線性規(guī)劃在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用

1、線性規(guī)劃在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用例 設(shè)某工廠能夠制造A和B兩種產(chǎn)品制造A產(chǎn)品一公斤需要用煤9噸，勞動力3個工作日，電力4千瓦；制造B產(chǎn)品一公斤需要用煤4噸，勞動力10個工作日，電力5千瓦制造A產(chǎn)品一公斤能獲利7千元，制造B產(chǎn)品一公斤能夠獲利1萬2千元，該廠現(xiàn)有煤360噸，電力200千瓦，勞動力300個工作日問在這些現(xiàn)有資源的條件下，應(yīng)該制造A和B各多少公斤，才能獲得最大利潤建立線性規(guī)劃模型解 兩種產(chǎn)品消耗的資源與獲利情況如下表產(chǎn)品A（公斤）產(chǎn)品B（公斤）資源限制煤（噸）94360勞動力（工作日）310300電力（千瓦）45200利潤（萬元）0.71.2設(shè)應(yīng)制造產(chǎn)品A、B分別為公斤則問題的線性規(guī)劃模型

2、為：約束條件 例 化工廠現(xiàn)有A，B，C三個等級的原油，提煉甲、乙、丙三類不同的汽油產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表問各類產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少，可使工廠利潤最大？產(chǎn)品原油甲乙丙資源限量（公斤）每公斤成本（元）A20007.00B25006.00C22004.00售價（元/公斤）7.505.905.20解：設(shè)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別生產(chǎn)公斤，這三種產(chǎn)品分別使用原油則問題的線性規(guī)劃模型為約束條件： 例 汽油混合問題。一種汽油的特性可用兩種指標描述，用“辛烷數(shù)”來定量描述其點火性，用“蒸汽壓力”來定量描述其揮發(fā)性。某煉油廠有1，2，3，4種標準汽油，其特性和庫存量列于下表1。將這四種標準汽油混合，可得到標號為1，2的

3、兩種飛機汽油，這兩種飛機汽油的性能指標及產(chǎn)量需求列于表2。問應(yīng)如何根據(jù)庫存情況適量混合各種標準汽油，既滿足飛機汽油的性能指標，又使2號飛機汽油滿足需求，并使得1號飛機汽油產(chǎn)量最高。表1標準汽油辛烷數(shù)蒸汽壓力(g/cm2)庫存量(L)1107.57.1110-2380 000293.011.3810-2265 200387.05.6910-2408 1004108.028.4510-2130 100表2飛機汽油辛烷數(shù)蒸汽壓力(g/cm2)產(chǎn)量需求(L)1不小于91不大于9.9610-2越多越好2不小于100不大于9.9610-2不小于250 000設(shè)為飛機汽油中所用標準汽油的數(shù)量（L），于是為1

4、號飛機汽油的產(chǎn)量，為2號飛機汽油的產(chǎn)量。本問題要求 的最大值，約束條件為：（1）庫存量約束 （2）辛烷數(shù)約束（3）蒸汽壓力約束（4）2號汽油產(chǎn)量約束（5）例 某農(nóng)場有100公頃土地及150,000元資金可用于發(fā)展生產(chǎn)農(nóng)場勞動力情況為秋冬季3500人日，春夏季4000人日如勞動力本身用不了時可外出干活，春夏季收入為21元/人日，秋冬季為18元/人日該農(nóng)場種植三種作物：大豆、玉米、小麥，并飼養(yǎng)奶牛和雞種作物時不需要專門投資，而飼養(yǎng)動物時每頭奶牛投資4000元，每只雞投資30元養(yǎng)奶牛時每頭需撥出1.5公頃土地種飼料，并占用人工冬秋季為100人日，春夏季為50人日，年凈收入為4000元/每頭奶牛養(yǎng)雞時

