文科數(shù)學(xué)教科院

文科數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共13頁(yè)） 2019 年深圳市高三第二次調(diào)研考試 文科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考 第卷 一選擇題 （1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C （7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D 12.【解法 1】 122 ( )1 22 axxa fx xxx = = 注意到函數(shù)2yxx=在()1+，上單調(diào)遞增，且2 1xx 若 1 2 a ， 則1 20a， 則( )0fx ， 函數(shù)( )f x在()1+，上單調(diào)遞增， 故( )(1)0f xf=， 不合題意，應(yīng)舍去 當(dāng) 1 2 a 時(shí)，此時(shí)存在() 0 1x +， ，使得當(dāng)() 0 1xx ， 時(shí)，( )f x單調(diào)遞減，當(dāng)() 0, xx+ 時(shí)，( )f x單調(diào)遞增因?yàn)?1)0f=，所以 0 ()0f x又因?yàn)?) 2 (1)0fa+，故此時(shí)( )f x在 ()1+，上必定存在零點(diǎn)綜上所述，答案為 D 【解法 2】函數(shù)( )f x在()1+，上存在零點(diǎn)，即方程ln0 xxax=在()1+，上有解， 設(shè) (1)tx t=， 則方程可化為 2 2 ln0(1)ttatt =， 顯然當(dāng)0a =時(shí)， 方程在()1+，上無解； 當(dāng)0a 時(shí)，方程可化為 1ln (1) 2 t t at =，通過研究直線 1 (1) 2 yt a =與曲線 lnt y t =的位置關(guān) 系，易知 1 01 2a ，所以 1 2 a . 【解法 3】此題作為選擇題，結(jié)合答案是有一些較為靈活的解題方法的，比如可以將問題轉(zhuǎn)化為 直 線( )g xx=與( )lnh xxax=+在()1+，上 有 交 點(diǎn) ， 注 意 到0a 和 函 數(shù) ( )lnh xxax=+的凹凸性以及 ( ), ( )g xh x均過點(diǎn)()1,1， 故可研究( )h x 在()1,1處的切線即可 二填空題： 134 141 15 2 3 16 2 3 16【解法 1】設(shè)ABD的外接圓半徑為r，2ADB=，其中 (0, ) 2 由正弦定理易得 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)（共13頁(yè)） 4sin 2 sin2 r =，故 1 cos r =由題意知 2 1= 5r+ 解得 1 cos = 2 ，所以ADB 2 =2 = 3 【解法 2】設(shè)ABD的外接圓半徑為r，2ADB=，其中 (0, ) 2 ，并設(shè)AB中點(diǎn)為 M，DMb=，AMa=，則有 222 ()abrr+=，由于 22 4ab+=，由此可得2br =，又因?yàn)?2 1=5r+，所以=2r，而 11 cos= 22 b r =，所以ADB 2 =2 = 3 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17（本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列 n a 滿足 1 2a =, 1 22 n nn aa + =+()n N （1）判斷數(shù)列2 n n a 是否為等差數(shù)列，并說明理由； （2）記 n S為數(shù)列 n a 的前n項(xiàng)和，求 n S 【解析】(1) 設(shè)2 nn n ba=，則 1 11 2n nn ba + + =，2 分 則 1 111 (2)(2 )2 nnn nnnnnn bbaaaa + + =， 4 分 (22)22 nn nn aa=+=()n N， 5 分 所以，數(shù)列2 n n a 是首項(xiàng)為0，公差2d =的等差數(shù)列6 分 (2)由（1）可知20(1) n n na =+2， 8 分 22(1) n n an=+，9 分 12 0(1)2 (1 2 ) 22 1 22 n n n nn Snn + + =+=+ . 12 分 【命題意圖】本題主要考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列的證明方法，分組求和法以及等 差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等知識(shí)，重點(diǎn)考查等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等 核心素養(yǎng) 18（本小題滿分 12 分） 某網(wǎng)店經(jīng)銷某商品，為了解該商品的月銷量y（單位：千件）與售價(jià)x（單位：元/件）之 間的關(guān)系，收集了5組數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到如下數(shù)表： x 5 6 7 8 9 y 8 6 4.5 3.5 3 （1） 統(tǒng)計(jì)學(xué)中用相關(guān)系數(shù)r來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱， 若0.75,1r ， 則 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)（共13頁(yè)） 認(rèn)為相關(guān)性很強(qiáng)；若0.3,0.75)r ，則認(rèn)為相關(guān)性一般；若0,0.25r ，則認(rèn)為相關(guān)性較弱. 