第六章數(shù)字濾波器設(shè)計

1、第6章 數(shù)字濾波器設(shè)計濾波的目的在于：提取有用信號，抑制不必要的干擾或消除信號的傳輸誤差；把信號分解成不同的頻率分量，以便進行分析；進行信號檢測及估計；6.1 濾波器概述一、 濾波器的概念所謂濾波器，就是以特定方式改變信號的頻率特性，從而實現(xiàn)信號變換的系統(tǒng)。數(shù)字濾波系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(n)輸入x(n)輸出y(n)若x(n)、y(n) 和h(n)的傅里葉變換分別為X(ej)、Y(ej)和H(ej)，則由時域卷積定理，可知則系統(tǒng)輸入x(n)的濾波輸出可見，輸入序列的頻譜X(ej)經(jīng)數(shù)字濾波器系統(tǒng)H(ej)后，就變換為濾波器的輸出譜Y(ej)，因此，若選取不同的濾波器H(ej)，使濾波器的輸出Y(ej)

2、滿足不同的設(shè)計要求，這就是數(shù)字濾波器的工作原理。| Y(ej)|c| X(ej)|c有效信號干擾信號理想低通濾波| H(ej)|c1二、 濾波器的分類1. 從功能上分類低通濾波器（Low Pass，簡稱LP）：低頻信號通過；高通濾波器（High Pass，簡稱HP）：高頻信號通過；帶通濾波器（Band Pass，簡稱BP）：中頻頻帶信號通過；帶阻濾波器（Band Stop，簡稱BS）：阻礙中頻頻帶信號的通過；2. 從形式上分類（1） 模擬濾波器（Analog Filter，簡稱AF） 缺點：可靠性不高；抗干擾能力差；設(shè)計難度較大，不靈活；模擬濾波器從設(shè)計方法上又可分為巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾

3、波器等。（2） 數(shù)字濾波器（Digital Filter，簡稱DF）I. 優(yōu)點可靠性較高；抗干擾性強；使用靈活、方便；不需考慮元件之間的阻抗匹配；II. 缺點結(jié)構(gòu)復(fù)雜、價格高；實時性受CPU、A/D的限制；數(shù)字濾波器從實現(xiàn)方法上又可分為無限沖激響應(yīng)（Infinite Impulse Response，簡稱IIR）數(shù)字濾波器、有限沖激響應(yīng)（Finite Impulse Response，簡稱FIR）數(shù)字濾波器等。三、 濾波器的技術(shù)要求造成濾波器不可實現(xiàn)的根本原因是通帶到阻帶之間存在突變，因此，為了保證所設(shè)計的濾波器具有物理可實現(xiàn)性，我們應(yīng)在通帶和阻帶之間設(shè)置一個過渡帶，并且對通帶和阻帶給以較小的

4、容限，使濾波器的頻率響應(yīng)在此過渡帶內(nèi)平滑地從通帶下降到阻帶。若數(shù)字濾波器的幅頻特性為|H(ej)|，其通帶及阻帶的截止頻率分別為p、s，則其通帶及阻帶的衰減p、s分別定義為6.2 典型模擬濾波器（AF）的設(shè)計一、 有關(guān)概念1. AF的衰減特性模擬濾波器的衰減特性取決于濾波器幅度的平方（又稱模方函數(shù)）|H(j)|2，則定義衰減函數(shù)顯然，濾波器的通帶及阻帶的衰減指標p、s與衰減函數(shù)、模方函數(shù)間的關(guān)系如下|H(j)|理想的低通濾波器1p通帶的截止頻率c實際的截止頻率s阻帶的截止頻率p通帶的最大衰減s阻帶的最小衰減|H(j)| (dB)實際的低通濾波器1p c sps通帶 過渡帶 阻帶幅度平方下降一半

