 連接，m. 109三角形的面積之比為：？若存在，直接寫(xiě)出值；

5、若不存在，說(shuō)明理由9 / 2 . 32bxax?y?A(4,0)tanAOB=經(jīng)過(guò)點(diǎn)中，AB=AO=4，,拋物線5例、如圖，C的內(nèi)接AOB4. ）與點(diǎn)（-2,6 1）求拋物線的函數(shù)解析式；（運(yùn)動(dòng)點(diǎn)與mC相切于點(diǎn)A，交y于點(diǎn)D.P在線段OB上，從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B（2）直線個(gè)單P的速度為每秒1點(diǎn)DDA上，從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；在線段動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q 的值；tQ的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)，當(dāng)PQAD時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間位長(zhǎng)，點(diǎn). 的坐標(biāo)軸下方部分的圖象上，當(dāng)ROB面積最大時(shí)，求點(diǎn)Rx3（）點(diǎn)R在拋物線位于 、例1 是等邊三角形，）證明：（1ABE BA=BE，ABE=60 MBA=即NBEABE-MBN-，MBN=

6、60 ABN=ABN 分）5SASENBAMB MB=NB又， （）（9 / 3 . 解： （2）當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最?。?分） 如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)， AM+BM+CM的值最?。?分） 理由如下：連接MN，由（1）知，AMBENB， AM=EN， MBN=60，MB=NB， BMN是等邊三角形 BM=MN AM+BM+CM=EN+MN+CM（10分） 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)（11分） 24?1)(x?y?a）代0（例2、

7、解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：3，依題意，將點(diǎn)B224?(x?1)y1)a(3?4?0? 1入，得： 所求拋物線的解析式為： 解得：a 軸對(duì)稱，與點(diǎn)I關(guān)于x）如圖（26，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F HI，則、HG、GD、GEHF、 在x軸上取一點(diǎn)H，連接HFHI ），b（k0 設(shè)過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：ykx24x?1)y?( x，得2代入拋物線2E 點(diǎn)在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，將234?(2?1)?y ）2，3點(diǎn) E坐標(biāo)為（24?(x1)?yD 軸交于點(diǎn)軸、圖像分別與xy又拋物線 A、B、9 / 4 . 201)?4?(x? 3 或y0時(shí)，x，x1 當(dāng)3, 4 當(dāng)x0時(shí)

8、，y1 3），點(diǎn)B（，0），點(diǎn)D（0，3） 點(diǎn)A（1，0 又拋物線的對(duì)稱軸為：直線x1， 點(diǎn) D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，GDGE 、點(diǎn)E（2，3）代入ykxb，得：A分別將點(diǎn)（1，0）1?k?b?0k? 解得： ?1b?b?32k?1 yx過(guò)A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為： ，1） 點(diǎn)F坐標(biāo)為（0 當(dāng)x0時(shí)，y1 DF =2 軸對(duì)稱， F與點(diǎn)I關(guān)于x 又點(diǎn) 0，1） 點(diǎn) I坐標(biāo)為（22225?DI2?2?4EI?DE 是一個(gè)定值，的周長(zhǎng)最小，由于DF 又要使四邊形DFHG HI最小即可 只要使DGGH 由圖形的對(duì)稱性和、，可知， HI GHGHHFEG DG 最小EI為一條直線時(shí)，EGGHHI 只有

9、當(dāng)0)x?b(k?y?k 1）兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：，）、I（0，3 設(shè)過(guò)E（2，111by?kx ，得：，1）代入3）、點(diǎn)I（0分別將點(diǎn)E（2，113?k?b2?11 ?1?b?12?k?1 解得： ?1?b?11 A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y2x過(guò) 1x0時(shí)，x1 時(shí)，y1；當(dāng)y 當(dāng) ； 21 0，點(diǎn)H坐標(biāo)為（，），坐標(biāo)為（ 點(diǎn)G112EI DGGHHFDF的周長(zhǎng)最小為： 四邊形DFHGDF 由和，可知： 52?2 EI DF 52?2 四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為 。 9 / 5 . ， （3）如圖7，由題意可知，NMDMDBMDNM? 要使，DNMBMD，只要使即可，BDMD2BDMD

