第8章 偏微分方程數(shù)值解ppt課件VIP

.,第8章偏微分方程數(shù)值解,一、典型的偏微分方程介紹,1.橢圓型方程:在研究有熱源穩(wěn)定狀態(tài)下的熱傳導(dǎo)，有固定外力作用下薄膜的平衡問題時，都會遇到Poisson方程,Laplace方程,Poisson方程,.,2.拋物型方程,熱傳導(dǎo)方程:在研究熱傳導(dǎo)過程、氣體擴(kuò)散現(xiàn)象、電磁場的傳播等問題中以及在統(tǒng)計物理、概率論和重子力學(xué)中，經(jīng)常遇到拋物型方程。這類方程中最簡單、最典型的是熱傳導(dǎo)方程。,其中a是常數(shù)。它表示長度為L的細(xì)桿內(nèi)，物體溫度分布的規(guī)律,.,3雙曲型方程,波動方程,(波的傳播、物體的振動)它表示長度為L的弦振動的規(guī)律。,.,二、定解問題,決定方程唯一解所必須給定的初始條件和邊界條件,叫做定解條件.定解條件由實際問題提出.解條件,拋物型方程邊界條件的提法應(yīng)為物體在端點的溫度分布為已知，即邊界條件,.,雙曲型方程初始條件表示弦在兩端振動規(guī)律為已知：,.,Poisson方程反應(yīng)穩(wěn)定狀態(tài)的情況，與時間無關(guān)，所以不需要提初始條件。邊界條件的提法為：其中(x,y)為已知邊界，s是區(qū)域D的邊界。,.,本章主要針對幾個典型的微分方程介紹常用的差分方法和有限元方法。這些方法基本思想是：把一個連續(xù)問題離散化通過各種手法化成有限形式的線性方程組然后求其解。,.,計算機(jī)只能作有限次的加、減、乘、除運算，它既不能求導(dǎo)數(shù)，更不能解偏微分方程如果想在計算機(jī)上求得微分方程數(shù)值解，它的主要做法是把偏微分方程中所有的偏導(dǎo)數(shù)分別用差商代替從而得到一個代數(shù)方程組差分方程組然后對差分方程求解，并以所求的解作為偏微分方程數(shù)值解,8.1差分法簡介,.,因此需要對區(qū)域進(jìn)行剖分，用網(wǎng)格點來代替連續(xù)區(qū)域，所以差分法亦稱“網(wǎng)格法”。,.,把整體分割成若干個單元來處理問題的方法在數(shù)學(xué)上稱為“離散化方法”。在結(jié)點上采用離散化方法（數(shù)值微分、數(shù)值積分、泰勒展開等）將微分方程的初邊值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題，這個相應(yīng)問題的解就是方程在點xi上的數(shù)值解f(x)，或在點（xi,ti）上的數(shù)值解U(xi,ti)。一般來說，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。,.,例：取一邊長為1的正方形均勻薄板，上下側(cè)面絕熱，四周保持恒溫，求板內(nèi)各點的穩(wěn)定溫定分布。,Laplace方程第一邊值問題,.,記,u在這些點滿足方程,.,得到u(i,k)的近似ui,k，所滿足的線性代數(shù)方程組：,其中,用迭代法來解方程組,.,簡單迭代法,高斯賽德爾迭代法,.,.,.,.,用差分法解偏微分方程需要考慮三個問題：,1選用網(wǎng)格，將微分方程離散化為差分方程。,2當(dāng)網(wǎng)格步長h0時差分方程的準(zhǔn)確解是否收斂于微分方程的解？,3如何解相應(yīng)的代數(shù)方程組？,.,8.2橢圓型方程的差分解法,橢圓型方程最簡單的典型問題就是拉普拉斯方程,泊松方程,.,考慮泊松方程第一邊值問題：,.,(一)矩形網(wǎng)格,設(shè)為xy平面上一有界區(qū)域，為其邊界，是分段光滑曲線。,正則內(nèi)點,非正則內(nèi)點,邊界點,.,（二）五點差分格式,現(xiàn)在假設(shè)（i，k）為正則內(nèi)點。沿著x，y軸方向分別用二階中心差商代替uxx，uyy，則得,若以uh，fh表示網(wǎng)函數(shù)，記,.,則差分方程可簡寫成：,利用Taylor展式,.,.,這四個式子兩兩相加便有：,.,于是可得差分方程的截斷誤差,.,（三）邊值條件的處理,：非正則內(nèi)點集合,h：邊界點集合,（1）直接轉(zhuǎn)移法,對（xi,yk），用邊界上距離這點最近的點的值作為（xi,yk）的值，即,.,（2）線性插值法,6,4,1,3,5,2,h1,.,則u在這些點上的值有近似關(guān)系：,.,（3）列不等距差分方程,f1為f在1點的值。,.,8.3拋物型方程的差分解法,拋物型方程是指如下形式的方程：,很多實際的物理問題都可以用這類方程描述：,熱傳導(dǎo)方程,.,現(xiàn)以熱傳導(dǎo)方程為例，介紹拋物型方程的有限差分格式。,設(shè)熱傳導(dǎo)方程：,定解條件,(1),(2),求（1）滿足（2）的解。,.,8.3.1矩形網(wǎng)格,用兩組平行直線族xj=jh,tk=k(j=0,1,，k=0，1,)構(gòu)成的矩形網(wǎng)覆蓋了xt平面，網(wǎng)格點（xj,tk）稱為結(jié)點，簡記為（j,k），h、為常數(shù)，分別稱為空間步長及時間步長，或稱h為沿x方向的步長，稱為沿t方向的步長，N為正整數(shù)。