5、即3dB由此可見，在設(shè)計模擬濾波器時，我們可以根據(jù)濾波器的衰減特性來確定其模方函數(shù)。2. 由模方函數(shù)求AF的傳遞函數(shù)由于模擬濾波器的模方函數(shù)其中所以可見，濾波器的模方函數(shù)與其傳遞函數(shù)之間存在密切關(guān)系，因此，我們可以由模方函數(shù)求解出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。二、 巴特沃斯（B型）低通濾波器1. 分析（1） 模方函數(shù)巴特沃斯濾波器是以巴特沃斯近似函數(shù)作為濾波器的傳輸函數(shù)，該函數(shù)以最高階泰勒級數(shù)的形式來逼近理想矩形特性，即 （6.2.1）式中，為與通帶衰減有關(guān)的系數(shù)，c為截止頻率，N為巴特沃斯濾波器的階數(shù)。通常取半功率點為截止頻率，即|H(jc)|2=1/2，則相應(yīng)的衰減將|H(jc)|2=1/2代入（6.2

6、.1）式中，得則巴特沃斯濾波器的模方函數(shù) （6.2.2）可見，巴特沃斯濾波器的特性與階次N有關(guān)，如圖所示（參見P153圖6.2.2），隨著階次N的增加，濾波器的通帶越平坦，越接近理想的矩形特性。（2） 基本性質(zhì)對于不同的階次N，巴特沃斯濾波器的模方特性總滿足由（6.2.2）式可知，巴特沃斯濾波器的幅頻特性是隨著的增大而單調(diào)下降的。當(dāng)0時，|H(j)|1；時，|H(j)|0，也就是說，在0的附近以及很大時其幅頻特性曲線均趨于平坦，因此，巴特沃斯濾波器具有最平坦特性；當(dāng)頻率遠離c時，頻率每增加一倍，衰減增加6N dB，即衰減達到6N dB/倍頻程驗證：當(dāng)c時，則巴特沃斯濾波器的模方函數(shù)就近似為則其

7、衰減函數(shù)當(dāng)=c時，()=0當(dāng)=2c時，()=20N lg26N dB2. 設(shè)計過程（1） 按給定指標確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)N和截止頻率c假設(shè)給定指標：=p時，濾波器通帶的最大衰減為p =s時，濾波器通帶的最小衰減為s由衰減函數(shù)的定義和巴特沃斯濾波器模方函數(shù)的定義可得將給定的指標參數(shù)分別代入上式，得由于，求兩等式的比值并取對數(shù)，可得濾波器的階數(shù)注意：N為正整數(shù)且截止頻率（2） 由巴特沃斯濾波器的模方函數(shù)|H(j)|2求解其傳遞函數(shù)H(s)確定濾波器階數(shù)N確定模方函數(shù)|H(j)|2由物理可實現(xiàn)條件代入模方函數(shù)定義式中選定濾波器的零、極點確定傳遞函數(shù)H(s)我們在前面已經(jīng)介紹過如何由模方函數(shù)求濾波

8、器的傳遞函數(shù)，其具體過程如圖所示：可見，在此過程中，關(guān)鍵是如何確定巴特沃斯濾波器的極點分布。下面我們就此進行討論。 將j= s代入模方函數(shù)的定義式中，并求其極點，可得由上式可知，巴特沃斯濾波器模方函數(shù)的極點分布特點：在S平面上共有2N個極點；各極點都均勻（等角距/N）地分布在以c為半徑的圓周上，且對稱于虛軸，但虛軸上無極點；若N為奇數(shù)時，實軸上有兩個極點，否則，實軸上無極點，如圖所示；N =4jImRe/4N =3jImRe/3這些特點表明，濾波器模方函數(shù)|H(j)|2的2N個極點是對稱分布在S平面的左、右兩半平面的，各有N個。由于模方函數(shù)|H(j)|2=H(s)H(-s)| s= j，為了使

9、所設(shè)計的巴特沃斯濾波器H(s)是個穩(wěn)定的系統(tǒng)，故將模方函數(shù)|H(j)|2在左半S平面的極點分配給H(s)，而將右半S平面的極點分配給H(-s)，故有 （6.2.3）式中，系數(shù)k0可由模方函數(shù)|H(j)|2參見公式（6.2.1）來確定。由于 |H(j)|2 =0=1，即 |H(j)| =0 =1于是則由求其極點sk的公式，可得系數(shù)將上式代入（6.2.3）式，可得N階巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)【備注】切比雪夫濾波器的設(shè)計原理及步驟參見P135137。6.3 無限沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器設(shè)計一、 數(shù)字濾波器概述1. 數(shù)學(xué)模型一般來說，數(shù)字濾波器可以看成是一個因果離散系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)2. 設(shè)計過程無

