河南洛陽高一數(shù)學(xué)期末考試

河南省洛陽市2018-2019學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)測試一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合A=，B=，則A. AB= B. ABC. AB D. AB=R【答案】A【解析】由得，所以，選A點睛:對于集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理2.已知圓：與圓：，則兩圓的公切線條數(shù)為A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條【答案】D【解析】【分析】求出兩圓的圓心與半徑，利用圓心距判斷兩圓外離，公切線有4條【詳解】圓C1：x2+y22x0化為標準形式是（x1）2+y21，圓心是C1（1，0），半徑是r11；圓C2：x2+y24y+30化為標準形式是x2+（y2）21，圓心是C2（0，2），半徑是r21；則|C1C2|r1+r2，兩圓外離，公切線有4條故選：D【點睛】本題考查了兩圓的一般方程與位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題3.三個數(shù)大小的順序是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：，所以.考點：比較大小.4.已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ）A. 若則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】B【解析】試題分析：若A若則與可能平行、相交、異面，故A錯誤； B若，則，顯然成立；C若，則或故C錯誤；D若，則或或與相交.考點：1.命題的真假；2.線面之間的位置關(guān)系.視頻5.在四面體的四個面中，是直角三角形的至多有A. 0個 B. 2個 C. 3個 D. 4個【答案】D【解析】【分析】作出圖形，能夠做到PA與AB，AC垂直，BC與BA，BP垂直，得解【詳解】如圖，PA平面ABC，CBAB，則CBBP，故四個面均為直角三角形故選：D【點睛】本題考查了四面體的結(jié)構(gòu)與特征，考查了線面的垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.6.若圓上有且只有兩個點到直線的距離等于1，則半徑的取值范圍是（ ）A. (4,6) B. C. D. 【答案】A【解析】因為圓心(3,-5)到直線4x-3y-2=0的距離為5,所以要使圓上有且只有兩個點到直線的距離等于1,r須滿足.7.已知定義在上的函數(shù)滿足，則（ )A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：，且，又，由此可得，是周期為的函數(shù)，故選B.考點：函數(shù)的奇偶性，周期性，對稱性，是對函數(shù)的基本性質(zhì)的考察.【易錯點晴】函數(shù)滿足則函數(shù)關(guān)于中心對稱，,則函數(shù)關(guān)于軸對稱，常用結(jié)論：若在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)以為周期.本題中，利用此結(jié)論可得周期為，進而，需要回到本題利用題干條件賦值即可.8.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A. 3 B. 2C. 2 D. 2【答案】B【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，四棱錐ABCDE，其中AE平面BCDE，底面BCDE為正方形，則AD=AB=2，AC=該四棱錐的最長棱的長度為故選：9.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線若的頂點，且的歐拉線的方程為，則頂點C的坐標為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點C的坐標【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標公式得，三角形ABC的重心為（，），代入歐拉線方程得：20，整理得：mn+40 AB的中點為（1，2），直線AB的斜率k2，AB的中垂線方程為y2（x1），即x2y+30聯(lián)立，解得ABC的外心為（1，1）則（m+1）2+（n1）232+1210，整理得：m2+n2+2m2n8 聯(lián)立得：m4，n0或m0，n4當m0，n4時B，C重合，舍去頂點C的坐標是（4，0）故選：A【點睛】本題考查直線方程的求法，訓(xùn)練了直線方程的點斜式，考查了方程組的解法10.設(shè)函數(shù)的最小值為-1，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：當時，為增函數(shù)，最小值為，故當時，分離參數(shù)得，函數(shù)開口向下，且對稱軸為，故在遞增，即.考點：分段函數(shù)的最值.【思路點晴】本題主要考查分段函數(shù)值域問題，由于函數(shù)的最小值為，所以要在兩段函數(shù)圖象都要討論最小值.首先考慮沒有參數(shù)的一段，當時，為增函數(shù)，最小值為.由于這一段函數(shù)值域已經(jīng)包括了最小值，故當時，值域應(yīng)該不小于，分離常數(shù)后利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)的取值范圍.11.由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 過圓心向已知直線引垂線，垂足為M，過點M做圓的切線，切線長最短，先求圓心 到直線的距離，圓的半徑為1，則切線長的最小值為，選B.12.已知函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱，當函數(shù)和在區(qū)間同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”，若區(qū)間為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：易知與在上單調(diào)性相同，當兩個函數(shù)單調(diào)遞增時，與的圖象如圖1所示，易知，解得；當兩個函數(shù)單調(diào)遞減時，的圖象如圖2所示，此時關(guān)于軸對稱的函數(shù)不可能在上為減函數(shù)綜上所述，故選C考點：1、新定義；2、函數(shù)的圖象二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，,則_.【答案】12【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，.14.