差分方程模型40648

1、差分方程模型,第四講 養(yǎng)老保險,第一講 差分方程,第二講 蛛網(wǎng)模型,第三講 商品銷售量預(yù)測,1、差分方程簡介,規(guī)定 只取非負(fù)整數(shù)，記 為變量在 點(diǎn)的取值，則稱 為 的一階向前差分，稱 為 的二階差分。 由 、 及 的差分給出的方程稱為 的差分方程。其中含 的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階數(shù)。差分方程也可以寫成不顯含差分的形式，例如二階差分方程 可以寫成,滿足一階差分方程的序列 稱為差分方程的解，若解中含有獨(dú)立的常數(shù)的個數(shù)等于差分方程的階數(shù)時，稱此解為該差分方程的通解。 稱如下形式的差分方程 為 階常系數(shù)線性差分方程，其中 是常數(shù)， 。其對應(yīng)的齊次方程為,求非齊次常系數(shù)線性差分方程的通解的步

2、鄹： 1.先求解對應(yīng)的特征方程 2.根據(jù)特征根的不同情況，求解齊次方程的通解 若特征方程有 個不同的實(shí)根 ，則齊次方程 的通解為 ； 若 是特征方程的 重實(shí)根，則齊次方程的通解 為 ； 若特 征方程有單重復(fù)根 ，則齊次方程的通 解為 ，其中 為 的模， 為 的幅角；,若特征方程有 重復(fù)根 ，則齊次方程的通解為 3.求非齊次方程的一個特解 ，若 為齊次方程的通解，則非齊次方程的通解為 。 對特殊形式的特解 可以使用待定系數(shù)法求非齊次方程的特解。例如 ， 為 的 次多項(xiàng)式時可以證明：若 不是特征根，則非齊次方程有形如 的特解， 也是 的 次多項(xiàng)式；若 是 重特征根，則非齊次方程有形如 的特解。進(jìn)而

3、可以用待定系數(shù)法求出 ，從而得到非齊次方程的一個特解。,例1. 求解兩階差分方程,解 對應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，其特征根為 ，故齊次方程的通解為 ，原方程有形如 的特解，帶入原方程求得 ，所以原方程的通解為 在應(yīng)用差分方程研究問題時，需要討論解的穩(wěn)定性。對常系數(shù)非齊次線性差分方程，若不論其對應(yīng)齊次方程的通解中的任意常數(shù)如何取值，當(dāng) 時， ，則稱方程的解是穩(wěn)定的。,2、常系數(shù)線性差分方程的 變換解法,采用上述解析解法求解常系數(shù)線性非齊次差分方程比較 繁瑣，下面介紹 變換，將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程去求解 設(shè)有離散序列 ，則 的 變換定義為 其中 是復(fù)變量，上式右端的級數(shù)的收斂域是某個圓的外部 的

4、 反變換記作,幾個常用離散函數(shù)的 變換,(3) 單邊指數(shù)函數(shù) 的 變換( 為不等于1的正常數(shù)),(1) 單位沖激函數(shù) 的 變換,(2) 單位階躍函數(shù) 的 變換,(1)線性性質(zhì) 設(shè) ，則,變換的性質(zhì),(2)平移性質(zhì)：設(shè) ，則,例2. 求解齊次差分方程,解 令 ，對差分方程取 變換得 對上式取 反變換，便得差分方程的解為,1、問題的提出,在自由競爭的社會中，很多領(lǐng)域會出現(xiàn)循環(huán)波 動的現(xiàn)象。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，可以從自由集市上某種 商品的價格的變化看到如下現(xiàn)象：在某一時期，商 品的上市量大于需求，引起價格下跌，生產(chǎn)者覺得 該商品無利可圖，轉(zhuǎn)而經(jīng)營其他商品，一段時間之 后，隨著產(chǎn)量的下降，供不應(yīng)求又會導(dǎo)致價

5、格上 升，又會有很多生產(chǎn)商進(jìn)行該商品的生產(chǎn)，隨之而 來的是商品過剩，價格下降。在沒有外界干預(yù)的情 況下，這種現(xiàn)象會反復(fù)出現(xiàn)。 如何從數(shù)學(xué)的角度來描述上述現(xiàn)象呢？,2、模型假設(shè),(1)設(shè) 時段商品數(shù)量為 ，其價格為 ，這里把時間 離散化為時段，一個時期相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期。 (2)同一時段的商品價格取決于該時段商品的數(shù)量，稱 為需求函數(shù)。出于對自由經(jīng)濟(jì)的理解，商品的數(shù)量越多，其 價格就越低。故可以假設(shè)需求函數(shù)為一個單調(diào)遞減函數(shù)。 (3) 下一時段的商品數(shù)量由上一時段的商品價格決定， 稱為供應(yīng)函數(shù)，由于價格越高可導(dǎo)致產(chǎn)量越大，所以可以假 設(shè)供應(yīng)函數(shù)是一個單調(diào)遞增的函數(shù)。,3、模型求解,在同一坐