在t=0上的結(jié)點稱為邊界結(jié)點，其余所有屬于內(nèi)的結(jié)點稱為內(nèi)部結(jié)點。,t,h,(xj,tk),.,8.3.2古典差分格式,于平面區(qū)域上考慮傳導(dǎo)方程：,(4),.,于結(jié)點（j,k）處偏導(dǎo)數(shù)與差商之間有如下近似的關(guān)系：,利用上述表達(dá)式得到LU在(j,k)處的關(guān)系式：,(5),.,j=1,2,N1；k=0,1,2,差分方程（6）稱為解熱傳導(dǎo)方程（3）的古典顯格式，,它所用到的結(jié)點如下圖：,*（j,k）,.,將（6）寫成便于計算的格式：,（7）,稱為網(wǎng)比，利用（7）及初邊值條件（4）,在網(wǎng)格上的值,（8）,即可算出k=1,2,，各層上的值。,截斷誤差階為0(+h2)。,.,為了提高截斷誤差的階，可以利用中心差商：,j=1,2,N1；k=0,1,2,（9）,得到Richardson格式，其結(jié)點圖為：,*（j,k）*,.,截斷誤差階為o(2+h2)，較古典顯格式高。,將（9）式改寫成適于計算的形式：,j=1,2,N1；k=1,2,r=a/h2稱為網(wǎng)比，（10）式中出現(xiàn)了三層網(wǎng)格上的值，,（10）,才能逐層計算。,.,如果利用向后差商,j=1,2,N1；k=0,1,2,(11),(12),j=1,2,N1；k=0,1,2,古典隱格式，其結(jié)點圖為：,（j,k）*,截斷誤差為o(+h2)，與古典顯格式相同。,.,8.3.3六點對稱格式,取該點的中心差商，從而,對于方程（3）式，在點列方程，,.,將以上各式代入（3）式得到差分方程：,.,整理,得,此即六點對稱格式，也稱為Crank-Nicolson格式，所用結(jié)點圖為：,*k+1*kj+1jj1,（13）,.,8.3.4穩(wěn)定性,（1）當(dāng)步長無限縮小時，差分方程的解是否逼近于微分方程,（2）計算過程中產(chǎn)生的誤差在以后的計算中是無限增加，,還是可以控制？（穩(wěn)定性）,的解？（收斂性）,穩(wěn)定性問題是研究拋物型差分方程的一個中心課題！,.,考察Richardson格式的穩(wěn)定性。,用表示計算所產(chǎn)生的誤差，如果右端無誤差存在，,則滿足：,假設(shè)k-1層之前無誤差存在。即，而在第k層產(chǎn)生了,誤差。，這一層其它點也無誤差，而且在計算過程,中不再產(chǎn)生新的誤差，利用（14）式算出誤差的傳播如下表：,.,r=時Richardson格式的誤差傳播,jj04j03j02j01j0j0+1j0+2j0+3j0+4,k,-2,-474,-617-2417-6,-831-6889-6831-8,-1049-144277-388277-14449-10,71-260641-1091311-109641-26071,.,r1/2時古典顯格式的誤差傳播,jj04j03j02j01j0j0+1j0+2j0+3j0+4,k,0.500.5,0.2500.500.25,0.12500.37500.37500.125,0.062500.2500.37500.2500.0625,如果選用r=時的古典顯格式，誤差方程為：,.,差分格式關(guān)于初值穩(wěn)定的實際含義是：如果其解在某一層存在誤差，則由它引起的以后各層上的誤差不超過原始誤差的M倍（M為與無關(guān)的常數(shù)）。,因此，在穩(wěn)定的條件下，只要初始誤差足夠小，以后各層的誤差也能足夠小。,以上構(gòu)造的幾種差分格式中，,古典顯格式：r1/2時穩(wěn)定,古典隱格式：絕對穩(wěn)定,Richardson格式：絕對不穩(wěn)定,六點對稱格式：絕對穩(wěn)定。,穩(wěn)定性概念：,.,8.4雙曲型方程的差分解法,一階線性雙曲型方程最簡單的形式為,（8.4.1),當(dāng)給定初始條件,(8.4.2),以后，容易驗證，雙曲型方程(8.4.1)的解為：,(8.4.3),.,也就是說，在平面xt上，沿著,（k是常數(shù)）,這樣的直線，u的值保持不變。這種直線叫做特征線。,這是個單向的傳播波，a0時，波形（x）沿x軸方向傳播，為右傳播波，a0時，恒有，格式（8.4.7）不穩(wěn)定；,當(dāng)a0且ar1時，格式（8.4.7）穩(wěn)定。,格式（8.4.8）在a0且ar1時穩(wěn)定。,將迎風(fēng)格式寫為統(tǒng)一形式：,穩(wěn)定性條件為：,(8.4.9),.,b)Lax-Friedrichs格式,該格式構(gòu)造于1954年，用到,的技巧，截斷誤差為：,節(jié)點分布圖：,*（j,n）,(8.4.10),.,傳播因子,時穩(wěn)定。,當(dāng)時，即格式（8.4.10）在,.,c）Lax-Wendroff格式,截斷誤差為,節(jié)點分布圖：,*（j,n）,傳播因子,當(dāng)時有，即格式在條件下穩(wěn)定。,.,d）古典隱式格式,ut用向后差商代替，ux用中心差商代替得,截斷誤差為：,傳播因子：,對任意的網(wǎng)格比，