江蘇省蘇州市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何學(xué)案（無(wú)答案）蘇教版選修2-1

第3章 空間向量與立體幾何31 空間向量及其運(yùn)算一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求學(xué)習(xí)建議空間向量的概念了解空間向量的定義、表示方法及相等關(guān)系都與平面向量相同可在復(fù)習(xí)平面向量的定義、表示方法及其相等關(guān)系后類比進(jìn)行理解空間向量共線、共面的充分必要條件理解共面向量與共線向量的定義對(duì)象不同，但定義形式相同空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算理解掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算利用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律空間向量的坐標(biāo)表示理解空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，加法、減法和數(shù)量積同平面向量類似，具有類似的運(yùn)算法則，學(xué)習(xí)中可類比推廣 空間向量的數(shù)量積理解掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握空間向量的坐標(biāo)表示；掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；理解向量長(zhǎng)度公式及空間兩點(diǎn)間距離公式 空間向量的共線與垂直理解能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)了解空間向量的概念及空間向量的幾何表示法、字母表示法和坐標(biāo)表示法；(2)了解共線或平行向量概念、向量與平面平行(共面)意義，掌握它們的表示方法；(3)會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；(4)了解空間向量基本定理及其意義；會(huì)在簡(jiǎn)單問(wèn)題中選用空間三個(gè)不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)會(huì)用向量解決立體幾何中證明直線和平面垂直、直線和直線垂直、求兩點(diǎn)距離或線段長(zhǎng)度等問(wèn)題的基本方法步驟(6)掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；(7)理解空間向量夾角和模的概念及表示方法，理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算律(8)理解向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式，并會(huì)用這些公式解決有關(guān)問(wèn)題 2預(yù)習(xí)提綱(1)回顧平面向量的相關(guān)知識(shí)：平面向量的基本要素是什么? 平面向量是如何表示的?特殊的平面向量有那些? 什么是平行向量(共線向量)?什么是相等向量? 什么是相反向量?平面向量共線定理是什么? 平面向量基本定理你知道嗎?(2)請(qǐng)你填一填：對(duì)平面內(nèi)任意的四點(diǎn)A，B，C，D，則 ；設(shè)，則C、D的坐標(biāo)分別是_；已知，若，則 ；若三點(diǎn)共線，則 _；已知正方形的邊長(zhǎng)為1，則的模等于_；已知向量，且三點(diǎn)共線，則 ； 等腰中，=；已知，則的值= _；，則與的夾角是_；已知是兩個(gè)非零向量，且的夾角= _(3)研讀教材P71P833典型例題例1 如圖，已知四面體，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量解： 點(diǎn)評(píng)：若變題為已知，求則由空間向量基本定理存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組知例2 設(shè)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，若點(diǎn)滿足向量關(guān)系(其中)試問(wèn)：四點(diǎn)是否共面?解：由可以得到(見(jiàn)教材P75)由三點(diǎn)不共線，可知與不共線，所以，共面且具有公共起點(diǎn)從而四點(diǎn)共面點(diǎn)評(píng)：若三點(diǎn)不共線，則空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使得：，或?qū)臻g任意一點(diǎn)有：例3 已知空間四邊形，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求證：證明：(法一)如圖，兩式相加得：，所以，得證(法二)如圖，在平面上任取一點(diǎn)，作、，點(diǎn)評(píng)：若表示向量，的有向線段終點(diǎn)和始點(diǎn)連結(jié)起來(lái)構(gòu)成一個(gè)封閉折圖形，則這一結(jié)論的使用往往能夠給解題帶來(lái)很大的方便例4 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值分析：與的夾角即為與的夾角，可根據(jù)夾角公式求解解：， ，所以，與的夾角的余弦值為點(diǎn)評(píng)：由圖形知向量的夾角時(shí)易出錯(cuò)，如易錯(cuò)寫成 例5 已知三角形的頂點(diǎn)是，試求這個(gè)三角形的面積分析：可用公式來(lái)求面積解：，例6 已知，求滿足，的點(diǎn)的坐標(biāo)分析：已知條件，也即，可用向量共線的充要條件處理解：設(shè)點(diǎn)，又，設(shè)，所以，點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng)：本題采用的方法是用向量坐標(biāo)運(yùn)算處理空間向量共線問(wèn)題的常用方法4自我檢測(cè)(1)已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(2)設(shè)，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為 (3)已知，則的最小值是 (4)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若=a，=b，=c則= (用a，b，c表示)(5)已知四邊形為平行四邊形，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 (6)設(shè)向量，若，則 ， (7)已知，則向量與的夾角是 三、課后鞏固練習(xí)A組1已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：(1)； (2)； (3)2平行六面體中，設(shè)=，=，=，E、F分別是AD1、BD中點(diǎn)，試用、表示下列向量：(1)；(2)；(3)；(4)3正方體中，= ，=，=，=，=，=，設(shè)=，則= 4設(shè)、不共面，判斷、是否共面5已知空間四邊形，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，試用表示B組6已知三點(diǎn)不共線，為空間任意一點(diǎn)，若，試證：點(diǎn)與共面7證明四點(diǎn)在同一平面上8已知，若，且垂直于軸，求9已知、是兩兩垂直的單位向量，求：(1)； (2)； (3)10已知直角坐標(biāo)系內(nèi)的、的坐標(biāo)，判斷這些向量是否共面?如果不共面，求出以它們?yōu)槿忂吽鞯钠叫辛骟w的表面積： (1)；(2)11已知為夾角，求12已知 (1)求與夾角余弦值的大小； (2)若，且分別與垂直，求13. 平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都等于1，且兩兩夾角都為600，求的長(zhǎng)14已知，求：(1)的面積； (2)的邊上的高15空間兩個(gè)不同的單位向量，都與成角(1)分別求出和的值；(2)若為銳角，求知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算1，2，3，5類比平面向量空間向量的數(shù)量積8，9，11，12，13類比平面向量空間向量基本定理4，6，7，空間向量基本定理的應(yīng)用四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野N維向量空間的起源宇宙，一個(gè)人類永遠(yuǎn)的話題，也是人類永遠(yuǎn)探索的目標(biāo)“沒(méi)人確切的知道宇宙是怎么開始的有人推論是一場(chǎng)無(wú)序的災(zāi)難性爆炸使無(wú)盡的世界群不斷旋轉(zhuǎn)向黑暗-這些世界隨后有了不可思議的生命形態(tài)和天差地別的炯異也有人相信宇宙是被某個(gè)強(qiáng)大實(shí)體以整體形式創(chuàng)造出來(lái)的”宇宙， 是一個(gè)空間概念 它包括行星， 星系等實(shí)體宇宙同時(shí)也是一個(gè)時(shí)間概念 現(xiàn)代有人解釋宇宙為“無(wú)限的空間與時(shí)間”，正好印證了中國(guó)的一本古書對(duì)宇宙的定義，其中說(shuō)“四方上下謂之宇， 古往來(lái)今謂之宙” “四方上下”概括了所有空間， 古往來(lái)今則概括了部分的時(shí)間為什么說(shuō)是部分的時(shí)間呢? “古往來(lái)今”的含義是從永遠(yuǎn)的過(guò)去到現(xiàn)在的今天 這樣的定義沒(méi)有把從現(xiàn)在到無(wú)限的未來(lái)包括進(jìn)來(lái)如果我們把時(shí)間用一個(gè)變量 t 表示那么“古往來(lái)今”則表示的是 t 在負(fù)無(wú)窮大到零的區(qū)間，即(-， 0，如果我們?cè)O(shè)定坐標(biāo)零點(diǎn)為現(xiàn)在，負(fù)方向代表過(guò)去，正方向代表將來(lái)對(duì)于無(wú)限的空間的定義(即，時(shí)間 t 從永遠(yuǎn)的過(guò)去到永遠(yuǎn)的將來(lái))，就成為了(-， )那么空間呢?同樣我們可以用坐標(biāo)系的方式來(lái)定義空間問(wèn)題的關(guān)鍵就在于，我們?cè)趺纯创覀兩娴目臻g我們不是生活在一個(gè)2維的平面上(而古代的中國(guó)人認(rèn)為地是方的，就如同我小時(shí)候想得一樣)，而是生活在一個(gè)類似于球體的物體上這樣，很多人會(huì)說(shuō)，我們生活在一個(gè)3維空間里面這樣一個(gè)3維空間由三個(gè)坐標(biāo)軸 X， Y， Z 組成在這樣一個(gè)3維空間中，任何一個(gè)位置p都可以用三個(gè)數(shù)(x， y， z)表示，x為位置p在X軸上的取值(也是投影)，同理，y和z也是同時(shí)，這三條坐標(biāo)軸是正交的何謂正交，就是三條坐標(biāo)軸互相垂直在這個(gè)3維空間中，我們有兩點(diǎn)(可能是倫敦)和(可能是巴黎)，從到之間(倫敦到巴黎)的最小距離(直線距離)為D=|-|=sqrt(-)2(-)2(-)2)在一般情況，因?yàn)楦鞣N限制，我們可能用不了最小距離，但是最小距離給我們找到一個(gè)下限宇宙不僅包括空間，而且包括時(shí)間，所以，我們的這個(gè)宇宙就變成了31=4維的了那么宇宙就可以描述為，有了四條正交的坐標(biāo)軸比如說(shuō)事件A為表示，事件A發(fā)生在地點(diǎn)，發(fā)生在t時(shí)間在這樣一個(gè)4維空間中，兩個(gè)事件之間的最小距離也可以表示出來(lái)但是這個(gè)“距離”就不是空間上的相對(duì)位置的改變，而是表示兩個(gè)事件之間的“關(guān)系”跳出我們僅僅對(duì)宇宙作為時(shí)間空間的定義如果我們將宇宙描述為包容萬(wàn)象的，我們就會(huì)看到僅僅用時(shí)間空間不能來(lái)完整來(lái)表示比如說(shuō)，如何表述一個(gè)人?如何表述我們情感?