5、不占用土地，每只雞需人工為秋冬季0.6人日，春夏季為0.3人日，年凈收入為20元/每只雞農(nóng)場現(xiàn)有雞舍允許最多養(yǎng)3000只雞，牛欄允許最多養(yǎng)32頭奶牛三種作物每年需要的人工及收入情況如下表所示：大豆玉米小麥秋冬季需人日數(shù)春夏季需人日數(shù)年凈收入（元/公頃）205017503575300010401200試決定該農(nóng)場的經(jīng)營方案，使年凈收入最大？解 用分別表示大豆、玉米、小麥的種植面積（公頃）；分別表示奶牛和雞的飼養(yǎng)數(shù)；分別表示秋冬季、春夏季多余的勞動力（人日），則問題的線性規(guī)劃模型為：約束條件：（1） 土地限制（2） 資金限制（3） 勞動力限制（4）牛欄、雞舍限制（5）變量非負限制，取整數(shù)。例 某食

6、品公司下設(shè)三個分廠,分別生產(chǎn)熟食品、罐頭食品和冷凍食品三個工廠一共生產(chǎn)八種產(chǎn)品，消耗十種原料，其中兩種原料是三個分廠都要用到的，其余八種原料每個分廠分別用其中的若干種，互不影響表1、表2、表3、表4給出了三個工廠生產(chǎn)的有關(guān)數(shù)據(jù)，要求建立這個問題的線性規(guī)劃模型表1 熟食品廠產(chǎn)品原料I II III原料每天供應(yīng)量ABC2 4 37 3 65 0 3101512單位產(chǎn)品利潤8 5 6表2 罐頭食品廠產(chǎn)品原料IV V VI原料每天供應(yīng)量DE3 1 22 4 379單位產(chǎn)品利潤9 7 9表3 冷凍食品廠產(chǎn)品原料VII VIII原料每天供應(yīng)量FGH8 57 96 4253020單位產(chǎn)品利潤6 5表4 三個

7、食品廠都用的原料數(shù)據(jù)產(chǎn)品原料I II III IV V VI VII VIII原料每天供應(yīng)量JK5 3 0 2 0 3 4 62 0 4 3 7 0 1 03020解 用分別表示八種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則問題的線性規(guī)劃模型為約束條件： 例 明興公司面臨一個是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，這三種產(chǎn)品都要經(jīng)過鑄造、機加工和裝配三個車間甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠生產(chǎn)才能保證質(zhì)量有關(guān)情況見下表；公司中可利用的總工時為：鑄造8000小時，機加工12000小時，裝配10000小時公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄

8、件應(yīng)多少由本公司鑄造？應(yīng)多少由外包協(xié)作？工時與成本甲乙丙每件鑄造工時（小時）5107每件機加工工時（小時）648每件裝配工時（小時）322自產(chǎn)鑄件每件成本（元）354外協(xié)鑄件每件成本（元）56-機加工每件成本（元）213裝配每件成本（元）322每件產(chǎn)品售價（元）231816解 設(shè)分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，設(shè)分別為由外協(xié)鑄造再由本公司機加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)計算每件產(chǎn)品的利潤如下：產(chǎn)品甲全部自制的利潤：23-（3+2+3）=15（元）產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤：23-（5+2+3）=13（元）產(chǎn)品乙全部自制的利潤：18-（5+1+2）=10（元）產(chǎn)品乙

9、鑄造外協(xié)，其余自制的利潤：18-（6+1+2）=9（元）產(chǎn)品丙的利潤：16-（4+3+2）=7（元）數(shù)學(xué)模型如下：計算結(jié)果：目標函數(shù)最優(yōu)值為29400，例 某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時間段所需司機和乘務(wù)人員數(shù)量如下：班次時間所需人數(shù)16：0010：0060210：0014：0070314：0018：0060418：0022：0050522：002：002062：006：0030 設(shè)司機和乘務(wù)人員分別在各時間段一開始時上班，并連續(xù)工作八小時，問該公交線路怎樣安排司機和乘務(wù)人員，能既滿足工作需要，又配備最少司機和乘務(wù)人員？ 解：設(shè)表示第個班次開始上班的司機與乘務(wù)人員數(shù)，這樣可以知道在第班工作的人數(shù)