6、標(biāo)系中同時做出 供應(yīng)函數(shù)和需求函數(shù)的圖形 ，設(shè)兩條曲線相交于 則 為平衡點(diǎn)。因?yàn)榇藭r 若某個 有 ，則可推出 即商品的數(shù)量保持在 ，價格 保持在 。不妨假設(shè) 下面考慮 在圖上的變化 如右圖所示。,當(dāng) 給定后，價格 由 上的 點(diǎn)決定，下一時段的數(shù) 量 由 上的 點(diǎn)決定， 又可由 上的點(diǎn) 決定。 依此類推，可得一系列的點(diǎn) 圖上的箭頭表示求出 的次序，由圖知 即市場經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定。,并不是所有的需求函數(shù)和供 應(yīng)函數(shù)都趨于穩(wěn)定，若給定 的 和 的圖形如右圖所 示，得到的 就不趨于 ，此時市場經(jīng)濟(jì) 趨于不穩(wěn)定。,圖1和圖2中的折線 形如蛛網(wǎng)，故把這種模型稱為蛛網(wǎng)模型。在進(jìn)行市場經(jīng)濟(jì)分析中， 取決于消費(fèi)者對

7、某種商品的需求程度及其消費(fèi)水平， 取決于生產(chǎn)者的生產(chǎn)、管理等能力。,當(dāng)已知需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)之后，可以根據(jù) 和 的性質(zhì)判斷平衡點(diǎn) 的穩(wěn)定性。當(dāng) 較小時， 的穩(wěn)定性取決于 和 在點(diǎn) 的斜率， 即當(dāng) 時， 點(diǎn)穩(wěn)定。當(dāng) 時， 點(diǎn)不穩(wěn)定。,這一結(jié)論的直觀解釋是，需求曲線越平，供應(yīng)曲線越 陡，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。 設(shè) 在 點(diǎn)附近取 和 的線性近似，于是得 從上兩式中消去 得 .,以上 個式子相加，有 若 是穩(wěn)定點(diǎn)，則應(yīng)有 ，所以 點(diǎn)穩(wěn)定的條件是 同理 點(diǎn)不穩(wěn)定的條件是,4、模型修正,在上述模型的基礎(chǔ)上，對供應(yīng)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。下面在決 定商品的生產(chǎn)數(shù)量 時，不僅考慮前一時期的價格 ，而 且考慮了價格 ，取 ，

8、在 附近取線性近 似，則有 于是得 將上述兩式整理得到二階線性差分方程,其特征方程為 經(jīng)計算得其特征根 結(jié)論：若方程的特征根均在單位圓內(nèi)，則 為穩(wěn)定點(diǎn)。 當(dāng) 時，該特征方程有兩個實(shí)根，因 則有 ，故此時 不是穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng) 時，特征方 程有兩個共軛復(fù)根，共軛復(fù)根的模的絕對值為,要使 點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)只需 與前面的模型的結(jié)果相比， 的范圍擴(kuò)大 了。這是由于經(jīng)營管理者的水平提高帶來的結(jié) 果。,商品銷售量預(yù)測,在利用差分方程建模究 實(shí)際問題時，常常需要根據(jù) 統(tǒng)計數(shù)據(jù)并用最小二乘法來 擬合出差分方程的系數(shù)。其 系統(tǒng)穩(wěn)定性的討論要用到 代數(shù)方程的求根。 例3 某商品前五年的銷 售量見右表1?，F(xiàn)希望根據(jù)前 五年的統(tǒng)

9、計數(shù)據(jù)預(yù)測第六年 起該商品在各季度中的銷售 量。,由于該問題的數(shù)據(jù)少，用回歸分析效果不一定好。 如果認(rèn)為銷售量并非逐年等量增長而是按前一年或者前幾年同期銷售量的一定比例增長的，則可建立相應(yīng)的差分方程模型。以第一季度為例，以 表示第 年第一季度的銷售量，建立形式如下的差分方程上述差分方程不一定能使所有統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。即選取 使得最小。根據(jù)這一方程可以迭代求解以后各年第一 季度銷售,量的預(yù)測值 。第7年銷售量預(yù)測值居然小于第 6年的，稍作分析，不難看出，如分別對第一季度建立差分 方程，則根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會相差甚大，但對 同一種商品，這種差異應(yīng)當(dāng)是微小的，故應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建 立一個共用于各個季度的差分方程，為此，將季度編號為 ，令 ，利用全體數(shù)據(jù)來擬合 求擬合得到最好的系數(shù)。即求 使得 最小。于是得二階差分方程為 由此式可得 ，這個結(jié)果還是較為可 信的。,1、問題的提出,某保險公司的一份材料指出，在每月交費(fèi) 200元至59歲年底，60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老保險金 的約定下，男子若25歲開始投保，屆時月養(yǎng)老 金2282元；假定人的壽命為75歲，是求出保險 公司為了兌現(xiàn)保險責(zé)任，每月應(yīng)至少有多少投 資收益率 （也就是投保人的實(shí)際收益率）？,2、模型的建立與求解,設(shè)投保人在投保后第