xx屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)橢圓學(xué)案理新人教A版

1、學(xué)案51橢圓導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握橢圓的定義，幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)自主梳理1橢圓的概念在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做_這兩定點(diǎn)叫做橢圓的_，兩焦點(diǎn)間的距離叫_集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若_，則集合P為橢圓；(2)若_，則集合P為線段；(3)若_，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(

2、a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2自我檢測(cè)1已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是()A2 B6 C4 D122(2011揭陽(yáng)調(diào)研)“mn0”是方程“mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件3已知橢圓x2sin y2cos 1 (0b0)的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為

3、A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M(在x軸上方)向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，ABOM.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求F1QF2的取值范圍方程思想的應(yīng)用例(12分)(2011北京朝陽(yáng)區(qū)模擬)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，)，過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在直線l，滿足2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答題模板】解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，由題意得解得a24，b23.故橢圓C的方程為1.4分(2)若存在直線l滿足條件，由題意

4、可設(shè)直線l的方程為yk(x2)1，由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.6分因?yàn)橹本€l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理得32(6k3)0，解得k.7分又x1x2，x1x2，且2，即(x12)(x22)(y11)(y21)，所以(x12)(x22)(1k2)，即x1x22(x1x2)4(1k2).9分所以24(1k2)，解得k.11分所以k.于是存在直線l滿足條件，其方程為yx.12分【突破思維障礙】直線與橢圓的位置關(guān)系主要是指公共點(diǎn)問(wèn)題、相交弦問(wèn)題及其他綜合問(wèn)

5、題反映在代數(shù)上，就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解及實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)的問(wèn)題，它體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用，當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，要注意判別式大于零這一隱含條件，它可以用來(lái)檢驗(yàn)所求參數(shù)的值是否有意義，也可通過(guò)該不等式來(lái)求參數(shù)的范圍對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解，與向量相結(jié)合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關(guān)，若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往更容易實(shí)現(xiàn)解題功能，所以在復(fù)習(xí)過(guò)程中要格外重視1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法(先定性，后定型，再定參)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無(wú)法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為1 (m0，n0且mn)，可以避免討論和繁雜的計(jì)算，也可以設(shè)為Ax

6、2By21 (A0，B0且AB)，這種形式在解題中更簡(jiǎn)便2橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率等；另一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)等第一類性質(zhì)是常數(shù)，不因坐標(biāo)系的變化而變化，第二類性質(zhì)是隨坐標(biāo)系變化而相應(yīng)改變3直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題它是高考的熱點(diǎn)，通常涉及橢圓的性質(zhì)、最值的求法和直線的基礎(chǔ)知識(shí)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問(wèn)題等，分析此類問(wèn)題時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011溫州模擬)若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,0)、B

7、(4,0)，ABC的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A.1 (y0) B.1 (y0)C.1 (y0) D.1 (y0)2已知橢圓1，長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于()A4 B5 C7 D83已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是()A. B. C.1 D.4(2011天門期末)已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線5橢圓1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于

8、()A2 B4 C8 D.二、填空題(每小題4分，共12分)6已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_(kāi)7(2011唐山調(diào)研)橢圓1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上若|PF1|4，則|PF2|_；F1PF2的大小為_(kāi)8.如圖，已知點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓1 (ab0)上一點(diǎn)，若PF1PF2，tanPF1F2，則此橢圓的離心率是_三、解答題(共38分)9(12分)已知方向向量為v(1，)的直線l過(guò)點(diǎn)(0，2)和橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若已知點(diǎn)D(3,0)，點(diǎn)M，N是橢圓

9、C上不重合的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍10(12分)(2011煙臺(tái)模擬)橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|2，OC的斜率為，求橢圓的方程11(14分)(2010福建)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由學(xué)案51橢圓自主梳理1橢圓焦點(diǎn)焦距(1)ac(2)ac(3)a|AB|4.點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)B(2,0)、A(2,0)為焦點(diǎn)、線段AB中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓a3，

10、c2，b.所求軌跡方程為1.例2解題導(dǎo)引確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須要有一個(gè)定位條件(即確定焦點(diǎn)的位置)和兩個(gè)定形條件(即確定a，b的大小)當(dāng)焦點(diǎn)的位置不確定時(shí)，應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 (ab0)或1 (ab0)，或者不必考慮焦點(diǎn)位置，直接設(shè)橢圓的方程為mx2ny21 (m0，n0，且mn)解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1 (ab0)橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，1，a3，又2a32b，b1，方程為y21.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為1 (ab0)橢圓過(guò)點(diǎn)A(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程為1.綜上可知橢圓的方程為y21或1.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(0,2)，B的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx

11、2ny21，將A，B坐標(biāo)代入方程得，所求橢圓方程為x21.變式遷移2解(1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a3，c，從而b2a2c2963，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b3，a227.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21 (m0，n0且mn)橢圓經(jīng)過(guò)P1、P2點(diǎn)，P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，則兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.例3解題導(dǎo)引(1)橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a、c的關(guān)系(2)對(duì)F1PF2的處理方法(1)解設(shè)橢圓方程為1

12、(ab0)，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60.mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn.4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn2a2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào))，4a24c23a2.，即e.e的取值范圍是.(2)證明由(1)知mnb2，SPF1F2mnsin 60b2，即PF1F2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān)變式遷移3解(1)F1(c,0)，則xMc，yM，kOM.kAB，OMAB，bc，故e.(2)設(shè)|F1Q|r1，|F2Q|r2，F(xiàn)1QF2，r1r22a，|F1F2|2c，cos 110，當(dāng)且僅當(dāng)r1r2時(shí)，cos 0，0，課

13、后練習(xí)區(qū)1A2.D3.C4.B5.B6.17.21208.9解(1)直線l的方向向量為v(1，)，直線l的斜率為k.又直線l過(guò)點(diǎn)(0，2)，直線l的方程為y2x.ab，橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)c2.又e，a.b2a2c22.橢圓方程為1.(6分)(2)若直線MNy軸，則M、N是橢圓的左、右頂點(diǎn)，或，即52或52.若MN與y軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為xmy3(m0)由得(m23)y26my30.設(shè)M、N坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1y2，y1y2，36m212(m23)24m2360，m2.(x13，y1)，(x23，y2)，顯然0，且1，(x13，y1)(x23，y2)y1y2.代入，得210.m2，得210，即解得52b0)，且可知其左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(5分)(2)假設(shè)存