等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(第一節(jié)

1、示范觀摩教學(xué)教案等比數(shù)列的前項(xiàng)和（第一課時(shí)）藍(lán)田縣焦岱中學(xué)黃三虎一、教材分析從教材的編寫順序上來看，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是第一章“數(shù)列”第三節(jié)的內(nèi)容，一方面它是“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識(shí)也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)“數(shù)列的極限”等內(nèi)容作準(zhǔn)備.就知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上來看，它是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題中抽象出來的一個(gè)模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如分類討論、方程求解等在各種數(shù)列求和問題中有著廣泛的應(yīng)用；另外它在如“分期付款”、銀行存款（“零存整取”“定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存”）等實(shí)際問題的計(jì)算中也經(jīng)常涉及到.就內(nèi)容的人文價(jià)值上來看，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

2、公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)能力的良好載體教師教學(xué)用書安排“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”這部分內(nèi)容授課時(shí)間2課時(shí)，本節(jié)課作為第一課時(shí)，重在研究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，教學(xué)中注重公式的形成推導(dǎo)過程并充分揭示公式的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在聯(lián)系.二、教學(xué)目標(biāo)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和年齡特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：知識(shí)與技能目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問題過程與方法目標(biāo)：以數(shù)學(xué)故事為切入點(diǎn)，通過數(shù)據(jù)計(jì)算、公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識(shí)及探究問

3、題、分析與解決問題的能力，體會(huì)公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)情感與態(tài)度目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)故事、趣味數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勤于思考、敢于創(chuàng)新品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美閱讀數(shù)學(xué)人物故事，感受往圣前賢孜孜不倦追求科學(xué)真理的品質(zhì)，激勵(lì)學(xué)生求知?jiǎng)?chuàng)新的欲望.三、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用從教材體系來看，它為后繼學(xué)習(xí)提供了知識(shí)基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；從知識(shí)特點(diǎn)而言，蘊(yùn)涵豐富的思想方法；就能力培養(yǎng)來看，通過公式推導(dǎo)教學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用數(shù)學(xué)語

4、言交流表達(dá)的能力.突出重點(diǎn)方法：“抓三線、突重點(diǎn)”，即(一)知識(shí)技能線：情境故事公式推導(dǎo)公式運(yùn)用；（二）過程與方法線:特殊到一般、具體到抽象 錯(cuò)位相減法等；（三）能力線：觀察能力解決問題能力靈活運(yùn)用能力及嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.難點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)從學(xué)生認(rèn)知水平來看，學(xué)生的探究能力和用數(shù)學(xué)語言交流的能力還有待提高.從知識(shí)本身特點(diǎn)來看，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法和等差數(shù)列的的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法可比性低，無法用類比的方法進(jìn)行，它需要對(duì)等比數(shù)列的概念和性質(zhì)能充分理解并融會(huì)貫通，而知識(shí)的整合對(duì)學(xué)生來說恰又是比較困難的，而且錯(cuò)位相減法是第一次碰到，對(duì)學(xué)生來說是個(gè)新鮮事物.四、教學(xué)方法利用多媒體等輔

5、助教學(xué)，采用啟發(fā)和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式.五、教學(xué)過程1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大為贊賞，對(duì)他說：我可以滿足你的任何要求西薩說：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來后，國(guó)王大吃一驚為什么呢？我們也來算算。設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這個(gè)情境目的是在引入課題的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)此時(shí)設(shè)問：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥粒總數(shù) 帶著這樣的問題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來，他們想到用計(jì)算

6、器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定設(shè)計(jì)意圖：在實(shí)際教學(xué)中，由于受課堂時(shí)間限制，教師舍不得花時(shí)間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯(cuò)位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個(gè)教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時(shí)間營(yíng)造知識(shí)形成過程的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙同時(shí)，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，迫使學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆.2.師生互動(dòng)，探究問題在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，22，263是什么數(shù)列？有何特征？ 應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問題呢？探討1：