10、論是FIR濾波器還是在IIR濾波器，其設(shè)計過程都包括：按照實際需要確定濾波器的性能要求，比如確定所設(shè)計的濾波器類型（低通/高通/帶通/帶阻）、衰減、波動等；用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)傳函H(z)去逼近這些性能要求；用一種適當(dāng)?shù)倪\算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)傳函H(z)；二、 設(shè)計IIR濾波器的基本條件（1） 可實現(xiàn)性前面我們曾經(jīng)說過，為了保證所設(shè)計的濾波器是個物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，就必須使該系統(tǒng)滿足因果性和穩(wěn)定性兩個條件。因果性n0時，h(n)=0穩(wěn)定性（2） 實現(xiàn)從模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換 在IIR濾波器的實際設(shè)計過程中，通常先根據(jù)技術(shù)指標的要求，設(shè)計一個模擬濾波器，然后再將其數(shù)字化，這實際上就是要把S平面映射到Z平面，使

11、模擬系統(tǒng)函數(shù)H(s)變換成所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳函H(z)。 這種由復(fù)變量s到復(fù)變量z之間的映射（變換）關(guān)系，必須滿足兩個基本要求：為了使所設(shè)計的數(shù)字濾波器保持模擬濾波器的頻率特性，應(yīng)將S平面的虛軸j映射到Z平面的單位圓ej上，即s=j, -z=ej, -為了使所設(shè)計的數(shù)字濾波器保持模擬濾波器的穩(wěn)定性，應(yīng)將S左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，即Res0|z|1總之，利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器時，必須解決兩個問題：一是，模擬濾波器的設(shè)計，其設(shè)計方法包括：巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器、考爾（橢圓）濾波器等；二是，從模擬濾波器映射成數(shù)字濾波器，主要方法有：沖激響應(yīng)不變法、雙線性變換法、階躍

12、響應(yīng)不變法等。三、 用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR低通濾波器1. 設(shè)計思路所謂沖激響應(yīng)不變法，就是使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)。我們首先對模擬濾波器（AF）的單位沖激響應(yīng)h(t)進行周期為T的等間隔采樣，使數(shù)字濾波器（DF）的單位沖激響應(yīng)序列h(n)恰好等于h(t)的采樣值，即h(n) = h(t)| t =nT然后再對h(n)取Z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)。2. 設(shè)計過程確定AF的傳函H(s)給定指標求解AF的單位沖激響應(yīng)h(t)取拉氏反變換獲得DF的單位沖激響應(yīng)序列h(n)采樣獲得DF的傳函H(z)Z變換令t=nT3. 特點沖激響應(yīng)不變

13、法中，由S平面到Z平面的變換式定義為令，代入上式，得故有由上式可見，沖激響應(yīng)不變法中，從模擬（S平面）到數(shù)字（Z平面）的映射關(guān)系為注意：在此映射過程中，當(dāng)S平面上由-/T到/T和分別向上和向下擴展時，每一個寬度為2/T的條狀區(qū)域都重復(fù)地映射到整個Z平面，如圖所示（參見P158圖6.3.1）。利用上述的映射關(guān)系，我們不難得出結(jié)論：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)實際上就是模擬濾波器頻率響應(yīng)H(j)的周期延拓，即根據(jù)采樣定理，只有當(dāng)模擬濾波器的帶寬被限制在折疊頻率（s/2=/T）以內(nèi)時，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即通過上述討論可知，沖激響應(yīng)不變法的特點：由

14、于這種方法是依據(jù)h(n) = h(t)| t =nT來設(shè)計的，因此，所設(shè)計的數(shù)字濾波器保持了模擬濾波器的時域瞬態(tài)特性，其時域逼近良好；由于數(shù)字頻率和模擬頻率之間滿足線性關(guān)系，即=T，因而數(shù)字濾波器的頻率特性不會發(fā)生非線性失真；由于映射的重復(fù)性，使數(shù)字濾波器在頻域上產(chǎn)生混疊失真缺點；注意：由于頻響的混疊效應(yīng)，所以沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器，即 對于高通和帶阻濾波器濾波器不宜直接采用這種設(shè)計方法，必須加保護濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率成分； 對于低通和帶通濾波器濾波器，需充分限帶，若阻帶衰減越大，則混疊失真越小；四、 用雙線性變換法設(shè)計IIR低通濾波器1. 設(shè)計思路 所謂雙線性變

