2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.3.2平面與平面垂直的判定課件新人教A版.pptx

1、目標(biāo)導(dǎo)航,新知探求,課堂探究,新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成,點(diǎn)擊進(jìn)入 情境導(dǎo)學(xué),知識(shí)探究,1.二面角 (1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫二面角的 ,這兩個(gè)半平面叫二面角的 .圖中的二面角可記作:二面角-AB-或-l-或P-AB-Q,棱,面,2)二面角的平面角:如圖,在二面角-l-的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面和內(nèi)分別作 的射線OA,OB,則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角.平面角是 的二面角叫做直二面角,垂直于棱l,探究2:教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角? 答案:可以構(gòu)成三個(gè)二面角,如圖所示. 分別是-a-,-c-,-b-. 這三個(gè)

2、二面角都是90,直角,2.平面與平面垂直 (1)定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是 ,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面與垂直,記作,直二面角,2)判定定理,另一個(gè)平面的垂線,探究2:過(guò)平面外一點(diǎn),可以作多少個(gè)與已知平面垂直的平面? 答案:無(wú)數(shù)多個(gè). 過(guò)平面外一點(diǎn)可以作平面的一條垂線,過(guò)此垂線可以作出無(wú)數(shù)個(gè)平面,這些平面都與已知平面垂直,自我檢測(cè),1.(二面角)下列結(jié)論:(1)兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角; (2)異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面垂直,則a,b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ). (3)二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線所成角的

3、最小角; (4)二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系. 其中正確的是( ) (A)(B) (C)(D,B,2.(判定定理)對(duì)于直線m,n和平面,能得出的一個(gè)條件是() (A)mn,m,n(B)mn,=m,n (C)mn,n,m(D)mn,m,n,3.(二面角)在二面角-l-的棱l上任選一點(diǎn)O,若AOB是二面角-l-的平面角,則必須具有的條件是( ) (A)AOBO,AO,BO (B)AOl,BOl (C)ABl,AO,BO (D)AOl,BOl,且AO,BO,C,D,4.(面面垂直的判定)已知l,則過(guò)l與垂直的平面( ) (A)有1個(gè) (B)有2個(gè) (C)有無(wú)數(shù)個(gè) (D)不存在,C

4、,5.(二面角)三棱錐P-ABC的兩側(cè)面PAB,PBC都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,AC= ,則二面角A-PB-C的大小為,答案:60,6.(面面垂直判定定理)在三棱錐P-ABC中,已知PAPB,PBPC,PCPA,則在三棱錐P-ABC的四個(gè)面中,互相垂直的面有對(duì),答案:3,題型一,求二面角,例1】如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中,課堂探究素養(yǎng)提升,1)求二面角D-AB-D的大小,解:(1)在正方體ABCD-ABCD中,AB平面ADDA,所以ABAD, ABAD,因此DAD為二面角D-AB-D的平面角,在RtDDA中, DAD=45. 所以二面角D-AB-D的大小為45,2)若M是CD的中點(diǎn),

5、求二面角M-AB-D的大小,解:(2)因?yàn)镸是CD的中點(diǎn),所以MA=MB,取AB的中點(diǎn)N,連接MN,則MNAB.取CD的中點(diǎn)H,連接HN,則HNAB. 從而MNH是二面角M-AB-D的平面角.MNH=45. 所以二面角M-AB-D的大小為45,方法技巧 (1)二面角的平面角滿足:頂點(diǎn)在二面角的棱上;兩邊分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi);兩邊分別與二面角的棱垂直. (2)二面角的平面角是兩條射線所成的角,因此二面角不一定是銳角,其范圍為0180,即時(shí)訓(xùn)練1-1:已知D,E分別是正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上的點(diǎn),且A1D=2B1E=B1C1.求過(guò)D,E,C1的平面與棱柱的下底面A1

6、B1C1所成的二面角的大小,解:如圖所示,在平面AA1B1B內(nèi)延長(zhǎng)DE和A1B1交于點(diǎn)F,則F是平面DEC1與平面A1B1C1的公共點(diǎn).于是C1F為這兩個(gè)平面的交線.因而,所求二面角即為二面角D-C1F-A1. 因?yàn)锳1DB1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分別為DF和A1F的中點(diǎn). 因?yàn)锳1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1A1C1. 又因?yàn)镃C1平面A1B1C1,FC1平面A1B1C1,所以CC1FC1. 又因?yàn)锳1C1,CC1為平面AA1C1C內(nèi)的兩條相交直線, 所以FC1平面AA1C1C. 因?yàn)镈C1平面AA1C1C,所以FC1DC1. 所以DC1A1是二面角D-C1F-

