高等數(shù)學考研大總結之四導數(shù)與微分

1、高等數(shù)學考研大總結之四導數(shù)與微分 第四章 導數(shù)與微分 第一講 導數(shù) 一，導數(shù)的定義： 1函數(shù)在某一點x0處的導數(shù)：設y?f?x? 在某個u?x0,?內(nèi)有定義,如果極限 limf?x0?x?f?x0?f?x0?x?f?x0?(其中稱為函數(shù)f?x?在(x0,x0+?x)上的平均?x?x?x?0變化率(或差商)稱此極限值為函數(shù)f?x?在x0處的變化率)存在則稱函數(shù)f?x?在x0點可導.并稱該極限值為f?x?在x0點的導數(shù)記為f/?x0?,若記?x?x?x0,?y?f?x?f?x0?則 f?x?f?x0?ylim/x?x0=f?x0?=?x x?x0?x?0lim解析：導數(shù)的實質是兩個無窮小的比。 即

2、：函數(shù)相對于自變量變化快慢的程度,其絕對值 越大,則函數(shù)在該點附近變化的速度越快。 導數(shù)就是平均變化率(或差商)的極限,常用記法: f/?x0?,y/x?x0,dydxx?x0。 函數(shù)f?x?在某一點x0處的導數(shù)是研究函數(shù)f?x?在點x0處函數(shù)的性質。 導數(shù)定義給出了求函數(shù)f?x?在點x0處的導數(shù)的具體方法,即：對于點x0處的自變量增量?x,求出函數(shù)的增量（差分）?y=f?x0?x?f?x0?求函數(shù)增量?y與自變量增 ?y?ylim量?x之比求極限?x若存在,則極限值就是函數(shù)f?x?在點x0處的導數(shù),若極限不 ?x?x?0存在,則稱函數(shù)f?x?在x0處不可導。 在求極限的過程中, x0是常數(shù),

3、 ?x是變量, 求出的極限值一般依賴于x0 導數(shù)是由極限定義的但兩者仍有不同，我們稱當極限值為?時通常叫做極限不存在，而導數(shù)則不同，因其具有實在的幾何意義，故當在某點處左，右導數(shù)存在且為同一個廣義實數(shù)值時我們稱函數(shù)在某點可導。實質是給導數(shù)的定義做了一個推廣。 注意: 若函數(shù)f?x?在點x0處無定義,則函數(shù)在x0點處必無導數(shù),但若函數(shù)在點x0處有定義,則函數(shù)在點x0處未必可導。 2 單側導數(shù)：設函數(shù)f?x?在某個?x0?,x0?（或?x0,x0?）有定義，并且極限 第1頁 limf?x0?x?f?x0?f?x0?x?f?x?lim（或）存在，則稱其極限值為f?x?在x0點?x?x?x?0?x?0

4、?/的左（右）導數(shù)，記為：f統(tǒng)稱為單側導數(shù)。 。左導數(shù)和右導數(shù)?x0?0?或f?/?x0?（或f/?x0?0?,f?/?x0?） 函數(shù)在某一點處有導數(shù)的充要條件：左導數(shù)和右導數(shù)存在且相等。 3 函數(shù)在某一區(qū)間上的導數(shù)：在?a,b?內(nèi)可導：如果函數(shù)f?x?在開區(qū)間?a,b?內(nèi)每一點都可導，則說f?x?在?a,b?內(nèi)可導（描述性）。在?a,b?內(nèi)可導：如果函數(shù)f?x?在?a,b?內(nèi)可導且f?/?a?,f?/?b?存在則說函數(shù)f?x?在?a,b?上可導。 4 導函數(shù)：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間i上可導，則對于任意一個x?i都對應著唯一一個（極 ?x?，這樣就構成了一個新的函數(shù)，稱為函數(shù)y?f?x?的導

