高考數(shù)學(xué)-計(jì)數(shù)原理-知識(shí)匯總

1、計(jì)數(shù)原理課表要求1、會(huì)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；2、理解排列概念，會(huì)推導(dǎo)排列數(shù)公式并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；3、理解組合概念，會(huì)推導(dǎo)組合數(shù)公式并能解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；4、綜合應(yīng)用排列組合知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；5、會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題；6、會(huì)用二項(xiàng)式定理求某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或展開(kāi)式系數(shù)，會(huì)用賦值法求系數(shù)之和。突破方法1加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，深刻理解分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理、排列組合等基本概念，牢固掌握二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。2加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)方法的掌握和應(yīng)用，特別是解決排列組合應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，注重方法的選取。比如：直接法、間接法等；幾何問(wèn)題、涂色問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題

2、、其他實(shí)際問(wèn)題等；把握每種方法使用特點(diǎn)及使用范圍等。3重視數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，注重?cái)?shù)學(xué)思想的應(yīng)用，在解題過(guò)程中注重化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，將不同背景的問(wèn)題歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模型求解；注重?cái)?shù)形結(jié)合、分類討論思想、整體思想等，使問(wèn)題化難為易。知識(shí)點(diǎn)1、分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有：N=m1+m2+mn種不同的方法。注意：（1）分類加法計(jì)數(shù)原理的使用關(guān)鍵是分類，分類必須明確標(biāo)準(zhǔn)，要求每一種方法必須屬于某一類方法，不同類的任意兩種方法是不同的方法，這時(shí)分類問(wèn)題中所要求的“不重

3、復(fù)”、“不遺漏”。（2）完成一件事的n類辦法是相互獨(dú)立的。從集合角度看，完成一件事分A、B兩類辦法，則AB=,AB=I（I表示全集）。（3）明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成這件事可以有哪些辦法，怎樣才算是完成這件事。2、分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m1m2mn種不同的方法。注意：（1）明確題目中所指的“做一件事”是什么事，單獨(dú)用題中所給的某種方法是不是能完成這件事，是不是要經(jīng)過(guò)幾個(gè)步驟才能完成這件事。（2）完成這件事需要分成若干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才

4、算完成這件事，缺少哪一步，這件事都不可能完成。（3）根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步去做，才能完成這件事，各步之間不能重復(fù)也不能遺漏。3、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于完成一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題。區(qū)別：分類計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成。分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理體現(xiàn)了解決問(wèn)題時(shí)將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)。要注意“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系。

5、4、解決基本計(jì)數(shù)原理問(wèn)題所用的思想方法及技巧（1）建模法：建立數(shù)學(xué)模型，將排列組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，是計(jì)數(shù)方法中的基本方法。（2）枚舉法：利用枚舉法（如樹(shù)狀圖）可以使問(wèn)題的分析更直觀、清楚，便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而形成恰當(dāng)?shù)姆诸惢蚍植降脑O(shè)計(jì)思想?？傊瑢?duì)于一些較復(fù)雜的既要用分類加法計(jì)數(shù)原理又要用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)禺嫵霰砀瘢侠斫；蛴脴?shù)狀圖枚舉全部結(jié)果是解決問(wèn)題的基本思想方法。5、兩個(gè)原理的綜合運(yùn)用（1）必須分清楚兩個(gè)原理的條件和結(jié)論。如果完成一件事情有兩類方案，這兩類方案彼此之間是相互獨(dú)立的，無(wú)論哪一類方案中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分類計(jì)數(shù)原理

6、。如果完成一件事情需要分成幾個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有步驟，才能完成這件事情，而完成每一個(gè)步驟有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分步計(jì)數(shù)原理。（2）在解決具體問(wèn)題時(shí)，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么簡(jiǎn)單地說(shuō)“分類互斥”“分步互依”，關(guān)鍵是看能否獨(dú)立完成這件事。與此同時(shí)還要注意分類、分步不能重復(fù)和遺漏。（3）對(duì)于較為復(fù)雜的既要用分類計(jì)數(shù)原理，又要用分步計(jì)數(shù)原理的問(wèn)題，我們可以根據(jù)題意恰當(dāng)合理的畫出示意圖或列出表格，使問(wèn)題的實(shí)質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來(lái)，從而便于我們解題。（4）分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是排列、組合問(wèn)題