在空間直角坐標系中，一點到三個坐標軸的距離都是1，則該點到原點的距離是_【答案】【答案】 【解析】【分析】設(shè)出該點的坐標，根據(jù)題意列方程組，從而求得該點到原點的距離【詳解】設(shè)該點的坐標是（x，y，z），該點到三個坐標軸的距離都是1，x2+y21，x2+z21，y2+z21，x2+y2+z2，該點到原點的距離是故答案為：【點睛】本題考查了空間中點的坐標與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題15.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_【答案】（4，+）【解析】由得，令，則，時，為減函數(shù)；時，為增函數(shù)；為增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是，答案為.【方法點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷可以綜合考查兩個函數(shù)的單調(diào)性，因此也是命題的熱點，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性要注意把握兩點：一是要同時考慮兩個函數(shù)的的定義域；二是同時考慮兩個函數(shù)的單調(diào)性，正確理解“同增異減”的含義（增增 增，減減 增，增減 減，減增 減）.16.如圖，矩形中，平面，若在上只有一個點滿足，則的值等于_.【答案】【解析】試題分析:利用三垂線定理的逆定理、直線與圓相切的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)即可求出解：連接AQ，取AD的中點O，連接OQPA平面ABCD，PQDQ，由三垂線定理的逆定理可得DQAQ點Q在以線段AD的中點O為圓心的圓上，又在BC上有且僅有一個點Q滿足PQDQ，BC與圓O相切，（否則相交就有兩點滿足垂直，矛盾）OQBC，ADBC，OQ=AB=1，BC=AD=2，即a=2故答案為：2考點：直線與平面垂直的性質(zhì)三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知：，：，分別求m的值，使得和：垂直；平行；重合；相交【答案】（1）； （2）-1； （3）3； （4）且.【解析】【分析】（1）若l1和l2垂直，則m2+3m0（2）若l1和l2平行，則（3）若l1和l2重合，則（4）若l1和l2相交，則由（2）（3）的情況去掉即可【詳解】若和垂直，則,若和平行，則,若和重合，則，若和相交，則由可知且【點睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線的不同位置的條件一般式方程的表示18.有兩直線和，當a在區(qū)間內(nèi)變化時，求直線與兩坐標軸圍成的四邊形面積的最小值【答案】.【解析】【分析】利用直線方程，求出相關(guān)點的坐標，利用直線系解得yE2根據(jù)S四邊形OCEASBCESOAB即可得出【詳解】0a2，可得l1：ax2y2a4，與坐標軸的交點A（0，a+2），B（2，0）l2：2x（1a2）y22a20，與坐標軸的交點C（a2+1，0），D（0，）兩直線ax2y2a+40和2x（1a2）y22a20，都經(jīng)過定點（2，2），即yE2S四邊形OCEASBCESOAB|BC|yE|OA|OB|（a21）2（2a）（2）a2a+3（a）2，當a時取等號l1，l2與坐標軸圍成的四邊形面積的最小值為【點睛】本題考查了相交直線、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19.如圖，在圓錐中，已知PO=，圓O的直徑AB=2，C是弧AB的中點，D為AC的中點（1）求異面直線PD和BC所成的角的正切值；（2）求直線和平面所成角的正弦值【答案】（1）2；（2）【解析】試題分析：（1）異面直線所成的角，往往通過平移轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi)求解本題轉(zhuǎn)化到直角三角形PDO中求解（2）直線與平面所成的角，應(yīng)先作出直線在平面內(nèi)的射影，則斜線與射影所成的角即為所求本題過點O向平面PAC作垂線，則即為直線與平面所成的角，進而求出其正弦值試題解析：（1）O，D分別是AB和AC的中點OD/BC異面直線PD和BC所成的角為PDO在ABC中，的中點又 （2）因為又所以又所以平面在平面中，過作則連結(jié)，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角在在考點：異面直線所成的角、斜線與平面所成的角20.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上至少有一個零點，求的取值范圍；（2）若函數(shù)在上的最大值為3，求的值.【答案】(1) ；（2）或.【解析】試題分析：（1）由函數(shù)在至少有一個零點，方程至少有一個實數(shù)根，解出即可；（2）通過對區(qū)間端點與對稱軸頂點的橫坐標的大小比較，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)在上的最大值，令其等于可得結(jié)果.試題解析：（1）由.（2）化簡得，當，即時，；當，即時，（舍）；當，即時，綜上，或.21.如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，點在側(cè)棱上，點在側(cè)棱上，且（1）求證： ； （2）求二面角的大小【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以為坐標原點，分別為軸和軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標.（1）證明即即可；（2）分別求出平面的一個法向量為和側(cè)面的一個法向量為，根據(jù)求出的法向量的夾角來求二面角的大小.試題解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則由已知可得（1）證明：，所以.（2），設(shè)平面的一個法向量為，由，得，即，解得，可取設(shè)側(cè)面的一個法向量為，由，及可取.設(shè)二面角的大小為，于是由為銳角可得所以.即所求二面角的大小為.考點：空間向量證明直線與直線垂直及求解二面角.22.已知直線l：與x軸交于A點，動圓M與直線l相切，并且和圓O：相外切求動圓圓心M的軌跡C的方程若過原點且傾斜角為的直線與曲線C交于M、N兩點，問是否存在以MN為直徑的圓過點A？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，說明理由【答案】（1）（）（2）故不存在以為直徑的圓恰好過點【解析】試題分析：（1）設(shè)出動圓圓心坐標，由動圓圓心到切線的距離等于動圓與定圓的圓心距減定圓的半徑列式求解動圓圓心的軌跡方程；（2）求出過原點且傾