河南省鶴壁高中2019屆高三數(shù)學(xué)壓軸第二次考試試題文含解析

1、河南名校-鶴壁高中2019屆高三壓軸第二次考試數(shù)學(xué)（文科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則中的元素個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】先化簡集合B并求出其補集，然后和集合A進行交集計算.【詳解】解：，或，的元素個數(shù)為2個.故選:.【點睛】本題考查了的交集、補集的運算，屬于基礎(chǔ)題2.若復(fù)數(shù)滿足，則其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】=1i，z=，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（），位于第一象限故選：A3.命題“對任意，”的否定是（ ）A. 不存在

2、，B. 存在，C. 存在，D. 存在，【答案】C【解析】【分析】命題“對任意的，”是全稱命題，其否定應(yīng)為特稱命題，注意量詞和不等號的變化【詳解】解：命題“對任意的，”是全稱命題，否定時將量詞對任意的實數(shù)變?yōu)榇嬖?，再將不等號變?yōu)榧纯桑创嬖?，故選:.【點睛】考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，設(shè)為可行域內(nèi)一點，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】解：由題意作出其平面區(qū)域，由解得，由線性規(guī)劃知識知經(jīng)過點時，取得最大值，此時，時，有最大值，故選.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃、向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.5.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積為（ ）A. B.

3、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原直觀圖，求出該幾何體的表面積即可【詳解】解：將三棱錐放到正方體中，由三棱錐的三視圖知，是等腰直角三角形， ，,三棱錐的表面積為：,故選.【點睛】本題考查三視圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.已知，且，則向量在方向上的投影為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算可求，再根據(jù)定義即可求解【詳解】解：由得，向量在方向上的投影為 ，故選.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積的定義，運算及投影的概念，屬于基礎(chǔ)題.7.平面區(qū)域，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點落在區(qū)域內(nèi)的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】畫出

4、兩區(qū)域圖形，求出面積，根據(jù)幾何概型即可得解.【詳解】解：區(qū)域表示的是一個正方形區(qū)域，面積是2，表示以為圓心，為半徑的上半圓外部的區(qū)域，則在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點落在區(qū)域內(nèi)的概率是 ，故選.【點睛】本題考查了幾何概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.8.給出下列命題：（1）存在實數(shù)使 .（2）直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸.（3）的值域是.（4）若都是第一象限角，且，則.其中正確命題的題號為（ ）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（4）【答案】C【解析】【分析】（1）化簡求值域進行判斷；（2）根據(jù)函數(shù)的對稱性可判斷；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷；（4）利用三角函數(shù)線可進

5、行判斷.【詳解】解：（1），（1）錯誤；（2）是函數(shù)圖象的一個對稱中心，（2）錯誤；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值為，其值域是，（3）正確；（4）若都是第一象限角，且，利用三角函數(shù)線有，（4）正確.故選.【點睛】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)線定義，著重考查學(xué)生綜合運用三角函數(shù)的性質(zhì)分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題9.如圖，直二面角，且，則點在平面內(nèi)的軌跡是（ ）A. 圓的一部分B. 橢圓的一部分C. 一條直線D. 兩條直線【答案】A【解析】【分析】以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點，的坐標(biāo)，根據(jù)條件得出，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離

6、公式及相似，即可得到軌跡方程，從而判斷其軌跡【詳解】解：以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則， ，即，整理得：，故點的軌跡是圓的一部分，故選.【點睛】本題以立體幾何為載體考查軌跡問題，綜合性強，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，同時考查了運算能力，轉(zhuǎn)化能力，屬于難題10.已知曲線（為參數(shù)），點為在軸、軸上截距分別為8，-4的直線上的一個動點，過點向曲線引兩條切線，其中為切點，則直線恒過點（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化得出曲線C和直線的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)題意設(shè)的坐標(biāo)，由切線的性質(zhì)得點、在以為直徑的圓上，求出圓