10、應(yīng)包括第班次開始上班的人數(shù)和第班次開始上班的人數(shù)，例如應(yīng)有。又要求這六個班次開始上班的所有人員最少，即要求最小，這樣建立如下的數(shù)學(xué)模型：目標函數(shù)：約束條件：本問題的最優(yōu)解為，共需150人。例 某市場研究小組考慮下一步如何選擇廣告競爭計劃，在大量的調(diào)查研究之后，指定了幾種可供選擇的方案方案的特征數(shù)字如下：電視商業(yè)雜志報紙電臺流行雜志推銷運動可用資源影響人數(shù)（萬人）1002030404545費用（萬元）501530252510120需設(shè)計人員（人時）7002502002003004001500需推銷人員（人時）20010010010010010001200 廣告的目的是使受影響的顧客數(shù)為最大除上表

11、所給出的資源限制（資金、設(shè)計人員、推銷人員）外，還有如下約束條件：（1） 如果決定發(fā)起推銷運動，那么必須同時用電臺或流行雜志配合；（2） 公司不能同時在商業(yè)雜志和流行雜志上作廣告假定各種廣告手段所影響的顧客不同，不重復(fù)（即每一顧客只受一種廣告手段影響），問如何開展廣告宣傳？解 用A1A6分別表示電視、商業(yè)雜志、報紙、電臺、流行雜志、推銷運動等六種廣告方式設(shè) 目標函數(shù)和資源約束條件容易寫出后面兩個附加約束條件可表達為：（1） 如果決定發(fā)起推銷運動，那么必須同時用電臺或流行雜志配合這里電臺和流行雜志可以選一種與推銷運動配合，也可以兩種都選故（2） 公司不能同時在商業(yè)雜志和流行雜志上作廣告該約束條件

12、可描述為：綜合起來，該問題的數(shù)學(xué)模型為：約束條件： 注：若問題中的附加條件（1）改為：如果決定發(fā)起推銷運動，必須選用電臺和流行雜志之一與其配合，則該約束條件可描述為：指派問題（人力資源安排）例 已知下列五名運動員各種姿勢的50米游泳成績?nèi)缦拢築1張三B2李四B3王五B4趙六B5孫七A1仰泳37.732.933.837.035.4A2蛙泳43.433.142.234.741.8A3蝶泳33.328.538.930.433.6A4自由泳29.226.429.628.531.1試選拔一個四人組成的200米混合游泳接力隊，使其預(yù)期成績最好。解 設(shè)為0,1變量分別表示運動員是否參加泳姿例 某班有男同學(xué)3

13、0人，女同學(xué)20人，星期日準備去植樹，根據(jù)經(jīng)驗，男同學(xué)一天平均每人挖坑20個，或栽樹30棵，或給25棵樹澆水；女同學(xué)一天平均每人挖坑10個，或栽樹20棵，或給15棵樹澆水。問怎樣安排，才能使植樹最多。解 設(shè)男同學(xué)安排個挖坑、栽樹、澆水；女同學(xué)安排個挖坑、栽樹、澆水，則一天可挖坑個，栽樹棵，澆水棵?？芍矘鋽?shù)量：約束條件：進一步整理，可另一種模型： 例 有一個學(xué)生參加物理、外語、運籌學(xué)和管理學(xué)原理等四門課程的期末考試。除了必要的復(fù)習(xí)時間外，他還安排了4個機動時間單元，并預(yù)測了各門課程多復(fù)習(xí)若干個機動時間單元可得的成績?nèi)缦卤恚赫n程復(fù)習(xí)單元物理C1外語C2運籌學(xué)C3管理學(xué)原理C401234748085909365717375708792968386問該學(xué)生如何安排時間，可使總成績最高？解 設(shè)增加值 課程單元數(shù)B1B2B3B416617321182233161026341910263 例5 設(shè)有6輛卡車，需要派往6個不同的目的地。不同指派的成本見下表，求使總成本最低的指派方案。 目的地車輛D1D2D3D4D5D6A1466239512847A2243149657453