7、 ，記為（1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）探討2： 如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2則有 ，記為（2）式比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？設(shè)計(jì)意圖：留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機(jī)經(jīng)過比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩式相減，相同的項(xiàng)就消去了，得到： 老師指出：這就是錯(cuò)位相減法，并要求學(xué)生縱觀全過程，反思：為什么（

8、1）式兩邊要同乘以2呢？設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡(jiǎn)潔了！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心3.類比聯(lián)想，解決問題這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化， 這里，讓學(xué)生自主完成，并喊一名學(xué)生上黑板，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)設(shè)計(jì)意圖：在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感對(duì)不對(duì)？這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn=？（這里引導(dǎo)學(xué)生對(duì)q進(jìn)行分類討論，得出公式，同時(shí)為后面的例題教學(xué)打下基礎(chǔ)）再次追問：結(jié)合等

9、比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）設(shè)計(jì)意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí)間有時(shí)比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點(diǎn)睛之妙用4.討論交流，延伸拓展在此基礎(chǔ)上，我提出：探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？我們知道, 那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出sn呢？根據(jù)等比數(shù)列的定義又有，能否聯(lián)想到等比定理從而求出sn呢？設(shè)計(jì)意圖：以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、

10、討論的氛圍. 以上兩種方法都可以化歸到, 這其實(shí)就是關(guān)于的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究?jī)r(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用.5.及時(shí)練習(xí)，熟練應(yīng)用題號(hào)a1qnanSn(1)326 (2)1 4 7(3)34 80讓學(xué)生在掌握公式的基礎(chǔ)上熟練公式運(yùn)用，著重強(qiáng)調(diào)公式的選擇.設(shè)計(jì)意圖：本例由書中的例題改編而成，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列求和公式快速解答，“知三求二”體現(xiàn)方程思想,有利于提高思維的靈活性和計(jì)算準(zhǔn)確性.6.變式訓(xùn)練,深化認(rèn)識(shí)首先，學(xué)生獨(dú)立思考，自主解題，再請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)結(jié)果，最后幻燈演示他們的解答，其它同學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)，然后師生共

11、同進(jìn)行總結(jié)設(shè)計(jì)意圖：采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過直接套用公式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)7.趣題探究，形成技能（1）話說灰太狼為研究新型捕羊設(shè)備，急需大量資金，于是就找喜洋洋幫忙。 “行！我每天投資100萬元，連續(xù)一個(gè)月（30天），但是有一個(gè)條件是：作為回報(bào)，從投資的第一天起你必須返還給我1元，第二天返還2元，第三天返還4元即后一天返還數(shù)為前一天的2倍” “第一天：支出1元，收入100萬；第二天：支出2元，收入100萬，第三天：支出4元，收入100萬

12、元；哇，發(fā)財(cái)了”灰太狼心里越想越美再看看喜洋洋的表情，心里又嘀咕了：“這小羊老是欺騙我，會(huì)不會(huì)又在耍我？ 請(qǐng)你幫灰太狼分析一下，按照喜洋洋的投資方式，30天后，能吸納多少投資？又該返還給喜洋洋多少錢？設(shè)計(jì)意圖：以動(dòng)漫故事的形式改變教材的“貸款游戲”，增加數(shù)學(xué)知識(shí)的趣味性，激發(fā)學(xué)生的好奇心，起到寓教于樂。（2）被稱為“世界屋脊”的喜馬拉雅山的主峰-珠穆朗瑪峰，海拔8844米，是世界第一高峰。但一張紙卻不服氣，它說：“別看我單薄，只有0.01cm，如果你能把我對(duì)著30次后，我的厚度一定超過珠穆朗瑪峰?！边@張紙是不是在吹牛？我們算算看。首先讓學(xué)生動(dòng)手折紙，教師也做示范，觀察紙張厚度和面積的變化，會(huì)發(fā)