僅僅用四條坐標(biāo)軸很難去表述這些東西顯然，我們需要更多的坐標(biāo)軸如果要表示我是高興還是悲傷，我們可以加一條坐標(biāo)軸e，e=0表示我即不高興也不悲傷，當(dāng)e取負(fù)值，越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)，說(shuō)明我越不happy，相反，當(dāng)e取正值，越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)，說(shuō)明我越happy如果我們要描敘其他的屬性，我們有加入了新的坐標(biāo)軸如果，要描述的屬性不計(jì)其數(shù)，要加入的坐標(biāo)軸也不計(jì)其數(shù)了顯然，這是有可能的，因?yàn)槲覀儗?duì)事物的認(rèn)識(shí)是沒(méi)有止境的，所以，當(dāng)我們要描敘一個(gè)事物時(shí)，其屬性可能無(wú)限多這也反過(guò)來(lái)說(shuō)明了宇宙的包容一切所以，宇宙是一個(gè)無(wú)限維的空間，定為n維空間(n=)，其存在n條正交的坐標(biāo)軸無(wú)數(shù)的基本元素組成了宇宙(注意，這里的元素與化學(xué)中提到的元素不同，這里的元素是指單元)每個(gè)元素是一個(gè)向量v， v = v1， v2， v3， ， vn， n =，(其實(shí)就相當(dāng)于3維和2維空間中的一個(gè)點(diǎn))無(wú)數(shù)個(gè)向量組成的空間叫做向量空間向量空間的維度就是坐標(biāo)軸的個(gè)數(shù)宇宙就是一個(gè)n維向量空間32 空間向量的應(yīng)用一、學(xué)習(xí)內(nèi)容、要求及建議知識(shí)、方法要求學(xué)習(xí)建議直線的方向向量與平面的法向量理解理解直線的方向向量與平面的法向量；會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量空間線面關(guān)系的判定理解將空間兩條直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，用直線的方向向量和平面的法向量來(lái)表述，是一個(gè)“符號(hào)化”的過(guò)程，應(yīng)在明確方向向量和法向量含義的基礎(chǔ)上，借助圖形自己“翻譯”完成空間的角的計(jì)算理解能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題；體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用二、預(yù)習(xí)指導(dǎo)1預(yù)習(xí)目標(biāo)(1)理解直線的方向向量與平面的法向量；(2)會(huì)用待定系數(shù)法求平面的法向量；(3)能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系； (4)能用向量方法證明空間線面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)；(5)能用向量方法判定空間線面的平行和垂直關(guān)系；(6)能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題2預(yù)習(xí)提綱(1)直線的方向向量：我們把直線上的非零向量以及與共線的非零向量叫做直線的方向向量(2)平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量(3)用向量描述空間線面關(guān)系：設(shè)空間兩條直線的方向向量分別為，兩個(gè)平面的法向量分別為，則有如下結(jié)論：平 行垂 直與與與(4)空間的角的計(jì)算：兩條異面直線所成的角與它們的方向向量所成的角相等或互補(bǔ)；法向量在求線面角中的應(yīng)用原理：設(shè)平面的斜線與平面所的角為1，斜線與平面的法向量所成角2，則1與2互余或與2的補(bǔ)角互余；法向量在求面面角中的應(yīng)用原理：一個(gè)二面角的平面角1與這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角2相等或互補(bǔ)3典型例題例1 如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，求證：分析：用向量方法處理，只要證明，建立空間直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)后，用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明證明：設(shè)已知正方體棱長(zhǎng)為個(gè)單位，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，所以，點(diǎn)評(píng)：建立空間直角坐標(biāo)系后，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵例2 棱長(zhǎng)為的正方體中，在棱上是否存在一點(diǎn)，使面?解：以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，要使面， 只要，且，即， ，即點(diǎn)與重合點(diǎn)與重合時(shí)，面點(diǎn)評(píng)：用向量法證明垂直問(wèn)題，只要計(jì)算兩向量的數(shù)量積為零例3 在三棱錐中， 求與所成角的余弦值解：如圖，取為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，得，設(shè)與所成的角為，即與所成角的余弦值為例4 如圖，已知是上、下底邊長(zhǎng)分別為2、2，高為的等腰梯形，且、成等比數(shù)列，將此梯形沿對(duì)稱軸折成直二面角，(1)證明：；ABCDOO1ABOCO1D(2)設(shè)二面角的平面角為當(dāng)時(shí)，求的值A(chǔ)BOCO1Dxyz解：(1)證明：OAOO1，OBOO1AOB是所折成的直二面角的平面角，OAOB以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(，0，0)，B(0，0)，C(0，)O1(0，0，)，、，ACBO1(2)BO1OC，ACBO1，BO1平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量設(shè)是平面O1AC的一個(gè)法向量，由得 