7、的最基本的原理，同時(shí)也是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，還是求解排列、組合問(wèn)題的基本思想方法。6、排列與排列數(shù)公式從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。注意：（1）排列定義包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“按照一定順序”排列。（2）定義中“一定順序”就是說(shuō)與位置有關(guān)，在實(shí)際問(wèn)題中，要由具體問(wèn)題的性質(zhì)和條件決定，這一點(diǎn)是與組合的根本區(qū)別。7、排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào) 表示。排

8、列數(shù)公式：注意：我們把正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示。規(guī)定0！=1。當(dāng)m=n時(shí)，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，記為注意：（1）排列數(shù)公式適用于具體計(jì)算以及解當(dāng)m較小時(shí)含排列數(shù)的方程和不等式。在運(yùn)用該公式時(shí)要注意它的特點(diǎn)：第一個(gè)因數(shù)是n，最后一個(gè)因數(shù)是n-m+1，共m個(gè)連續(xù)自然數(shù)的連乘積。（2）排列數(shù)公式Anm= n!n-m！，適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，則應(yīng)注意先提取公因式，再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“mn，mN*，nN*”的運(yùn)用。8、排列的應(yīng)用8.1解排列應(yīng)用題的基本思想：解簡(jiǎn)單的排列應(yīng)用題首先必須認(rèn)真分析理

9、解題意，看能否把問(wèn)題歸結(jié)為排列問(wèn)題，即是否有順序。如果是的話，再進(jìn)一步分析，這里n個(gè)不同的元素指的是什么，以及從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的每一種排列對(duì)應(yīng)的是什么事情，然后才能運(yùn)用排列數(shù)公式求解。8.2對(duì)于有限制條件的排列應(yīng)用題，要注意：（1）排列的有序性；（2）對(duì)受限制條件的位置與元素首先排列，并適當(dāng)選用直接發(fā)或間接法；（3）從位置出發(fā)的“填空題”和不相鄰問(wèn)題的“插空法”是解答排列應(yīng)用題中常用的方法。某些元素的相鄰問(wèn)題，常用“捆綁法”，先看成一個(gè)元素；（4）要注意通過(guò)排列應(yīng)用題，神話對(duì)分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的理解，培養(yǎng)“全局分類”和“局部分布”意識(shí)。8.3在有些排列問(wèn)題中，某些元素的前

10、后順序是固定的（但不一定相鄰）。解決這類某些元素順序確定的問(wèn)題的基本方法有兩種：一是整體法，即若有m+n個(gè)元素排成一列，其中有m個(gè)元素之間的順序固定不變，將這m+n個(gè)元素任意排成一列，共有Am+nm+n種不同的排法，然后任取一個(gè)排列，固定其他的n個(gè)元素的位置不動(dòng)，把著m個(gè)元素交換順序，共有Amm種排法，其中只有一個(gè)排列是我們需要的，因而共有Am+nm+nAmm種不同的排法。二是插空法，即逐步插空法。9、組合從n個(gè)不同的元素中任取m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.注意：（1）取出的m個(gè)元素不講究順序，也就是說(shuō)元素沒(méi)有位置的要求，無(wú)序性是組合的本質(zhì)。（2）組合與

11、排列的異同：組合與排列的相同點(diǎn)是“從n個(gè)不同元素中任意取出m個(gè)不同元素”；不同點(diǎn)是組合“不管元素的順序并成一組”，而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”，因此區(qū)分某一問(wèn)題是組合還是排列，關(guān)鍵是看取出的元素有無(wú)順序。10、組合數(shù)與組合數(shù)公式從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cnm表示。組合數(shù)公式：或規(guī)定：Cn0=1。注意：（1）組合與組合數(shù)是兩個(gè)不同的概念。（2）在公式Anm中，我們規(guī)定0！=1，因而有Cnn= n!n！0！=1，同樣Cn0=1.11、組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)性質(zhì)1：一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素后，剩下個(gè)元素因?yàn)?/p>