10、NM? 即： ，0），由MNMBD的坐標(biāo)為（，可得a 設(shè)點(diǎn) AMNABD， NMAM? ABBD32，ABBD4 ）可知，AM1a，、再由（1）（2AM?BD(1?a)?3232(1?MN?a)? 4AB42222?9?MD?ODa?OM， 322(1?a)9?3a2? 式可寫(xiě)成： 43?aa?3（不合題意，舍去）解得： 或23，0） 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（22?1)4?(xy圖像上， 又點(diǎn)T在拋物線315 yx時(shí)， 當(dāng)22315，）T的坐標(biāo)為（. 點(diǎn)22例3、 2222a。 ，即=aaAF=在解：（1）點(diǎn)FAD上，AFDF?b?2a。 11132abb?2ab?）?b?ABS?DF?（?。 DBF?

11、2222（2）連接DF，AF，由題意易知AFBD， 四邊形AFDB是梯形。 DBF與ABD等高同底，即BD為兩三角形的底。 由AFBD，得到平行線間的距離相等，即高相等， 9 / 6 . 12bS?S? 。ABDDBF?2 AFAA（點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，3為半徑的圓。）F正方形為圓心，AEFG點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)在繞 2a時(shí)，存在最大值及最小值，第一種情況：當(dāng)b2b ，BFD的邊BD= 取得最大、最小值。S點(diǎn)到BD的距離取得最大、最小值時(shí)，當(dāng)FBFD22ab?12b=的最大值?2a)(b?2b? ，如圖，當(dāng)DFBD時(shí)，SBFD22222ab2b?1=的最小值?2a)(b?2b? 。SBFD222 時(shí)，存

12、在最大值，不存在最小值，第二種情況：當(dāng)b=2a22abb?=的最大值? S。BFD21x+1=0 ）。（2，）由0，得到x=2，A（例4、解：121x+1=3 。34，由），得到x=4，B（ 2 23y=ax?+bx 兩點(diǎn)，A、B經(jīng)過(guò)1?a=?3=0?2b4a?2 。，解得?13=316a+4b?b=?2? 。1），軸交于點(diǎn)E，則E（0與設(shè)直線ABy5 AE=。根據(jù)勾股定理，得 。軸，ACP=AEOPCy522OA?AEO=?sinACP=sin 。5AE59 / 7 . 1123y=x?x 。）可知拋物線的解析式為（2）由（122111?2mmm?3mm+1?， PP的橫坐標(biāo)為，得由點(diǎn)m C

13、。，?222?1111?22+m+4m?m?3?m+1m?PC= 。?2222? 529515?2?2+m?sin?ACP=?m1+m+4?=?PD?PC ，中，RtPCD在?5525? 595?0PD。 有最大值，當(dāng)m=1時(shí)，55325或m=m 值，存在滿足條件的。92=0+4b16a?2bxy=ax+ 中，得方程組，0、解：（1）將點(diǎn)A（4，）和點(diǎn)（-2，6）的坐標(biāo)代入例5?=6-2b4a?1?=a1? 2xx-2y=. 拋物線的解析式為解之，得.2? 2?=-2b?E. OB于）連接AC交（2?AOAB? A ACm， 弦 AB=AO，ACOB，mOB. 直線m切C于 .33 OAD=AOB，OA=4 tanAOB=3. ，OD=OAtanOAD=4 443=2.4. F.則OF=OAsinOAD=4作OFAD于 5FQ= t. ，若PQAD，則FQ=OP= t.DF=DQt秒時(shí)，OP=t,DQ=2tOD2?OF2=1.8秒中，t=DF=. ODF124). xR(x, x2x) (0（3）令 212+2x. OG= xI.于H交y軸于則RG= x，G 作RGy軸于作RHOB 2534.IG=x IR= x, RtRIG