得，cos，=點(diǎn)評(píng)：利用向量求二面角的大小方法：方法一：轉(zhuǎn)化為分別是在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)且與棱都垂直的兩條直線上的兩個(gè)向量的夾角(注意：要特別關(guān)注兩個(gè)向量的方向)如圖：二面角的大小為，則方法二：先求出二面角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱的距離，然后通過(guò)解直角三角形求角如圖：已知二面角，在內(nèi)取一點(diǎn)， PABl過(guò)作，及，連，則成立，就是二面角的平面角 用向量可求出及，然后解三角形求出方法三：轉(zhuǎn)化為求二面角的兩個(gè)半平面的法向量的夾角如圖：為二面角內(nèi)一點(diǎn)，作，則與二面角的平面角互補(bǔ) 例5 如圖，直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為上的點(diǎn)，且平面求二面角的余弦值解：以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖面面，在的中點(diǎn)， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得令得是平面的一個(gè)法向量又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則=，二面角的余弦值為例6 如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，(1)求證：面；(2)求二面角的大小的余弦值解： 以為原點(diǎn)，所在直線分別為 軸，軸，軸，建立直角坐標(biāo)系，則，分別是的中點(diǎn)(1)， 取，顯然面， ，又面 面(2)過(guò)作，交于，取的中點(diǎn)，則設(shè)，則，又，由，及在直線上，可得： 解得， ， 即，與所夾的角等于二面角的大小，ACDBPO，故二面角的大小的余弦值為例7 如圖，在三棱錐，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，底面(1)若，試求異面直線與所成角余弦值的大??；(2)當(dāng)取何值時(shí)，二面角的大小為?ACDBPOxyz解：連結(jié)底面，又， 從 而，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 建立空間直角坐標(biāo)系(1)設(shè)，則， 則 則異面直線與所成角的余弦值的大小為 (2)設(shè)，平面，為平面的一個(gè)法向量不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由，不妨令，則，即， 則，而，當(dāng)，二面角的大小為4自我檢測(cè)(1)在正方體中，求證：是平面的法向量(2)在正方體中，求證：(3)在正方體中，是的中點(diǎn)，求對(duì)角線與所成角的余弦值(4)在正方體中，是底面的中心，是的中點(diǎn)求證：是平面的法向量；求二面角的大小(5)在正方體中，是的中點(diǎn) 求證：； 求與所成的角；求與平面所成的角三、課后鞏固練習(xí)A組1已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，若，(1)求證：是平面的法向量；(2)求平行四邊形面積2如圖，長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角3如圖，平面，且，求異面直線與所成角的正切值 4如圖，正四棱柱中，求異面直線所成角的余弦值B組5正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，求這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線與所成的角6如圖，、是互相垂直的異面直線，是它們的公垂線段點(diǎn)在上，在上，(1)證明；(2)若，求與平面所成角的余弦值7正方體中，求：(1)與平面所成角大?。?2)與平面所成角的正切值8正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)等于1，側(cè)棱，分別為中點(diǎn)，求：(1)異面直線與所成角的余弦值；(2)與平面所成角的正弦值9在底面是菱形的四棱錐中，點(diǎn)在上，且：= 2：1，在棱上是否存在一點(diǎn)， 使平面?證明你的結(jié)論10是正方形所在平面外一點(diǎn)，若分別在上，且(1)求證：平面；(2)求與所成角的大小11如圖，四面體中，分別是的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的大小的余弦值12如圖，為直角梯形，是平面外一點(diǎn)，平面，若，(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值大小13在如圖所示的幾何體中，平面，平面，是的中點(diǎn)(1)求證：；(2)求與平面所成的角14如圖是一個(gè)直三棱柱(以為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為已知，(1)設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求二面角的大小15如圖所示，分別是、的直徑與兩圓所在的平面均垂直，是的直徑，(1)求二面角的大??；(2)求直線與所成角的大小的余弦值16如圖，在直三棱柱中，(1)證明：；(2)求二面角的大小17如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，為中點(diǎn)(1)求證：面；(2)求二面角的大小的余弦值A(chǔ)BCDEFOPH18如圖，是邊長(zhǎng)為1的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影為的中點(diǎn)(1)證明；(2)求面與面所成二面角的大小的余弦值A(chǔ)DPCB19如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，(1)求證：平面；(2)求二面角的大小的余弦值20正方體中，(1)求二面角的大??