廣東省2021-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）

1、廣東省佛山一中、珠海一中、金山中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（ ）A. -4B. C. 4D. 【答案】D【解析】試題解析：設(shè)，解得考點(diǎn)：本題考查復(fù)數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是正確計(jì)算復(fù)數(shù)，要掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念2.用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A. 方程沒(méi)有實(shí)根B. 方程至多有一個(gè)實(shí)根C. 方程至多有兩個(gè)實(shí)根D. 方程恰好有兩個(gè)實(shí)根【答案】A【解析】分析：反證法證明命題時(shí)，假設(shè)結(jié)論不成

2、立。至少有一個(gè)的對(duì)立情況為沒(méi)有。故假設(shè)為方程沒(méi)有實(shí)根。詳解：結(jié)論“方程至少有一個(gè)實(shí)根”的假設(shè)是“方程沒(méi)有實(shí)根?！秉c(diǎn)睛：反證法證明命題時(shí)，應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，即結(jié)論的否定成立。常見(jiàn)否定詞語(yǔ)的否定形式如下：結(jié)論詞沒(méi)有至少有一個(gè)至多一個(gè)不大于不等于不存在反設(shè)詞有一個(gè)也沒(méi)有至少兩個(gè)大于等于存在3.曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率.【詳解】解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)斜率為-1，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求出導(dǎo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵。4.函數(shù)的圖像大致是【答案】A【解析】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、冪函

3、數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，考查了同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決函數(shù)圖象問(wèn)題的能力。顯然2、4是函數(shù)的零點(diǎn)，所以排除B、C；當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)圖象的變換趨勢(shì)知，故選A5.由曲線(xiàn)，直線(xiàn)及軸所圍成的圖形的面積為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】解析：作出曲線(xiàn)，直線(xiàn)yx2的草圖(如圖所示)，所求面積為陰影部分的面積由得交點(diǎn)A(4，2)因此與yx2及y軸所圍成的圖形的面積為：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：利用定積分求曲線(xiàn)圍成圖形的面積的步驟：(1)畫(huà)出圖形；(2)確定被積函數(shù)；(3)確定積分的上、下限，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積6.設(shè)是定義在正整數(shù)

4、集上的函數(shù)，且滿(mǎn)足：“當(dāng)成立時(shí)，總可推出成立”那么，下列命題總成立的是（）A. 若成立，則成立B. 若成立，則成立C. 若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立D. 若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立【答案】D【解析】解：利用互為逆否命題真值相同，可知，由已知的條件滿(mǎn)足當(dāng)成立時(shí)，總可以推出成立，則能推斷若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立。其余不成立。7.如圖所示，面積為的平面凸四邊形的第條邊的邊長(zhǎng)記為，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)到第條邊的距離記為，若，則類(lèi)比以上性質(zhì)，體積為的三棱錐的第個(gè)面的面積記為，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到第個(gè)面的距離記為，若，則等于（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平面凸四邊形中的結(jié)論是根據(jù)等面積法得到，

5、類(lèi)比以上性質(zhì)，在三棱錐中根據(jù)等體積法求解的值.【詳解】解：面積為的平面凸四邊形的第條邊的邊長(zhǎng)記為，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)到第條邊的距離記為，所以由等面積法得，因?yàn)?，所以，即，故在平面凸四邊形中，求解此結(jié)論的過(guò)程中運(yùn)用了等面積法求解，類(lèi)比上述性質(zhì)，在三棱錐中，則應(yīng)使用等體積法求解，三棱錐的體積為，因?yàn)轶w積為的三棱錐的第個(gè)面的面積記為，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到第個(gè)面的距離記為，由等體積法有，因?yàn)椋?，所以，即，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了類(lèi)比推理的問(wèn)題，類(lèi)比推理的本質(zhì)是方法的類(lèi)比，解題的關(guān)鍵就在于此.8.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】

6、構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時(shí).所以在上單減，又，即.所以可得,此時(shí)，又為偶函數(shù)，所以在上的解集為：.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時(shí)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分對(duì)應(yīng)值如下表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示 下列關(guān)于的命題：函數(shù)的極大值點(diǎn)為； 函數(shù)在上是減函數(shù)；如果當(dāng)時(shí)，的最大值是，那么的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為、個(gè)其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像及函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值，作出函數(shù)的

7、大致圖像，再對(duì)選項(xiàng)逐一分析，從而得出正確命題的個(gè)數(shù).【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)圖像可知，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故函?shù)的大致圖像如圖所示：由圖像可知，命題正確，命題如果當(dāng)時(shí)，的最大值是，那么的最大值為5，故不正確，命題當(dāng)時(shí)，由于的值不確定，當(dāng)?shù)闹当容^接近于2時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)則有可能是2個(gè)或3個(gè)，故命題不正確，命題，隨著的值的變化，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為、個(gè)，故命題正確，故正確的命題有，選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要能由導(dǎo)函數(shù)圖像解析出原函數(shù)的圖像，從而解決問(wèn)題。10.已知分別是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D.