請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱（精確到0.01）； （2）求y關(guān)于x的線性回歸方程； （3）根據(jù)（2）中的線性回歸方程，應(yīng)將售價(jià)x定為多少，可獲取最大的月銷售金額？ 解：(1)由表中數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得， 7x = ，5y =， 1 分 5 2 1 ()10 i i xx = = ， 5 2 1 ()16.5 i i yy = = ，2 分 5 1 ()()12.5 ii i xxyy = = ， 12.5 0.97 10 16.5 r 3 分 因?yàn)?.970.75,1r ， 4 分 說明y與x的線性相關(guān)關(guān)系很強(qiáng).5 分 （2）由（1）可知 1 2 1 ()() 12.5 1.25 10 () n ii i n i i xxyy b xx = = = 7 分 51.25713.75aybx = =（） ， 8 分 1.2513.75yx =+ 9 分 （3）由題意可知， 月銷售額的預(yù)報(bào)值 2 1000= 125013750zy xxx = +（元） 或者 2 = 1.2513.75zy xxx = +（千元） 10 分 則當(dāng)5.5x =時(shí)，z 取到最大值， 即該店主將售價(jià)定為5.5元/件時(shí)，可使網(wǎng)店的月銷售額最大. 12 分 【命題意圖】本題旨在考查概率統(tǒng)計(jì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以研究相關(guān)系數(shù)，線性回歸，二 次函數(shù)等知識(shí)為載體，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 19（本小題滿分 12 分） 在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，以CE和CF為折 痕把DFC和BEC折起，使點(diǎn)B、D重合于點(diǎn)P位置，連結(jié)PA，得到如圖所示的四棱錐 PAECF. （1）在線段PC上是否存在一點(diǎn)G，使PA與平面EFG平行，若存在，求 PG GC 的值； 若不存在，請(qǐng)說明理由. 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)（共13頁(yè)） （2）求點(diǎn)A到平面PEC的距離 解： （1）線段PC上的點(diǎn)G滿足 1 3 PG GC =時(shí)，PA與平面EFG平行 1 分 證明如下： 連結(jié)EF，EG，F(xiàn)G，AC，記AC與EF的交點(diǎn)為O，連結(jié)OG 在正方形ABCD中， E、F分別為邊AB、AD的中點(diǎn)， 1 3 AO OC =， 2 分 故 1 3 AOPG OCGC =， 3 分 PA/ OG 4 分 PAEFG 平面，OGEFG 平面, / /PAEFG平面 6 分 （2）解法一：解法一：在正方形ABCD中，ABBC，ADCD， 翻折后PCPE，PCPF， 又PEPFP=，PC平面PEF 8 分 記AC與EF的交點(diǎn)為O，連結(jié)PO， 可知OPC為直角三角形，2OP =，4PC =，3 2OC =， 設(shè)P到直線AC的距離為h，4 23 2 h=， 4 3 h = 9 分 ,PCEF ACEF ACPCC=, EFPAC 平面 EFAECF 平面, PACAEC平面平面 =PACAEC AC平面平面 OPC斜邊OC上的高 h 即為三棱錐-P AEC的高 10 分 111416 2 4 33239 P AECAEC VSh = =， 1 4 2 PCE SPC PE =，設(shè)點(diǎn)A到平面PCE的距離為 h ， A B C D E F P O 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第5頁(yè)（共13頁(yè)） 14 33 A PCEPCE VShh =， 416 39 h =，解得 4 = 3 h 12 分 解解法二法二：在正方形ABCD中，ABBC，ADCD， 翻折后PCPE，PCPF， 又PEPFP=，PC平面PEF， 8 分 記AC與EF的交點(diǎn)為O，連結(jié)PO， 可知OPC為直角三角形，2OP =，4PC =，3 2OC =， 易得P到直線AC的距離為 4 3 ， 9 分 2 3 8 3 4 24 2 1 = PAC S， ,PCEF ACEF ACPCC=, EFPAC 平面， - 11816 =22 3339 P AECE PACPAC VVSOE =， 又 1 4 2 PCE SPC PE =，設(shè)點(diǎn)A到平面PCE的距離為h， 14 33 A PCEPCE VShh =， 416 39 h=，解得 4 = 3 h 12 分 解解法三法三：在正方形ABCD中，ABBC，ADCD， 翻折后PCPE，PCPF， 又PEPFP=，PC平面PEF 8 分 記AC與EF的交點(diǎn)為O，連結(jié)PO， 可知OPC為直角三角形，2OP =，4PC =，3 2OC =， 易得 2224 2 1 = POC S 9 分 ,PCEF ACEF ACPCC= ， EFPAC 平面， 3 4 222 3 1 = E-POC V， A B C D E F P O A B C D E F P O 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第6頁(yè)（共13頁(yè)） - 44 416 = 33 39 E PACE POC VV =， 又 1 4 2 PCE SPC PE =，設(shè)點(diǎn)A到平面PCE的距離為h， 14 33 A PCEPCE VShh =， 416 39 h=，解得 4 = 3 h 12 分 【說明】本題以翻折問題為載體考查空間中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，線面平行的性質(zhì)定理的 應(yīng)用，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，意在考查考生的空間想象能力，邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能 力 20（本小題滿分 12 分） 設(shè)點(diǎn)P是直線 2y = 上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作拋物線 2 :4C xy=的兩條切線PA、PB， 其中A、B為切點(diǎn). （1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為 1 (1,) 4 ，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)； （2）當(dāng)ABP的面積為 27 2 時(shí)，求AB. 【解析】（1）由 2 1 4 yx=，所以 1 2 yx = ， 1 分 因?yàn)?1 (1, ) 4 A， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線PA的斜率 11 1= 22 PA k=，2 分 所以切線PA的方程為 11 :(1) 42 = PA lyx，即 11 24 =yx，3 分 又因?yàn)辄c(diǎn)P為直線 2y = 與直線 11 24 =yx的公共點(diǎn)， 聯(lián)立 2y = 與 11 24 =yx，可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為 7 2 .4 分 （2）法一：法一：不妨設(shè) 1122 ( ,), (,)A x yB x y， 0 (, 2)P x ， 由（1）可知 1 1 2 PA kx=，即直線PA的方程為 111 1 () 2 =yyx xx， 即 11 1 : 2 PA lyx xy=，同理可得 22 1 : 2 PB lyx xy=，5 分 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第7頁(yè)（共13頁(yè)） 因?yàn)榍芯€PA，PB均過點(diǎn) 0 (, 2)P x ， 所以 0 11 0 22 2 2 2 2 x xy x xy = = ， 6 分 所以 1122 ( ,),(,)x yx y為方程 0 2 2 x xy= 的兩組解， 所以直線AB的方程為 0 2 2 x xy= ，即 0 :2 2 AB x lyx=+.7 分 聯(lián)立 0 2 2 2 4 x yx xy =+ = ，可得 2 0 280 xx x=，顯然0， 由韋達(dá)定理得， 1201 2 2,8xxx x x+=， 8 分 所以 2 222 00 00 1 ()(2)4 ( 8)1432 24 xx ABxx=+ =+ ， 9 分 又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線AB的距離 2 0 2 0 4 2 1 () 2 x d x + = + ， 10 分 所以 32 22 0 2 00 11127 4432(8) 22222 ABP x SAB dxx =+=+= ，11 分 解得 2 0 1x=，所以 2 2 0 0 1432=3 5 4 =+ x ABx. 12 分 法二：法二：不妨設(shè) 1122 ( ,), (,)A x yB x y，由（1）可知直線PA的方程為 2 11 24 xx yx=， 同理，直線PB的方程為 2 22 24 xx yx=，5 分 聯(lián)立解得 1212 (,) 24 xxx x P + ，6 分 又點(diǎn)P在直線2y = ，所以 1 2 2 4 x x =， 12 8x x = ， 7 分 設(shè)直線AB的方程為ykxm=+，聯(lián)立 2 4xy ykxm = =+ ，可得 2 440 xkxm=， 由韋達(dá)定理得 12 