7、的方程，將兩個圓的方程相減表示出公共弦所在的直線方程，再求出直線過的定點坐標(biāo)【詳解】解：是直線的任一點，設(shè)，曲線（為參數(shù)），即圓，由題意知，則點在以為直徑的圓上，即是圓和圓的公共弦，則圓心的坐標(biāo)是，且，圓的方程：，又，-得，即公共弦所在的直線方程： 即，由 解得：直線恒過定點，故選.【點睛】本題考查了參數(shù)方程，圓的切線性質(zhì)，圓和圓的位置關(guān)系，公共弦所在直線求法以及直線過定點問題，屬于中檔題11.已知函數(shù)在區(qū)間的值域為，則（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】整理函數(shù)，可發(fā)現(xiàn)其對稱中心，可求在上的最大值與最小值之和.【詳解】解： 在上為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，是將上述

8、函數(shù)圖象向右平移2個單位，并向上平移3個單位得到，所以圖象關(guān)于對稱，則，故選.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性和對稱中心的知識，考察了計算能力，屬于難題.12.在中，角，所對應(yīng)的邊分別為，若，則面積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：結(jié)合，都用表示，利用余弦定理及其基本不等式的性質(zhì)可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面積的最大值【詳解】由正弦定理得： 由余弦定理得：，即 當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，, 則，所以面積的最大值1. 故選:.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理和基本不等式，屬于難題.二、填空題（將答案填在答題紙上）13.與

9、雙曲線具有相同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線方程是_【答案】【解析】【分析】與雙曲線有相同的漸近線的所求雙曲線的方程設(shè)為，代入已知點的坐標(biāo)，解方程可得所求雙曲線方程【詳解】解：設(shè)與雙曲線具有相同的漸近線的雙曲線的方程為，代入點，解得，則所求雙曲線的方程為，故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題14.若曲線的一條切線的斜率是3，則切點的橫坐標(biāo)為_【答案】2【解析】【分析】根據(jù)曲線的切線斜率即對應(yīng)的函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)值，令導(dǎo)數(shù)，解得x的值，結(jié)合函數(shù)定義域即可得解【詳解】解：，解得（舍去）或，所以，故答案為：2.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線上某點處的切線斜

10、率的意義以及函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.15.平面直角坐標(biāo)系中，點是單位圓在第一象限內(nèi)的點，若，則為_【答案】【解析】分析】利用任意角三角函數(shù)的定義可知，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用兩角差的正余弦公式求得的值，兩者相加即可得解【詳解】解：由題意知：，由，得， ，故答案為：.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正余弦公式，屬于基礎(chǔ)題16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，焦距為，直線 與雙曲線的一個交點滿足，則雙曲線的離心率為_【答案】【解析】【分析】由題意，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得到，再利用雙曲線的定義及離心率的計算公式即可得出【詳解】解：如圖

11、所示，直線的斜率，則對應(yīng)直線的傾斜角為，即，則，即， ，由雙曲線的定義可得：，即，即 ，即雙曲線的離心率 ，故答案為：.【點睛】熟練掌握圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、雙曲線的定義、離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知正項數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1) ，；(2) .【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)可得，再利用可得（2）利用裂項相消法即可得解.【詳解】解：（1）數(shù)列中，則是等比數(shù)列，因為成等差數(shù)列，則 ，即，解得：（舍去）所以，

12、當(dāng)時，所以 當(dāng)時，由-得 所以： 經(jīng)檢驗，時也符合上式，故.（2）由（1）得： 所以： .【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，考查和裂項相消法求和，屬于中檔題.18.隨著手機的發(fā)展，“微信”逐漸成為人們交流的一種形式，某機構(gòu)對“使用微信交流”的態(tài)度進行調(diào)查，隨機抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對“使用微信交流”贊成人數(shù)如表：年齡（單位：歲） 頻數(shù)510151055贊成人數(shù)51012721（1）若以“年齡55歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；年齡不低于55歲的人數(shù)于年齡低于55歲的人數(shù)合計贊成不贊

13、成合計（2）若從年齡在的被調(diào)查人中隨機選取2人進行追蹤調(diào)查，求2人中至少有1人贊成“使用微信交流”的概率.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 ，其中.【答案】(1)見解析；(2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表；計算觀測值，對照參考數(shù)據(jù)，得出結(jié)論（2）年齡在，中不贊成“使用微信交流”的人為，贊成“使用微信交流”的人為，則從5人中隨機選取2人，列出所有事件總數(shù)，即可求解2人中至少有1人贊成“使用微信交流”的概率【詳解】解：（1）列聯(lián)表如下：年齡不低于55歲的人數(shù)年齡