5、dydf?x?/函數(shù)。記為：f?x?或或或y，由此可知函數(shù)f?x?某一點x處的導數(shù)實質是在 限的唯一性）確定的導數(shù)值f/dxdx0點x0處的導函數(shù)值。 解析：（1）區(qū)別f/而?f?x0?x0?與?f?x0?/：f/?x0?表示函數(shù)f?x?在點x0處的導函數(shù)值， 表示對函數(shù)值f?x0?這個常數(shù)求導，其結果為零。 （2）與在某一區(qū)間可導的關系：在某一區(qū)間可導就是在該區(qū)間上存在導函數(shù)。 5 可導與連續(xù)的關系：可導必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。 二，導數(shù)的幾何意義： 當y=f?x?表示一條曲線時,則f/?x?表示曲線在?x,y?點的切線的斜率，f/?x?的正和負分 /別表示曲線在該點是上升還是下降. f?

6、x?的大小則表示曲線在該點的鄰域內(nèi)起伏的程度, f/f/?x?越小說明曲線在該點的鄰域內(nèi)近似水平,反之 ?x?越大說明曲線在該點的鄰域內(nèi) 越陡,起伏明顯。 解析：用曲線上某點和增量點連線的割線的斜率的極限來表達曲線在某點的斜率。 過曲線y=f?x?上的點(x0,y0)的方程:切線方程y-y0=f法線方程: y-y0=?/?x0?(x-x0). 1?x?x0?( f/f?x0?/?x0?0) 如果點p(a,b)在曲線y=f?x?外,那么過p點與曲線相切的切線有兩條。 第2頁 若f/?x0?=?說明函數(shù)f?x?的曲線在點x0處的切線與 x軸垂直。若 f/?x0?=0則說明f?x?的曲線在點x0處的

7、切線與x軸平行。 三，導數(shù)的四則運算 如果函數(shù)u?u?x?及v?v?x?都在點x具有導數(shù),那么其和差積商(除分母為零的點外)都在點x具有導數(shù)。 ?u?x?v?x?u/?x?v/?x? /?u?x?v?x?u/?x?v?x?u?x?v/?x? ?ku?x?ku/?x? /?k?kv/?x?u?x?u?x?v?x?u?x?v?x?v?x?0? ?2?v?x?0? ?2v?x?v?x?v?x?v?x?/解析：和差積可推廣為有限項即： ?u1?x?u2?x?un?x?/?u1/?x?u2/?x?un/?x? ?u1?x?u2?x?un?x?/u?x? ?u1?x?u2?x?un?x?kuk?x?k?1

8、n/四，幾類函數(shù)的求導法則 1反函數(shù)的求導法則：如果函數(shù)x?f?y?在區(qū)間iy內(nèi)單調(diào)且fy=f?1?y?0則它的反函數(shù) 1f/?x?在區(qū)間ix?xx?f?y?,y?iy內(nèi)也可導，且f?1?x?/?y?或 dy1?即：dxdxdy是的函數(shù)反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。 解析：f/?y?0且x?f?y?在點y處連續(xù)。 /反函數(shù)求導法則的幾何意義：由于f?x?是函數(shù)f?x?的曲線上點x處的切線 與x軸正向夾角?的正切。而反函數(shù)x?f?y?與y=f?x?在同一坐標系中有相同的曲線，只不過反函數(shù)x?f?y?的自變量是y所以導數(shù)f/?y?就是y=f?x?曲線上x的對應點y處 /的同一條切線與y軸正向

9、夾角?的正切，因此：f?y?1f/?x?即：tan?1（?，tan?之和為 ?） 22 復合函數(shù)的求導法則（鏈式求導）：如果u?g?x?在點x可導，而y=f?u?在點u?g?x? 第3頁 可導，則復合函數(shù)y?f?g?x?在點x可導，且其導數(shù)為：dydydudy?f/?u?g/?x?或。 dxdudxdx解析：復合函數(shù)整體在某點是否可導與u?g?x?和g?x?在某點是否可導無關。 逐層分解為簡單函數(shù)在求導，不重，不漏。 3 隱函數(shù)求導法則：對方程f?x,y?0所確定的隱函數(shù)求導，要把方程f?x,y?0的兩邊分別對x求導即可。在求導過程中應注意y是x的函數(shù)，所以在對y或y的函數(shù)求導時應理解為復合函