8、【答案】D【解析】由得，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)可知，即，作出不等式組所表示的區(qū)域如下圖：由得，根據(jù)的幾何意義，即動(dòng)點(diǎn)和間直線(xiàn)的斜率，由圖可知最大值為，最小為，則的取值范圍為，故選D.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查平面區(qū)域的運(yùn)用，考查了直線(xiàn)的斜率，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想即計(jì)算能力，屬于中檔題；求導(dǎo)函數(shù)，利用的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是，建立不等式組，利用平面區(qū)域，結(jié)合將的取值范圍轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)間的斜率范圍問(wèn)題，進(jìn)而可得解.11.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：對(duì)恒成立，故，即恒成立，即對(duì)恒成立，構(gòu)造，開(kāi)口向下的

9、二次函數(shù)的最小值的可能值為端點(diǎn)值，故只需保證，解得故選C【考點(diǎn)】三角變換及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題把導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有所創(chuàng)新,求解的關(guān)鍵是把函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關(guān)的問(wèn)題,即注意正、余弦函數(shù)的有界性.12.若函數(shù)存在極值，且這些極值的和不小于，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】f（x）=axx2lnx，x（0，+），則f（x）=a2x，函數(shù)f（x）存在極值，f（x）=0在（0，+）上有根，即2x2ax+1=0在（0，+）上有根，=a280，顯然當(dāng)=0時(shí)，F(xiàn)（x）無(wú)極值，

10、不合題意；方程必有兩個(gè)不等正根，記方程2x2ax+1=0的兩根為x1，x2，x1+x2=，x1x2=，f（x1），f（x2）是函數(shù)F（x）的兩個(gè)極值，由題意得，f（x1）+f（x2）=a（x1+x2）（x12+x22）（lnx1+lnx2）=+1ln 4ln，化簡(jiǎn)解得，a212，滿(mǎn)足0，又x1+x2=0，即a0，a的取值范圍是，+），故答案為：C。點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和單調(diào)性中的應(yīng)用，極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，但是必須是變號(hào)零點(diǎn)，即在零點(diǎn)兩側(cè)正負(fù)相反；極值即將極值點(diǎn)代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念，還有就是求完導(dǎo)如果出現(xiàn)二次，則極值點(diǎn)就是導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根，可以結(jié)合韋達(dá)定

11、理應(yīng)用解答。二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)城市.丙說(shuō)：我們?nèi)齻€(gè)去過(guò)同一城市.由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)【答案】A【解析】試題分析：由乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市，則乙可能去過(guò)A城市或B城市，但甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市，則乙只能是去過(guò)A，B中的任一個(gè)，再由丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市，則由此可判斷乙去過(guò)的城市為A考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理14.為虛數(shù)單位，=_.【答案】i【解析】【分析】分兩步求解，先求解，然后.【詳解】解：故.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，準(zhǔn)確使用公

12、式是解題的關(guān)鍵。15.母線(xiàn)長(zhǎng)為的圓錐體積最大時(shí)，其側(cè)面展開(kāi)圖圓心角等于_【答案】【解析】【分析】根據(jù)母線(xiàn)長(zhǎng)得出底面圓的半徑與圓錐高之間的關(guān)系，用圓錐的高表示出圓錐的體積函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)可得出體積的最大值，并能得到此時(shí)底面圓的半徑，從而得出側(cè)面展開(kāi)圖圓心角.【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，高為因?yàn)閳A錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為1所以，所以圓錐的體積為，對(duì)體積函數(shù)求導(dǎo)可得，令，解得（舍負(fù)），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，體積取得最大，此時(shí)，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的體積問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立出體積函數(shù)的關(guān)系式，并能正確利用導(dǎo)數(shù)求解.16.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為,則下列

