(數(shù)學分析)第九章

1、.第九章 定積分（20學時）1 定積分概念教學目的要求： 掌握定積分的概念和幾何意義，會用定義計算定積分.教學重點、難點：重點定積分的定義，用定義計算定積分. 難點不定積分定義的理解, 用定義計算定積分.學時安排: 2學時教學方法: 講授法.教學過程:一 問題的提出不定積分和定積分是積分學中的兩大基本問題，求不定積分是求導數(shù)的逆運算，而定積分則是某種特殊和式的極限，它們之間既有本質(zhì)的區(qū)別，但也有緊密的聯(lián)系。先看兩個實例。1曲邊梯形的面積 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且。則由曲線，直線，以及軸所圍成的平面圖形（如下左圖），稱為曲邊梯形。下面將討論該曲邊梯形的面積（這是求任何曲線邊界圖形的面積的基礎(chǔ)）。

2、在區(qū)間內(nèi)任取個分點，依次為 它們將區(qū)間分割成個小區(qū)間，。記為，即，。并用表示區(qū)間的長度，記，再用直線，把曲邊梯形分割成個小曲邊梯形（如上右圖）。在每個小區(qū)間，上任取一點，作以為高，為底的小矩形，其面積為，當分點不斷增多，又分割得較細密時，由于連續(xù)，它在每個小區(qū)間上的變化不大，從而可用這些小矩形的面積近似代替相應的小曲邊梯形的面積。于是，該 曲邊梯形面積的近似值為。從而。2變力所作的功w 設(shè)質(zhì)點受力f的作用沿軸由點移動到點，并設(shè)f處處平行于軸（如下圖），同上述，有，而 。二 定積分的定義 定義1 設(shè)閉區(qū)間內(nèi)有個點，依次為 ，將閉區(qū)間分成個小區(qū)間，記為，簡記為，或并稱為區(qū)間的一個分割。同時也用，并

3、記稱為分割t的模。定義2 設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，對于的一個分割精品.，任取點，并作和式。稱此和式為在關(guān)于分割t的一個積分和，也稱黎曼和。（注：積分和既與分割t有關(guān)，也與點的取法有關(guān)）。 又設(shè)是一個確定的實數(shù)，若對任給的，總存在，使得對的任意分割t，以及，只要，就有。則稱函數(shù)在上可積或黎曼可積。數(shù)稱為函數(shù)在上的定積分或黎曼積分，記作：其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，稱為被積式，分別稱為積分的下限和上限。定積分的幾何意義：定積分的幾何意義就是-由連續(xù)曲線及直線所圍曲邊梯形的面積。注：定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量所用的符號無關(guān)。例1 求由拋物線，及所圍平面圖形的

4、面積。解 （在用定義求定積分時，一般都要選用特殊的分割t和特殊的點），如下圖：取分割t為等份，并取，。則所為面積為：=。課堂練習：課后記:1、在講完定積分的定義后,進一步得出,分析與有關(guān),與分法t有關(guān),若已知在區(qū)間可積,則任一積分和的極限都等于,所以用定義計算定積分可選一極限好求的積分和來計算定積分,為用定義計算定積分做一鋪墊,效果不錯.2、講清分割、近似求和、取極限是一種數(shù)學思維方式，為定積分的應用打基礎(chǔ). 2 牛頓萊布尼茨公式教學目的要求： 掌握牛頓萊布尼茨公式及其證明并會用它計算定積分，會用定積分計算極限.教學重點、難點：重點記住牛頓萊布尼茨公式，會用定積分計算極限. 難點牛頓萊布尼茨公

5、式的證明, 用定積分計算極限.精品.學時安排: 2學時教學方法: 講授法.教學過程:用定義來計算定積分一般是很困難的，下面將要介紹的牛頓萊布尼茨公式不僅為定積分的計算提供了一個有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系了起來。定理9.1 若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，則在上可積，且這即為牛頓萊布尼茨公式，也常記為。注1：在實際應用中，定理的條件是可以適當減弱的，如：在在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且。而只要在在上可積即可。注2：本定理對的要求是多余的。例 1 利用牛頓萊布尼茨公式計算下列定積分：1）（n為整數(shù)）； 2）（0ab）；3）；4）；5）.注：因為定積分是一類和式的極限，故可以借助于定積分來