10、數(shù)的求導。 4 參數(shù)方程求導法則：由參數(shù)方程?x?t?t?所確定的與的函數(shù)的導數(shù)為： ?y?t?/?t?f?x?/。 ?t?/dydf/?x?/?t?/?t?/?t?/?t?/?yx2?解析：注意理解y?。 3/dtdt?t?dxdxdtdt/?5 對數(shù)求導法則：是求冪指數(shù)y?f?x?x?型導數(shù)的有效方法即：對函數(shù)y?f?x?x?的兩邊同時取對數(shù)，然后根據(jù)對數(shù)的性質將作為指數(shù)的函數(shù)?x?化為與lnf?x?相乘的一個因子，再利用上述方法求導。 6 兩個結論：可微分的周期函數(shù)其導數(shù)仍為具有相同周期的周期函數(shù)。 可微分的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，而可微分的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)。這個事實說明：凡對稱于

11、y軸的圖形其對稱點的切線也關于y軸對稱。凡關于原點對稱的圖形，其對稱點的切線互相平行。 五，常見函數(shù)的一階導數(shù) c?0（為常數(shù)）xa?lnx?/?/?axa?1ax?/?lna?axex?/x?ex?loga/1 xlna11/2?sinx?cosx?cosx?sinx?tanx?secx? xcos2x1/2?cotx?cscx?secx?secxtanxcscx?cscxcotx sin2x?arcsinx?/11?x2?arccosx?/11?x2?arctanx?/1 21?x?arccotx?/211/2?thx?sechx? ?shx?chxchx?shx1?x2ch2x1/?ar

12、cshx?（21） sh2x?cthx?cschx?1x?12（22）?archx?/1x?12 第4頁 （23）?arcthx?/1 1?x2六，高階導數(shù) 設f/并且f/?x?也在i上可導，則稱f?x?在i上二階可導，?x?是函數(shù)f?x?在i上的導數(shù)， /并稱f?x?的導函數(shù)是f?x?在 i上二階導數(shù)，記為：f/?x?或f?2?x?，一般地，設 f?n?1?x?n?2?是f?x?在區(qū)間i上的?n?1?階導函數(shù)并且f?n?1?x?也在i上可導則稱f?x?在i上階可導，并稱f?n?1?x?的導函數(shù)是f?x?在區(qū)間i上的階導函數(shù)記為： f?n?dny?x?當函數(shù)由y?f?x?給出時f?x?的階導數(shù)

13、也可表示為：y,n,f?n?x?。若在 dx?n?n?x0點的階導數(shù)常記為：fdnydnf?x?x0?,yx?x0,nx?x0,xx?x0。 dxdxn解析：規(guī)定函數(shù)f?x?的零階導數(shù)為函數(shù)f?x?的本身。 該定義的給出具有數(shù)學歸納法的性質，因此在求某一函數(shù)的高階導數(shù)時常用數(shù)學歸 納法。 f?x?的階導數(shù)是由f?x?的?n?1?階再一階導而求得，所以其具有逐階刻畫的性質。 高階導數(shù)的常用求法：萊布尼茨(leibniz)公式： ?uv?n?k?n?k?k?(u,v?a,b?上的階連續(xù)函數(shù)）其展開式為：?cnuvk?0n1?n?1?/2?n?2?/u?n?v?cnuv?cnuv?uv?n? 。 七，常見函數(shù)的高階導數(shù) ?c?ax?n?n?0（為常數(shù)）xanxkxn?a?a?1?a?