14、低于55歲的人數(shù)合計贊成33437不贊成7613合計104050 ，所以有99.9%的把握認為“使用微信交流”的態(tài)度與人的年齡有關(guān).（2）設(shè)年齡在中不贊成“使用微信交流”的人為，贊成“使用微信交流”的人為，則從5人中隨機選取2人有 ，共10種結(jié)果，其中2人中至少有1人贊成“使用微信交流”的有，共7種結(jié)果，所以2人中至少有1人贊成“使用微信交流”的概率為.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，考查了古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題19.在如圖所示的五面體中，四邊形為正方形，平面平面，為線段的中點.（1）證明：平面 ；（2）求該五面體的體積.【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)題

15、意，可推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面（2）推導(dǎo)出，從而平面平面將五面體分成四棱錐和三棱錐，該五面體的體積，由此能求出結(jié)果【詳解】（1）因為，所以，又四邊形是正方形，所以，故四邊形為平行四邊形故因為平面，平面所以平面（2）因為平面平面，四邊形為正方形，所以，所以平面，在中，因為，故，又，所以由余弦定理，得，所以，則，平面將五面體分成四棱錐和三棱錐故.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查五面體的體積的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題20.已知橢圓的左、右頂點為，橢圓上任意一點，滿足，且橢圓過點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是軌跡上的兩個動點，線段的中點在直線 （為參數(shù)）上，線

16、段的中垂線與交于兩點，是否存在點，使以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【答案】(1) (2) 存在點符合條件，坐標(biāo)為.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，聯(lián)立求解即可；（2）直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為普通方程，當(dāng)直線垂直于軸時，三點共線不符合題意；當(dāng)直線不垂直與軸時，設(shè)存在點，直線的斜率為，根據(jù)題意利用圓的性質(zhì)和垂直向量點積為0，列出方程求解可得答案.【詳解】解：（1）設(shè)，則 ，,橢圓過點， 聯(lián)立解得：所求橢圓方程為： （2）將直線的參數(shù)方程： （為參數(shù)）化為普通方程，當(dāng)直線垂直于軸時，直線方程為：，此時 ，與點三點共線，不合題意；當(dāng)直線不垂直與軸時，設(shè)存在點，直線

17、的斜率為， 由 得：，則 ，故 此時，直線斜率為，的直線方程為，即聯(lián)立，整理得： 所以， 由題意，于是 ，因為在橢圓內(nèi)，符合題意；綜上，存在點符合條件，坐標(biāo)為.【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的性質(zhì)、參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化以及向量的運用，屬于難題.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上零點個數(shù)；（其中為的導(dǎo)數(shù)）（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1) 只有一個零點；(2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)可得，為遞增函數(shù)，再根據(jù)零點存在性定理得出答案.（2）將不等式整理轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的最小值，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和取值范圍，遂可得解.【詳解】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，則在區(qū)間遞增，又

18、 ，則函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，整理得，即求函數(shù)在的最小值由的導(dǎo)數(shù) ，由的導(dǎo)數(shù)為，可得時，函數(shù)遞增，時，函數(shù)遞減，則，即，當(dāng)時， ，則在遞增，可得，則.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，零點存在性定理和恒成立問題，考查了計算能力和邏輯能力，屬于中檔題.22.已知曲線參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線交于兩點，與直線交于點，射線與曲線交于點，求的面積.【答案】(1) ； (2) 【解析】【分析】（1）化圓的參數(shù)方程為直角坐標(biāo)方程，再由，化極坐標(biāo)方程；對展開兩角和的余弦，結(jié)合，可得直線的直角坐標(biāo)方程；（2）分別把，代入圓與直線的極坐標(biāo)方程，求得，的極坐標(biāo)，再由，可得的面積【詳解】解：（1）由（為參數(shù)），得，即，由，得，；由，得，即；（2）當(dāng)時，代入圓極坐標(biāo)方程，易得：；代入直線極坐標(biāo)方程，得：；當(dāng)時，,的面積