12、從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的n - m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n個(gè)元素中取出n - m個(gè)元素的組合數(shù)，即：在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想注意：（1）該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對(duì)稱性。（2）若mn2，通常不直接計(jì)算Cnm，而改為計(jì)算Cnn-m。性質(zhì)2：+一般地，從這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素，一類不含有含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m -1個(gè)元素與組成的，共有個(gè)；不含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，共有個(gè)根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另

13、一個(gè)性質(zhì)在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想注意：（1）左端下標(biāo)為n+1，右端下標(biāo)都為n，相差1；上標(biāo)左端與右端的一個(gè)一樣，右端的另一個(gè)比它們少1.（2）要注意性質(zhì)+的順用、逆用、變形應(yīng)用，順用是將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè)，逆用則是“合二為一”。（3）變形：-。12、幾個(gè)常用組合數(shù)公式13、組合的應(yīng)用13.1有限制條件的組合應(yīng)用題（1）有限制條件的組合問(wèn)題的限制條件主要表現(xiàn)在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，通常用直接法或間接法。解決該類問(wèn)題用“直接法”時(shí)，要注意合理分類，用“間接法”時(shí)，要注意“至少”“最多”“恰好”等詞語(yǔ)的含義，做到既不重復(fù)又不遺漏。（2）有關(guān)

14、排列、組合的混合問(wèn)題，應(yīng)遵循先選后排的原則。（3）解答排列組合應(yīng)用題的總體思路是：整體分類；局部分布；辯證地看待元素的位置；一些具體問(wèn)題有時(shí)需要把它抽象成組合模型。13.2幾何中的組合應(yīng)用問(wèn)題（1）解決幾何圖形中的組合問(wèn)題，首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問(wèn)題的常規(guī)方法分析、解決問(wèn)題，其次要從不同類型的幾何問(wèn)題中抽象出組合問(wèn)題，往往尋找一個(gè)組合的模型加以處理。（2）圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算。常用直接法，也可采用排除法。（3）在處理幾何問(wèn)題中的組合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決。13.3分組、分配問(wèn)題分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的：在分組問(wèn)題中，組

15、與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同即可；而在分配問(wèn)題中，即使兩個(gè)組元素個(gè)數(shù)相同，但因人不同，仍然是可區(qū)分的。對(duì)于這類問(wèn)題，必須遵循先分組后排列，若平均分m組，則分法=取法m！.13.4若干集合中選取元素問(wèn)題對(duì)比較復(fù)雜的在若干集合中選取元素的問(wèn)題，一般需分類求解。只要能運(yùn)用分類思想正確地對(duì)待所選法分類，又能正確地根據(jù)題目要求合理地考察步驟，就可以順利地求得答案。在分類時(shí)，要注意做到既不重復(fù)又不遺漏。14、解決排列組合綜合題常用的方法與技巧14.1關(guān)于排列組合問(wèn)題的一些解題技巧：特殊元素優(yōu)先安排；合理分類與準(zhǔn)確分步；排列、組合混合問(wèn)題先選后排；相鄰問(wèn)題捆綁處理；不相鄰問(wèn)題插空處理；定序問(wèn)題除法處理；分排問(wèn)題

16、直排處理；“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部；構(gòu)造模型；正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化。對(duì)于無(wú)限制條件的排列組合問(wèn)題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時(shí)間發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步。對(duì)于有限制條件的排列組合問(wèn)題，通常從以下三個(gè)途徑考慮：以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；先不考慮限制條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)。14.2排列、組合問(wèn)題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列。它主要用于解決“元素相鄰

17、問(wèn)題”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問(wèn)題”；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置。即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法；（7）平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有；（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問(wèn)題；（9）定位問(wèn)題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有；（10）指定元素排列組合問(wèn)

18、題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)。先C后A策略，排列；組合；從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列；組合；從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素。先C后A策略，排列；組合。15.二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有這個(gè)公式就叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式。其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)。注意：（1）二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng)；（2）二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念；（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開(kāi)式依a的降幕排列，b的升幕排列展開(kāi)；（4）二項(xiàng)式定理通常有如下變形：；（5）要注意逆用二項(xiàng)式定理來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。16、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開(kāi)式的第n+1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式。它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開(kāi)式的某些特定的項(xiàng)及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用。注意：（1）通項(xiàng)公式表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Cnr，而不是Cnr+1；（2）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；（3）a與b的次數(shù)之和為n。17、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cn