橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關系知識精講

1、高二數(shù)學橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關系知識精講一. 本周教學內(nèi)容： 橢圓的第二定義、參數(shù)方程、直線與橢圓的位置關系知識點 1. 第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率。 注意： e的幾何意義：橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線的距離的比。 2. 焦半徑及焦半徑公式： 橢圓上一個點到焦點的距離叫做橢圓上這個點的焦半徑。 3. 橢圓參數(shù)方程 問題：如圖以原點為圓心，分別以a、b（ab0）為半徑作兩個圓，點B是大圓半徑OA與小圓的交點，過點A作ANOx，垂足為N，過點B作BNAN，垂足為M，求當半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時點M的軌跡的參

2、數(shù)方程。 解：參數(shù)。 說明： 對上述方程（1）消參即 由以上消參過程可知將橢圓的普通方程進行三角變形即得參數(shù)方程。 4. 補充 5. 直線與橢圓位置關系： （1）相離 求橢圓上動點P（x，y）到直線距離的最大值和最小值，（法一，參數(shù)方程法；法二，數(shù)形結(jié)合，求平行線間距離，作ll且l與橢圓相切） 關于直線的對稱橢圓。 （2）相切 弦長公式： 例1. |MA|2|MF|取最小值時，求點M的坐標。 分析： 這里|MP|、|AP|分別表示點A到準線的距離和點M到準線的距離。 解： 例2. 時，點P橫坐標的取值范圍是_。（2000年全國高考題） 分析：可先求F1PF290時，P點的橫坐標。 解：法一 法

3、二 小結(jié)：本題考查橢圓的方程、焦半徑公式，三角函數(shù)，解不等式知識及推理、計算能力。 例3. 弦所在的直線方程。 分析：本例的實質(zhì)是求出直線的斜率，在所給已知條件下求直線的斜率方法較多，故本例解法較多，可作進一步的研究。 解：法一 法二 法三：設所求直線與橢圓的一個交點為A（x，y），由于中點為M（2，1）， 法四 例4. 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？ 解：法一 法二 例5. （2）若四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，點A的橫坐標為5，點C的縱坐標為4，求四邊形ABCD的最大面積。 分析：題（1）解題思路比較多。法一：可從橢圓方程中求出y2代入x2+y2，轉(zhuǎn)化為值，解題時可結(jié)合圖形思考。

4、得最大值為25，最小值為16。 題（2）可將四邊形ABCD的面積分為兩個三角形的面積求解，由于AC是定線段，故長度已定，則當點B、點D到AC所在直線距離最大時，兩個三角形的面積最大，此時 解： （2）由題意得A（5，0），C（0，4），則直線AC方程為：4x5y20 例6. 分線與x軸相交于點P（x0，0）。 （1992年全國高考題） 分析： 證明：法一 法二 法三 這種解題方法通常叫做“端點參數(shù)法”或叫做“設而不求”。 例7. 解法一：設橢圓的參數(shù)方程為 解法二： 小結(jié)：橢圓的參數(shù)方程是解決橢圓問題的一個工具，但不是所有與橢圓有關的問題必須用參數(shù)方程來解決?！灸M試題】 1. 已知橢圓的焦點

5、坐標是是橢圓上的任一點，求證：率。 2. 在橢圓上求一點P，使它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍。 3. 橢圓的長軸長是_。 4. 橢圓，離心率，焦點到橢圓上點的最短距離為，求橢圓的方程。 5. 已知橢圓的一個焦點是F（1，1），與它相對應的準線是，離心率為，求橢圓的方程。 6. 已知點P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍。 7. 在橢圓內(nèi)有一點A（2，1），過點A的直線l的斜率為1，且與橢圓交于B、C兩點，線段BC的中點恰好是A，試求橢圓方程。 8. 已知橢圓，在橢圓上求一點M，使它到兩焦點距離之積為16。 9. 如圖，已知曲線，點A在曲線上移動，點C（6，4），以AC為對角線作矩

6、形ABCD，使ABx軸，ADy軸，求矩形ABCD的面積最小時點A坐標。參考答案 1. 證明：的兩焦點，相應的準線方程分別是。 橢圓上任一點到焦點的距離與它到相應準線的距離的比等于這個橢圓的離心率， 。 化簡得。 點評：都是橢圓上的點到焦點的距離，習慣稱作焦半徑，稱作焦半徑公式，結(jié)合這兩個公式，顯然到焦點距離最遠（近）點為長軸端點。 2. 解：設P點的坐標為（x，y），F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點。 橢圓的準線方程為， 因此，P點的坐標為。 點評：解決橢圓上的點到兩焦點的距離（焦半徑）問題，常利用橢圓的第二定義或焦半徑公式。如果利用焦半徑公式，應先利用第二定義證明焦半徑公式。 3. 解析：橢圓的方程可寫成 ， 一個焦點是（1，1），相對應的準線方程是， 由、得。 4. 解：橢圓的長軸的一個端點到焦點的距離最短， 又， 橢圓的方程為 5. 解：設P（x，y）為橢圓上任意一點， 橢圓的一個焦點是F（1，1）， 與它相對應的準線是，離心率為， ， 即為所求。 6. 解：設P，橢圓的準線方程為，不妨設F1、F2分別為下焦點、上焦點 則 ， 當時， 當 因此，