15、換法，就是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。頻帶壓縮標準變換在利用雙線性變換法設(shè)計IIR低通濾波器時，為了克服多值映射的缺點，防止頻域混疊，我們先采用頻帶壓縮的方法來限制帶寬，即將整個S平面壓縮到某個中介的S1平面的一個條狀區(qū)域（-/T /T）內(nèi)，再通過前面討論過的標準變換關(guān)系，將此條狀區(qū)域變換到整個Z平面上，從而使S平面與Z平面一一對應(yīng)，如圖所示。2. 變換定義式（1） 推導(dǎo)過程可略，參見程佩青數(shù)字信號處理教程P246247（2） 結(jié)論雙線性變換是一種S平面與Z平面之間的單值映射，其變換式定義為3. 特點（1） 頻率特性不存在混疊失真；（2） 頻率特性發(fā)生非線性

16、失真缺點；注意：對于由頻率非線性造成的幅頻失真，我們可以通過預(yù)畸變補償法來有效地加以修正，但是這種頻率非線性關(guān)系還會產(chǎn)生相頻失真，若要求所設(shè)計的數(shù)字濾波器具有嚴格的線性相位特性，則不宜采用雙線性變換法。證：令s= j，z=ej，并代入雙線性變換式，得可見，數(shù)字頻率和模擬頻率之間滿足非線性關(guān)系。4. 設(shè)計過程在用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器時，由于數(shù)字頻率和模擬頻率之間存在非線性，因而對于所要設(shè)計的數(shù)字濾波器的通帶、阻帶的截止頻率p、s，我們應(yīng)先通過預(yù)畸變補償變換式（T為采樣周期）將其變換為相應(yīng)的模擬濾波器的通帶、阻帶截止頻率p、s，然后再按這兩個預(yù)畸變后的模擬域頻率指標p、s來設(shè)計模擬

17、濾波器H(s)。其具體的設(shè)計過程為：（1） 由給定的模擬域頻率指標確定數(shù)字域頻率指標假設(shè)給定的模擬濾波器通帶、阻帶截止頻率分別為p、s，則利用關(guān)系式=T，將其轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的數(shù)字濾波器通帶、阻帶截止頻率p、s。（2） 預(yù)畸變補償利用預(yù)畸變補償變換式將數(shù)字濾波器通帶、阻帶截止頻率p、s變換為補償后的模擬濾波器通帶、阻帶截止頻率p、s。（3） 由補償后的模擬域頻率指標設(shè)計模擬濾波器H(s)（4） 使用雙線性變換法，求數(shù)字濾波器H(z)通過雙線性變換公式，將模擬濾波器H(s)變換為數(shù)字濾波器H(z)，即五、 用頻率變換法設(shè)計其它IIR數(shù)字濾波器模擬低通濾波器H(s)模擬-模擬頻率變換模擬高通/帶通/帶阻

18、濾波器H(s1)沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法數(shù)字高通/帶通/帶阻濾波器H(z)缺點：由于沖激響應(yīng)不變法會產(chǎn)生頻域的混疊失真，則不宜用來變換高通和帶阻濾波器，因此這種變換方法在使用時具有一定的局限性。模擬低通濾波器H(s)數(shù)字-數(shù)字頻率變換沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法數(shù)字高通/帶通/帶阻濾波器H(z)數(shù)字低通濾波器H(z1)【備注】頻率變換法相應(yīng)的變換式參見P146表4.3.1。6.4 有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器設(shè)計一、 基本性質(zhì)1. 線性相位條件 當(dāng)FIR濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)關(guān)于中心點偶對稱或奇對稱時，該濾波器的相頻特性是線性的，且其群延時為恒定值=(N-1)/2。2. FIR數(shù)字濾波器

