考試課后題答案

1、.2 二 證明題2. 已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為利用電荷守恒定律證明的變化率為解： (T就是方向符號(hào))與時(shí)間無(wú)關(guān)，取的一個(gè)分量為（p上的亂碼為p上一個(gè)點(diǎn)，rou也是，dv后都有一小撇）考慮到積分區(qū)域的表面比電荷所在區(qū)域大得多時(shí)，表面上的電流為0。=0所以 故得 3.證明：（1） 兩種介質(zhì)的分界面上不帶自由電荷時(shí)，電力線的曲折滿足，其中和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電力線與法線的夾角.（2） 當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有穩(wěn)恒電流時(shí)，分界面上電力線曲折滿足，其中分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。解：（1）考慮到界面上無(wú)自由電荷，故知： （2）一直導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有穩(wěn)恒電流故 又知穩(wěn)恒電流的電場(chǎng)與靜電場(chǎng)

2、之邊界條件相同，故 10.設(shè)和是滿足洛倫茲規(guī)范的失勢(shì)和標(biāo)勢(shì)。引入一矢量函數(shù)（即赫芝勢(shì)），使，證明；（字母上邊的均為方向符號(hào)，其中g(shù)為稱(chēng)號(hào)）證明：在洛倫茲規(guī)范 （1）下和遵從達(dá)朗貝爾方程：， （2）將 （3）代入（1）式得 （4）因?yàn)椋?）式對(duì)任意點(diǎn)任意時(shí)刻都成立，故方程（4）對(duì)任意點(diǎn)任意時(shí)刻也成立，因此括號(hào)內(nèi)兩個(gè)矢量最多只相差一個(gè)無(wú)散場(chǎng)，令其為0，便有 （5）三 計(jì)算題1 有一內(nèi)外半徑分別為r1和r2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止電荷，求（1） 空間各點(diǎn)的電場(chǎng)（2） 極化體電荷和極化面電荷分布解：（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)由于自由電荷均勻分布在介質(zhì)球內(nèi)，電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ(chēng)性分布，利用

3、高斯定理可解得（3） 極化體電荷和極化面電荷分布：在（范圍內(nèi)存在極化體電荷 或在r=r2 球面上的極化面電荷 (前邊是r=r2)在r=r1的球面上的極化面電荷 (前邊是r=r1)2.內(nèi)外半徑分別為r1和r2的無(wú)窮長(zhǎng)中空導(dǎo)體圓柱，沿向流有穩(wěn)恒自由電流Jf，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為。求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：沿中空倒替圓柱軸向流動(dòng)的均勻自由電流Jf所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度具有軸對(duì)稱(chēng)性，因而可應(yīng)用安培環(huán)路定律求三個(gè)不同區(qū)域的可分別算出現(xiàn)在計(jì)算磁化電流：磁化電流面密度為是柱面外法線單位矢徑當(dāng)r=r2時(shí)，當(dāng)r=r1時(shí) 16. 在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部（如圖），半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的

4、對(duì)稱(chēng)軸上，并與平面相距為b（ba），試用電象法求空間電勢(shì)。解：如圖，根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無(wú)限大接地導(dǎo)體平板和一點(diǎn)電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個(gè)模型，可確定三個(gè)鏡像電荷的電量和位置。，；，；，所以17.有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所 圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b， 求空間電勢(shì)。解：用電像法，可以構(gòu)造如圖所示的三個(gè)象電荷來(lái)代替兩導(dǎo)體板的作用。 20. 有一塊磁矩為m的小永磁體，位于一塊磁導(dǎo)率非常大的實(shí)物的平坦界面附近的真空中，求作用在小永磁體上的力。解：根據(jù)題意，因?yàn)闊o(wú)窮大平面的很大，則在平面上所有的H均和平面垂直，類(lèi)比于靜電場(chǎng)，構(gòu)造磁矩m關(guān)于平面的鏡像,則外場(chǎng)為：而 m

5、受力為：21.一平面電磁波以45從真空入射到的介質(zhì)，電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于入射面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。解：設(shè) n 為界面法向單位矢量，、分別為入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，則反射系數(shù)R 和折射系數(shù)T 定義為：， 又根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得， 根據(jù)折射定律可得：，代入上式，得， 22.有兩個(gè)頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個(gè)波沿x方向偏振，另一個(gè)沿y方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振。（反之，一個(gè)圓偏振可以分解為怎樣的兩個(gè)線偏振？）解：偏振方向在 x 軸上的波可記為在 y 軸上的波可記為合成得軌跡方程為：所以，合成的振動(dòng)是一個(gè)圓頻率為的沿 z 軸方