7、A1的平面角. 由已知A1D=A1C1, 則DC1A1=45. 故所求二面角的大小為45,備用例1】在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,PD平面ABCD, PD=a. (1)求證:AC平面PBD,1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形, 所以ACBD, 又PD平面ABCD, 所以ACPD, 又PDBD=D, 所以AC平面PBD,2)求二面角P-BC-D的平面角,2)解:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BCCD, 又PD平面ABCD,所以BCPD. 又CDPD=D,所以BC平面PCD, 所以BCPC, 所以PCD為二面角P-BC-D的平面角, 在RtPCD中,因?yàn)镻D=DC=a, 所以

8、PCD=45, 即二面角P-BC-D的平面角為45,3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值,題型二,平面與平面垂直的判定,例2】 (1)如圖(1)在四面體ABCD中,BD= a,AB=AD=CB=CD=AC=a. 求證:平面ABD平面BCD,2)如圖(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,且DEA1E. 求證:平面A1AD平面BCC1B1; 求證:平面A1DE平面ACC1A1,證明:(2)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱, 所以BB1平面ABC,又AD平面ABC, 所以ADBB1,又D為BC的中點(diǎn), 所以ADBC,又BCBB1=B, 所以AD平面BCC

9、1B1.又AD平面ADA1, 所以平面A1AD平面BCC1B1. 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱, 所以AA1平面ABC,又DE平面ABC, 所以AA1DE,又DEA1E,A1EAA1=A1,所以DE平面ACC1A1, 又DE平面A1DE,所以平面A1DE平面ACC1A1,證明:因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱, 所以AA1平面A1B1C1, 又FB1平面A1B1C1,所以AA1FB1, 又A1B1C1為等邊三角形, F為A1C1的中點(diǎn),所以B1FA1C1, 又A1C1AA1=A1,所以B1F平面ACC1A1,又B1F平面AB1F, 所以平面AB1F平面ACC1A1,變式探究

10、:若本例中(2)改為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F為A1C1的中點(diǎn),求證:平面AB1F平面ACC1A1,方法技巧 判定兩平面垂直的常用方法:(1)定義法:即說(shuō)明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一個(gè)平面垂直,即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”;(3)性質(zhì)法:兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面,則另一個(gè)也垂直于此平面,即時(shí)訓(xùn)練2-1:如圖所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC,證明:法一(利用定義證明,法二(利用判定定理)因?yàn)镾A=SB=SC,且BSA=CSA=60, 所以SA=AB=AC, 所以點(diǎn)A在平面SBC上的

11、射影為SBC的外心. 因?yàn)镾BC為直角三角形, 所以點(diǎn)A在SBC上的射影D為斜邊BC的中點(diǎn), 所以AD平面SBC. 又因?yàn)锳D平面ABC, 所以平面ABC平面SBC,備用例2】 (2018石家莊期末)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為PD的中點(diǎn).若PA平面ABCD,PA=AD,求證:平面AEC平面PDC,證明:因?yàn)镻A平面ABCD,CD平面ABCD, 所以PACD, 又ADCD,且ADPA=A, 所以CD平面PAD, 又AE平面PAD, 所以CDAE. 因?yàn)镻A=AD,E為PD中點(diǎn), 所以AEPD. 又CDPD=D, 所以AE平面PDC, 又AE平面AEC, 所以平面AEC平

12、面PDC,備用例3】 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,ABBC,AA1= AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點(diǎn),1)證明:因?yàn)樵谌庵鵄BC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面 所以BB1AB, 又因?yàn)锳BBC,BB1BC=B, 所以AB平面B1BCC1, 因?yàn)锳B平面ABE. 所以平面ABE平面B1BCC1,1)求證:平面ABE平面B1BCC1,2)求證:C1F平面ABE,3)求三棱錐E-ABC的體積,題型三,線面垂直、面面垂直的綜合問(wèn)題,思考】 如何作二面角的平面角? 提示:作二面角的三種常用方法: (1)定義法:在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)

13、分別作垂直于棱的射線.如圖,則AOB為二面角-l-的平面角,2)垂直法:過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖,AOB為二面角-l-的平面角. (3)垂線法:過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線,垂足為B,由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖,AOB為二面角-l-的平面角,例3】 如圖,在三棱錐P-ABC中,PA平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2 . (1)求證:平面PAB平面ABC,2)E為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),若二面角P-EC-B的大小為30,求BE的長(zhǎng),方法技巧 (1)證明垂直關(guān)系時(shí)要注意利用線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化. (2)求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角,這就需要緊扣它的三個(gè)條件,即這個(gè)角的頂點(diǎn)是否在棱上;角的兩邊是否分別在兩個(gè)半平面內(nèi);這兩邊是否都與棱垂直.在具體作圖時(shí),還要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