6、為某些特殊的極限。例 2 利用定積分求極限： .【解題要領(lǐng)】利用定積分來為極限的關(guān)鍵是把掃求極限轉(zhuǎn)化成某函數(shù)的積分和的形式。課堂練習：p206t1（1）、（3）、（5）；p207t2（1）、（4）。3 可積條件教學目的要求： 掌握可積的必要條件和充分條件，會證明可積的必要條件.了解大和、小和的概念. 會應用可積準則證明三類函數(shù)的可積性，并掌握證明函數(shù)可積性的方法逐步具有證明有關(guān)可積性問題的能力教學重點、難點：重點理解并熟記可積性定理的內(nèi)容. 難點定理9.5和黎曼函數(shù)可積性的證明.學時安排: 4學時教學方法: 講授法.教學過程:一 可積的必要條件定理9.2 若函數(shù)在上可積，則在上必有界。注：該定

7、理指出任何可積函數(shù)一定是有界，但要注意的是：有界函數(shù)不一定可積。例1 證明狄利克雷函數(shù)在上有界但不可積。二 可積的的充要條件 要判斷一個函數(shù)是否可積，由定義，可直接考察積分和是否能無限接近某一常數(shù)，但由于積分和的復雜性和那個常數(shù)不可預知，因此這是極其困難的。下面即將出的可積準則只與被積函數(shù)本身有關(guān)，而不涉及定積分的值。 精品.設(shè)t=為對,b的任一分割。由在,b上有界知，它在每個上存在上、下確界： ,.作和，分別稱為關(guān)于分割t的上和與下和（或稱達布上和與達布下和，統(tǒng)稱達布和）任給，顯然有。說明：與積分和相比，達布和只與分割t有關(guān)，而與點的取法無關(guān)。定理9.3 （可積準則）函數(shù)在上可積對，使得。設(shè)

8、，并稱為在上的振幅，有必要時記為。則有。定理9. 函數(shù)在上可積對，使得。不等式或的幾何意義：若函數(shù)在上可積，則下圖中包圍曲線的一系列小矩形面積之和可以達到任意小，只要分割充分的細；反之亦然。三 可積函數(shù)類定理9.4 若函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)，則在上可積。定理9-5 若是區(qū)間上只有有限個間斷點的有界函數(shù)，則在上可積。定理9.6 若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則在上可積。注意：單調(diào)函數(shù)即使有無限多個間斷點，也仍然可積。例2 試用兩種方法證明函數(shù)在區(qū)間上可積。證明 方法1 利用定理9-6。 方法2 利用定理9-和定理9-5。課后記:1、定理9.2的證明中,為什么取有些學生還是不清楚,需解釋一下.2、這節(jié)課的難點

9、是用可積準則證明可積函數(shù)類，為此，我在講課的過程中引導學生總結(jié)規(guī)律，得出一般情況下用要證明，要么證明，要么證明有界，有一定的效果.精品.4 定積分的性質(zhì)教學目的要求： 掌握定積分的性質(zhì)及其證明方法，會用定積分的性質(zhì)及其證明方法證明不等式等有關(guān)問題.教學重點、難點：重點定積分的性質(zhì)和證明方法的運用. 難點利用積分的性質(zhì)證明問題.學時安排: 4學時教學方法: 講授法.教學過程:一 定積分的其本性質(zhì)性質(zhì)1 若函數(shù)在上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且。即常數(shù)因子可從積分號里提出。（注意與不定積分的不同）性質(zhì)2 若函數(shù)、都在上可積，則在上也可積，且有。性質(zhì)3 若函數(shù)、都在上可積，則在上也可積。注意：一般地