13、現(xiàn)，紙張的厚度在每折疊一次增加一倍，每次折疊后紙張的厚度為0.01，0.02，0.04，0.08，形成以0.01為首項(xiàng)，以2公比的等比數(shù)列，所以a30 = 0.01229 = 。即53687.0912米，是珠穆朗瑪峰的6倍還多。同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)紙張的面積在逐漸減小，每次折疊后的面積都是前一次折疊后面積一半，如果把原始紙張面積記做 ，則每次折疊后的面積依次為：形成以1為首相，以為公比的等比遞減數(shù)列，容知面積是越來越小，最后是難以完成折疊。設(shè)計(jì)意圖：動(dòng)手折紙實(shí)踐活動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性，體會(huì)在實(shí)踐中獲得知識(shí)、技能以及成功解決問題的自豪感。7.總結(jié)歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧

14、公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)設(shè)計(jì)意圖：以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力8.故事結(jié)束，情感教育歷史人物故事之吳敬 吳敬，中國(guó)明代數(shù)學(xué)家。字信民，號(hào)主一翁。浙江仁和（今杭州）人。生卒年不詳，約生活于十五世紀(jì)。曾任浙江布政使司的幕僚，掌管全省田賦和稅收的會(huì)計(jì)工作，對(duì)當(dāng)?shù)厣虡I(yè)活動(dòng)十分熟悉，且以善算而聞名當(dāng)?shù)亍蔷丛皻v訪九章全書，久未得見”，經(jīng)過十余年努力，吳敬終于在1450年撰寫了九章算法比類大全10卷，對(duì)程大位算法統(tǒng)宗以及明中葉以后的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重大影響。在九章算法比類大全收錄這樣一道有趣的問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一

15、，試問尖頭幾盞燈？”同學(xué)們，你知道這首詩(shī)的意思是什么嗎？答案又是什么呢？設(shè)計(jì)意圖：以人文故事結(jié)束，讓學(xué)生體會(huì)前賢古人對(duì)科學(xué)孜孜不倦的追求精神，領(lǐng)略中國(guó)古代數(shù)學(xué)的無窮魅力，最后將懸念疑問留給學(xué)生去思索，激發(fā)學(xué)生的求知熱情，也讓有限的課堂延展到課堂之外。9.課后作業(yè)，分層練習(xí)（1）閱讀教材26頁到29 頁（2）作業(yè)：必做習(xí)題1-3 A組 2,6；選做習(xí)題1-3 B組 1,3。（3）思考題： 設(shè)計(jì)意圖：出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明1情境設(shè)置趣味化.本著新課程的教學(xué)理念，考慮到高二學(xué)生的心理特點(diǎn)，采用歷史故事的形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營(yíng)造生動(dòng)活潑的

16、學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探究欲.2問題探究活動(dòng)化教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時(shí)間、說的機(jī)會(huì)以及展示思維過程的舞臺(tái)，通過合作探究、師生交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達(dá)能力， 展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果。3鞏固提高梯度化例1采用表格形式,突出表現(xiàn)五個(gè)基本量“知三求二”的關(guān)系，通過公式的正用和逆用進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力；例2例3由教科書中的例題改編而成，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?可以提高學(xué)生的分析的能力。4作業(yè)布置彈性化通過布置彈性作業(yè)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步發(fā)展的空間介紹相關(guān)網(wǎng)站讓學(xué)生查閱有關(guān)資料，有利于豐富學(xué)生的知識(shí)，拓展學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)5.課后閱讀人文化.通過人物故事激勵(lì)學(xué)生開拓創(chuàng)新，設(shè)有疑問將有限的課堂時(shí)間延展到課余時(shí)間，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無線熱情和動(dòng)力。教后反思通過精心設(shè)計(jì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，有效突破知識(shí)難點(diǎn)，充分體現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)，在課堂中的探究環(huán)節(jié)和提問檢測(cè)環(huán)節(jié)，了解到學(xué)生都基本掌握了數(shù)列求和的方法，獲得了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能，能夠獨(dú)立利用錯(cuò)位相減法求解簡(jiǎn)單數(shù)列前N項(xiàng)的和。感到遺憾的是，由于時(shí)間有限設(shè)計(jì)中的討論探究沒有完全展開，學(xué)生練習(xí)和思考的時(shí)間不夠充裕，在最后總結(jié)時(shí)還不夠凝練，這是我今后需要