4xxk+=， 12 48x xm= = ， 可得2m=，(2 , 2)Pk ，8 分 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第8頁(yè)（共13頁(yè)） 所以 2222 |1(4 )4 ( 8)4 12ABkkkk=+ =+ ， 9 分 又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線AB的距離為 2 2 |24| 1 k d k + = + ， 10 分 所以 32 222 2 2 1|24|27 |2 124(2) 22 1 ABP k SAB dkkk k + = =+=+= + ，11 分 解得 2 1 4 k =，所以 11 | 4 12=3 5 44 AB =+. 12 分 【命題意圖】 本題以直線與拋物線為載體， 及其幾何關(guān)系為背景， 利用方程思想解決幾何問 題，主要考查拋物線的切點(diǎn)弦，直線與拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，考查學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn) 算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及思辨能力. 21（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)( )e +21 x f xax=，其中常數(shù)e2.71828.=，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) （1）討論函數(shù)( )f x的單調(diào)性； （2）證明：對(duì)任意的1a ，當(dāng)0 x 時(shí)，( )(e)f xxax+ 【解析】（1）( )e2 x fxa=+ 1 分 當(dāng)0a 時(shí)，( )0fx，函數(shù)( )f x在R上單調(diào)遞增；2 分 當(dāng)0a 時(shí)，由( )0fx解得 2 ln()x a ，由( )0fx解得 2 ln()x a 故( )fx在 2 ,ln() a 上單調(diào)遞增，在 2 ln() a + ，上單調(diào)遞減 4 分 綜上所述，當(dāng)0a 時(shí)，( )f x在R上單調(diào)遞增； 當(dāng)0a 時(shí)， ( )fx在 2 ,ln() a 上單調(diào)遞增，在 2 ln() a + ，上單調(diào)遞減 5 分 （2） 證法一證法一：原不等式等價(jià)于 e12 e0 x x xaaxa + 6 分 令 e12 ( )e x x g x xaaxa =+，則 2 (1)( e1) ( ) x xax g x ax =7 分 當(dāng)1a 時(shí)，e1e1 xx axx ，8 分 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第9頁(yè)（共13頁(yè)） 令( )e1 x h xx= ，則當(dāng)0 x 時(shí)，( )e10 x h x= ， 當(dāng)0 x 時(shí)，( )h x單調(diào)遞增，即( )(0)0h xh=， 10 分 當(dāng)01x時(shí)，( )0g x；當(dāng)1x =時(shí)，( )0g x=；當(dāng)1x 時(shí)，( )0g x， ( )(1)0g xg= 11 分 即 e12 e0 x x xaaxa + ，故( )(e)f xxax+ 12 分 證法證法二二：原不等式等價(jià)于()() 2 ee1 x axx 6 分 令( )ee x g xx=，則( )ee x g x= 當(dāng)1x 時(shí)，( )0g x；當(dāng)1x 時(shí)，( )0g x ( )(1)0g xg=，即ee0 x x，當(dāng)且僅當(dāng)1x =時(shí)等號(hào)成立7 分 當(dāng)1x =時(shí)，()() 2 ee1 x axx顯然成立； 當(dāng)0 x 且1x 時(shí)，ee0 x x 欲證對(duì)任意的1a ，()() 2 ee1 x axx成立， 只需證() 2 ee1 x xx9 分 思路思路 1： 0 x ，不等式() 2 ee1 x xx可化為 e1 e20 x x xx +，10 分 令 e1 ( )e2 x h xx xx = +，則 2 (1)(e1) ( ) x xx h x x =， 易證當(dāng)0 x 時(shí)，e10 x x ， 當(dāng)1x 時(shí)，( )0h x，當(dāng)1x 時(shí)，( )0h x， 函數(shù)( )h x在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1)+，上單調(diào)遞增， min ( )10h xh=（）， 11 分 ( )0h x ， 即 e1 e20 x x xx +， 從而，對(duì)任意的1a ，當(dāng)0 x 時(shí)，( )( + e)f xx ax 12 分 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第10頁(yè)（共13頁(yè)） 思路思路 2： 令 () 2 1+e ( ) ex xx x =，則 (1)(e3) ( ) ex xx x + = ( )0 3e1xx ，( )0 103 exxx 或 ( ) x在(0,3e)上單調(diào)遞減，在(3e 1) ，上單調(diào)遞增，在(1 + )，上單調(diào)遞減 11 分 (0)= (1)1=， () 2 1+e ( )1 ex xx x =，即() 2 1ee x xx 從而，對(duì)任意的1a ，當(dāng)0 x 時(shí)，( )( + e)f xx ax 12 分 證法三證法三：原不等式等價(jià)于 2 e21e0 x axxa x+ 令() 2 ( )ee21 x g xaxax=，則()( )e2e2 x g xaxa= 6 分 令()( )e2e2 x h xaxa=，則( )e2 x h xa=，其中0 x 當(dāng)2a 時(shí)，( )0h x( )h x在()0 +，上單調(diào)遞增 注意到(1)0h=， 故當(dāng)()0,1x時(shí)，( )= ( )0g xh x； 當(dāng)()1+x，時(shí)，( )= ( )0g xh x ( )g x在()0,1上單調(diào)遞減，在()1,+上單調(diào)遞增 min ( )= (1)0g xg=，即( )(e)f xxax+ 7 分 當(dāng)12a時(shí)， 2 0ln1 a 當(dāng) 2 0lnx a 時(shí)，( )0h x，( )h x單調(diào)遞減；當(dāng) 2 lnx a 時(shí)，( )0h x，( )h x單調(diào) 遞增 （i） ：若 2 2 e 1 a ，則()(0)1e +20ha= 2 ln(1)0hh a = 當(dāng)()0,1x時(shí)，( )= ( )0g xh x；當(dāng)()1+x，時(shí)，( )= ( )0g xh x 與同，不等式成立 9 分 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第11頁(yè)（共13頁(yè)） （ii） ：若 2 1 e 1 a ，則()(0)1e +20ha=， 2 ln(1)0hh a = ， 0 2 0,lnx a ， 使得() 0 0h x=， 且當(dāng)() 0 0,xx時(shí)，( )= ( )0g xh x； 當(dāng)() 01 xx， 時(shí)，( )= ( )0g xh x；當(dāng)()1+x，時(shí)，( )= ( )0g xh x ( )g x在() 0 0,x上單調(diào)遞增，在() 01 x ，上單調(diào)遞減，在()1,+上單調(diào)遞增 (0)=10ga ，(1)=0g 此時(shí)，( )0g x ，即( )(e)f xxax+ 綜上所述，結(jié)論得證 12 分 【命題意圖】 本題旨在考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)時(shí)的應(yīng)用， 以研究單調(diào)性， 證明不等式等為載體， 綜合考查學(xué)生的分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理 等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 請(qǐng)考生在第 22、23 兩題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所 做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑 22 （本小題滿分 10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線 1 C的參數(shù)方程為 2cos , sin, = = x y （為參數(shù)） ，圓 2 C的方程 為 22 (2)4xy+=，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l的極坐標(biāo)方程 為 0 =(0) （1）求曲線 1 C和圓 2 C的極坐標(biāo)方程； （2）當(dāng) 0 0 2 時(shí)，若射線l與曲線 1 C和圓 2 C分別交于異于點(diǎn)O的M、N兩點(diǎn)， 且 | 2|ONOM=，求 2 MC N的面積 解：（1）由 2cos , sin = = x y 消去參數(shù)可得 1 C的普通方程為 2 2 1 4 x y+=，1 分 把cosx=，siny=代入，得 2 2 ( cos ) ( sin )1 4 +=， 深圳市教育科學(xué)研究院 深圳市教育科學(xué)研究院 文科數(shù)學(xué)試題第12頁(yè)（共13頁(yè)） 即 2 222 44 cos4sin1 3sin = + ， 所以 1 C的極坐標(biāo)方程為 2 2 4 1 3sin = + ； 3 分 把cosx=，siny=代入 22 (2)4xy+=，得4cos=， 所以 2 C的極坐標(biāo)方程為4cos= 5 分 （2）把 0 =代入 2 2 4 1 3sin = + ，得 2 2 0 4 1 3sin = + M ， 把 0 =代入4cos=，得 0 4cos= N ， 6 分 由| 2|ONOM=，得2 NM =，即 22 4 NM =， 即 2 0 2 0 16 (4