6、向傳播的右旋圓偏振。反之一個(gè)圓偏振可以分解為兩個(gè)偏振方向垂直，同振幅，同頻率，相位差為的線偏振的合成。(另一問(wèn))。23. 已知海水的，Sm-1，試計(jì)算頻率為50，106和109Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。解：取電磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度為：由于 ，所以，1） 當(dāng)Hz時(shí), m2） 當(dāng)Hz時(shí), m3） 當(dāng)Hz時(shí), mm26. 一對(duì)無(wú)限大的平行理想導(dǎo)體板，相距為b，電磁波沿平行于板面的z方向傳播，設(shè)波在x方向是均勻的，求可能傳播的波模和每種波模的截止頻率。解：在導(dǎo)體板之間傳播的電磁波滿足亥姆霍茲方程： 令是E的任意一個(gè)直角分量， 由于E在 x 方向上是均勻的，所以 在 y 方

7、向由于有金屬板作為邊界，所以取駐波解；在 z 方向是無(wú)界空間，取行波解。所以通解為： 由邊界條件：和定解，得到；且 ，（）又由得：A1 獨(dú)立，與A2，A3 無(wú)關(guān)，令kz =0 得截止頻率：30.設(shè)有兩根互相平行的尺，在各自靜止的參考系中的長(zhǎng)度均為,它們以相同速率v相對(duì)于某一參考系運(yùn)動(dòng),但運(yùn)動(dòng)方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上測(cè)量另一根尺的長(zhǎng)度。解：根據(jù)相對(duì)論速度交換公式可得系相對(duì)于的速度大小是 （1）在系中測(cè)量系中靜長(zhǎng)為0 l的尺子的長(zhǎng)度為 （2）將（1）代入（2）即得： （3）此即是在系中觀測(cè)到的相對(duì)于靜止的尺子的長(zhǎng)度。31.靜止長(zhǎng)度為l0的車(chē)廂，以速度v相對(duì)于地面S運(yùn)行，車(chē)廂的后壁以速

8、度u0向前推出一個(gè)小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解：根據(jù)題意取地面為參考系S，車(chē)廂為參考系S，于是相對(duì)于地面參考系S，車(chē)長(zhǎng)為， （1）車(chē)速為v，球速為 （2）所以在地面參考系S中觀察小球由車(chē)后壁到車(chē)前壁所以 （3）將（1）（2）代入（3）得： 32 一輛以速度v運(yùn)動(dòng)的列車(chē)上的觀察者，在經(jīng)過(guò)某一高大建筑物時(shí)，看見(jiàn)其避雷針上跳起一脈沖電火花，電光迅速傳播，先后照亮了鐵路沿線上的兩鐵塔。求列車(chē)上觀察者看到的兩鐵塔被電光照亮的時(shí)刻差。設(shè)建筑物及兩鐵塔都在一直線上，與列車(chē)前進(jìn)方向一致。鐵塔到建筑物的地面距離都是l0。解：取地面為靜止的參考系，列車(chē)為運(yùn)動(dòng)的參 考系。取 x 軸與 x軸平行同向，與列車(chē)車(chē)速方向一致，令t=0時(shí)刻為列車(chē)經(jīng)過(guò)建筑物時(shí)，并令此處為系與的原點(diǎn)，如圖。在系中光經(jīng)過(guò)的時(shí)間后同時(shí)照亮左右兩塔,但在系中觀察兩塔的位置坐標(biāo)為即：,時(shí)間差為33.在坐標(biāo)系中，有兩個(gè)物體都以速度u沿x軸運(yùn)動(dòng)，在系看來(lái)，它們一直保持距離l不變，今有一觀察者以速度v沿x軸運(yùn)動(dòng)，他看到這兩個(gè)物體的距離是多少？解：根據(jù)題意，取固著于觀察者上的參考系為系,又取固著于A B兩物體的參考系為系.在中,A B以速度 u 沿 x 軸運(yùn)動(dòng),相距為l；在系中,A B靜止相距為l 0，有： 又系相對(duì)于以速度