10、 。性質(zhì)4（關(guān)于積分區(qū)間的可加性） 函數(shù)在上可積，在與上都可積，此時有。規(guī)定1 當時，。規(guī)定2 當時，。注：有了這個規(guī)定后，性質(zhì)4對的任何大小順序都成立。性質(zhì)5 設(shè)函數(shù)在上可積，且，則。例 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且在不恒等于0，則。例1 證明：函數(shù)在上連續(xù)，且，則。推論（積分不等式性質(zhì)）若函數(shù)和均在上可積，且，則。性質(zhì)6 若函數(shù)在上可積，則也在上可積，且。注意：此命題的逆一般不成立，如函數(shù)。精品.例2 設(shè)，求?！窘忸}要領(lǐng)】 對于分段函數(shù)的積分，通常利用積分區(qū)間的可加性來計算。二 積分中值定理定理9.7 （積分第一中值定理）若在上連續(xù)，則至少存在一點，使得。積分第一中值定理的幾何意義： 如右圖，若在上

11、非負連續(xù)，則在上的曲邊梯形的面積等于以為高，為底的矩形的面積。 一般地，稱為在上的平均值。例3 試求在上的平均值。定理9.8 （推廣的積分第一中值定理） 若和都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點，使得說明：當時，即為積分第一中值定理。注：事實上，積分第一中值定理和推廣的積分第一中值定理中的點必能。課后記:1、積分的性質(zhì)較多,分類記憶方法比較好.2、p217注意2中的這里取是因為p207題3要求連續(xù).只給出,不說原因有一部分同學問為什么?5 微積分學基本定理 定積分的計算（續(xù)）教學目的要求： 掌握變上限的定積分和它的分析性質(zhì). 了解積分第二中值定理及其推論.能熟練的用換元積分法和分部積分法計

12、算定積分.了解泰勒公式的積分型余項.教學重點、難點：重點變上限的定積分和它的分析性質(zhì), 用換元積分法和分部積分法計算定積分. 難點變上限的定積分和它的分析性質(zhì)的應用.學時安排: 4學時教學方法: 講授法.教學過程:一 變限積分與原函數(shù)的存在性設(shè)在上可積，則對，在上也可積，于是，由， 定義了一個以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分。類似地，可定義變下限的定積分：，和統(tǒng)稱為變限積分。精品.說明：由于 ，因此，只要討論變上限積分即可。定理9.9 若在上可積，則在上連續(xù)。證明： 利用連續(xù)函數(shù)的定義及定積分的性質(zhì)即可證得。定理9.10 （原函數(shù)存在定理） 若函數(shù)在上連續(xù)，則在上處處可導，且，。證

13、明：利用導數(shù)的定義及定積分的性質(zhì)即可得。說明：此定理溝通了導數(shù)與定積分之間的關(guān)系；同時也證明了連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)這一結(jié)論，并以積分的形式給出了的一個原函數(shù)。因此，該定理也稱之為微積分學基本定理。且得用它可以給出牛頓-萊布尼茨公式的另一證明。定理9.11 （積分第二中值定理） 設(shè)在上可積。（1） 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則，使得 。（2） 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，使得 。推論 設(shè)函數(shù)在上可積，函數(shù)在上單調(diào)，則，使得?！窘忸}要領(lǐng)】 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，則對應用定理9-11即得；若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對應用定理9-11即得。二 定積分的換元積分法和分部積分法定理9.12 （定積分的換元積分法）若函數(shù)在上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足，則有定積分的換元積分公式： 。注意：在應用中要注意定積分的換元公式與不定積分的換元公式的異同之處。例1 計算?！窘忸}要領(lǐng)】 令或即可。例2 計算?！窘忸}要領(lǐng)】 令，逆向應用換元積分公式即可。例3 計算?！窘忸}要領(lǐng)】 先令，再令即可。定理9.13 （定積分的分部積分法） 若、為上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分的分部積分公式：精品. ，或 。例4 計算 例5 計算和。三 泰勒公式的積分型余項1.設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導數(shù)，令，則 。其中即為的泰勒公式的階余項。由此可得，即為泰勒