19、的特點具有嚴格的線性相位以及任意的幅度特性；濾波器必然是穩(wěn)定的；FIR濾波器總能用因果系統(tǒng)來實現(xiàn)；可大大提高其運算效率；二、 窗函數(shù)設(shè)計法（傅里葉級數(shù)法）FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法包括窗函數(shù)法、頻率取樣法和等波紋逼近法等，這里我們著重以矩形窗為例來介紹采用窗函數(shù)設(shè)計法進行FIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計。注意：IIR濾波器設(shè)計中的各種變換法（沖激響應(yīng)不變法、雙線性變換法等）不能適用于FIR濾波器設(shè)計，這是因為IIR濾波器設(shè)計中的各變換法是利用有理分式的系統(tǒng)函數(shù)，而FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只是z -1的多項式。1. 設(shè)計思想假設(shè)給定理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為Hd(ej)，要求所設(shè)計的FIR濾波器頻率響應(yīng)

20、可以逼近Hd(ej)。由序列的傅里葉反變換，可得理想脈沖響應(yīng)序列（P151公式4.2.21）由于Hd(ej)是矩形頻率特性，則hd(n)必然是無限長的非因果序列，而我們要設(shè)計的FIR濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)為有限長的因果序列，所以要用FIR濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)來逼近理想脈沖響應(yīng)序列hd(n)，就必須解決以下兩個問題：（1） 序列的項數(shù)問題加窗截取（2） 序列的因果性問題延時2. 窗函數(shù)的選擇由上述分析可知，采用窗函數(shù)w(n)可以使理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)序列hd(n)截短并延時，從而得到FIR濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)，即由于理想低通濾波器的頻率響應(yīng)則由時域卷積定理可知，加窗處理

21、后FIR濾波器的頻率響應(yīng)故FIR濾波器的幅頻特性這表明：加窗后，F(xiàn)IR濾波器的幅頻特性H()就是理想低通濾波器的幅頻特性Hd()與窗函數(shù)幅頻特性W()的周期卷積，其結(jié)果如圖所示（參見教材P171圖6.4.4）。Hd(ej)H(ej)由圖可見，加窗處理對理想低通濾波器的頻率響應(yīng)造成兩方面的影響：（1） 過渡帶由窗函數(shù)的主瓣引起的使理想頻率特性在不連續(xù)點處邊沿加寬，形成了一個過渡帶，其寬度就等于窗口頻譜的主瓣寬度，而主瓣寬度與窗寬N成反比，因此，過渡帶寬度與所選的窗函數(shù)有關(guān)，且對于一定的窗函數(shù)，增大窗寬N就可使過渡帶變陡；注意：這里所說的過渡帶是指正負兩個肩峰之間的寬度，與濾波器的真正過渡帶不同。

22、（2） 肩峰和波動由窗函數(shù)的旁瓣造成的使濾波器在通帶和阻帶內(nèi)出現(xiàn)了肩峰，并在肩峰的兩側(cè)形成了起伏振蕩，即所謂的吉布斯現(xiàn)象，其振蕩幅度和振蕩波的個數(shù)則分別取決于窗口頻譜中旁瓣的相對幅度及其個數(shù)。對于不同的窗函數(shù)頻譜，其旁瓣情況不同，因此，肩峰和波動與所選的窗函數(shù)有關(guān)，且增大窗寬N只能使通、阻帶內(nèi)振蕩加劇，但并不能改變主瓣與旁瓣的相對比例，也就不能改變肩峰和波動的相對大小從而使振蕩幅度減小。由此可見，通過加窗法來設(shè)計FIR濾波器的關(guān)鍵是窗函數(shù)的形狀及其寬度N的選擇。一般，我們希望所選擇的窗函數(shù)能滿足兩項要求：主瓣寬度盡可能地窄，以便獲得較陡的過渡帶；旁瓣相對于主瓣的幅度越小越好，使能量盡量集中于主瓣，這樣可使肩峰和波動減?。蝗欢?，上述兩項要求總是相互制約、不可兼得的，這是由于一般來說，如果所選的窗口頻譜中旁瓣幅度較小，其主瓣就必定較寬，以保證能量守恒。因此，我們常常要根據(jù)實際需求進行折衷的選