13、命題正確的是_若，則； 若，則；若，則； 若，則【答案】【解析】【分析】利用余弦定理、三角形的性質(zhì)及基本不等式等知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)逐一證明或找反例，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】解：選項(xiàng)：因?yàn)榈膬?nèi)角所對(duì)的邊為所以當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”，因?yàn)?，故，因?yàn)楹瘮?shù)在為單調(diào)減函數(shù)，所以，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：因?yàn)椋?，即，故，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，所以，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：假設(shè)，則，即，所以（1），因，所以，故，同理，對(duì)（1）式兩邊同時(shí)乘以得，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即成立，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：取，故，滿(mǎn)足，而，故為銳角，不能滿(mǎn)足，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故本題的正確選項(xiàng)為【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、反證法、基本不等式等知

14、識(shí)，熟練掌握定理及公式是解題的關(guān)鍵.三、解答題（共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2）求前項(xiàng)和?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明；（2）利用錯(cuò)位相減法解決前項(xiàng)的和.【詳解】解：（1），即， 是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列 ，（2）-，-，-可得，化簡(jiǎn)可得【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的定義、錯(cuò)位相減法求和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練使用定義與公式.18.已知函數(shù)，其中（1）討論的單調(diào)性；（2）寫(xiě)出的極值點(diǎn)?！敬鸢浮浚?）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

15、在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，所以的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，無(wú)極小值點(diǎn)也無(wú)極大值點(diǎn).【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)與的大小關(guān)系進(jìn)行分情況討論，從而得出的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中單調(diào)性的情況，進(jìn)行討論求解.【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，由得或，?dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即，由得或，由得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（2） 當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏?/p>

16、單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，因在上單調(diào)遞增，所以無(wú)極小值點(diǎn)也無(wú)極大值點(diǎn).綜上：當(dāng)時(shí)，所以的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，無(wú)極小值點(diǎn)也無(wú)極大值點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與極值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解極值與單調(diào)性之間的關(guān)系，本題還考查了分類(lèi)討論的思想方法.19.如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角為， ，（1）求證：平面；（2）在線(xiàn)段上求一點(diǎn)，使銳二面角的余弦值為【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)滿(mǎn)足.【解析】【分析】（1）先證明平面，平面，可得平面

17、平面，從而可得結(jié)果；（2）作于點(diǎn)，則平面，以平行于的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求得平面的法向量，結(jié)合面的一個(gè)法向量為，利用空間向量夾角余弦公式列方程解得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)锳BCD是矩形，所以BCAD，又因?yàn)锽C不包含于平面ADE，所以BC平面ADE，因?yàn)镈ECF，CF不包含于平面ADE，所以CF平面ADE，又因?yàn)锽CCFC，所以平面BCF平面ADF，而B(niǎo)F平面BCF，所以BF平面ADE（2）CDAD，CDDEADE為二面角A-CD-F的平面角ADE=60CD面ADE平面平面，作于點(diǎn)，則平面，由，得，以為原點(diǎn)，平行

18、于的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則由，得，取，得平面的一個(gè)法向量為，又面的一個(gè)法向量為，解得或（舍去），此時(shí)，得，即所求線(xiàn)段上的點(diǎn)滿(mǎn)足.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理、空間向量的應(yīng)用，屬于難題.證明線(xiàn)面平行的常用方法：利用線(xiàn)面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，可利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線(xiàn)平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一平面.20.已知橢圓，離心率直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與橢圓相交

19、于兩點(diǎn)自點(diǎn)分別向直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為.（1）求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）記,的面積分別為,，試證明為定值.【答案】（1）橢圓的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程即可解得，根據(jù)的值，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出,的面積，借助韋達(dá)定理對(duì)面積的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意可知，又，即，解得，即，所以，所以橢圓的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程組得，顯然.由韋達(dá)定理得，因?yàn)樽渣c(diǎn)分別向直線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為.所以可得.因?yàn)?，又因?yàn)?，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義、直線(xiàn)與橢圓的定值研究等問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理、設(shè)而不求思想進(jìn)行減元，將多元問(wèn)題變?yōu)橐辉ǘㄖ担﹩?wèn)題。21.已知函數(shù).（1） 若函數(shù)有零點(diǎn), 求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2） 證明:當(dāng)，時(shí), ?！敬鸢浮浚↖）；（II）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得函數(shù)單調(diào)性，并求得函數(shù)的最小值，若函數(shù)有零點(diǎn)，函數(shù)最小值小于零且在定義域范圍有函數(shù)值大于零，解不等