；(2)分別為與中點(diǎn)，求平面和底面所成角的余弦值21如圖，在長(zhǎng)方體，中，點(diǎn)在棱上移動(dòng)(1)證明：；(2)等于何值時(shí)，二面角的大小為22如圖，平面平面是正三角形，求二面角的正切值23如圖，在直四棱柱中， ，垂足為(1)求二面角的大小；(2)求異面直線與所成角的大小的余弦值24如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD(1)證明AB平面VAD；(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小的余弦值25如圖，四邊形是直角梯形，90，1，2，又1，120，直線與直線所成的角為60建立如圖空間直角坐標(biāo)系(1)求二面角的大小的余弦值；(2)求三棱錐的體積26已知斜三棱柱的底面是直角三角形，且，側(cè)棱與底面成角，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系(1)證明：平面；(2)求此三棱柱的體積27如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，為的中點(diǎn) (1)求直線與所成角的余弦值；(2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面，并求出點(diǎn)到和的距離28如圖，在三棱錐中，底面，是的中點(diǎn)，且，(1)求證：平面平面 ；(2)當(dāng)角變化時(shí)，求直線與平面所成的角的取值范圍29 如圖1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖，2(1)求證：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大?。?3)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直?說(shuō)明理由30 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離知識(shí)點(diǎn)題號(hào)注意點(diǎn)求角230注意線線角，線面角和二面角所定義的范圍，要分清是兩向量的夾角還是其補(bǔ)角求點(diǎn)到面的距離27，30合理運(yùn)用求體積25，26關(guān)鍵還是求點(diǎn)面得距離，記憶多面體的體積公式證明平行與垂直1，6，1014，1621，28，30注意運(yùn)用平面的法向量四、學(xué)習(xí)心得五、拓展視野運(yùn)用空間向量計(jì)算距離(1)向量法在求異面直線間的距離的運(yùn)用：設(shè)分別以這兩異面直線上任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，與這兩條異面直線都垂直的向量為，則兩異面直線間的距離是在方向上的正射影向量的模(2)向量法在求點(diǎn)到平面的距離中的運(yùn)用：設(shè)分別以平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，平面的法向量為，則到平面的距離等于在方向上正射影向量的模先求出平面的方程，然后用點(diǎn)到平面的距離公式：點(diǎn)到平面的距離d為：例1 直三棱柱的側(cè)棱，底面中，求點(diǎn)到平面的距離解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得直棱柱各頂點(diǎn)坐標(biāo)如下：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即所以，點(diǎn)到平面的距離解法二： 建系設(shè)點(diǎn)同上(略)，設(shè)平面的方程為，把點(diǎn)三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入平面方程得，平面的方程為，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則例2 (2020年江蘇高考)如圖，四棱錐中，平面，(1) 求證：(2) 求點(diǎn)到平面的距離解析：(1)因?yàn)镻D平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC由BCD=，得BCDC，又PDDC=D，PD平面PCD，DC平面PCD，所以BC平面PCD因?yàn)镻C平面PCD，故PCBC(2)連結(jié)AC設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h因?yàn)锳BDC，BCD=，所以ABC=從而由AB=2，BC=1，得的面積由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積 因?yàn)镻D平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC又，所以由，得的面積由，得，故點(diǎn)到平面的距離為單元復(fù)習(xí)一、知識(shí)點(diǎn)梳理設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則：1設(shè)直線所成的角為，則：2設(shè)直線與平面所成的角為，則：3設(shè)平面所成的二面角的大小為則：若，若，二、學(xué)法指導(dǎo)1 平面法向量的基本概念法向量是指與已知平面垂直的向量，它可以根據(jù)選取的坐標(biāo)不同有無(wú)數(shù)多個(gè)，但一般取其中較為方便計(jì)算的2 平面法向量的基本計(jì)算根據(jù)圖形建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)出已知平面的法向量為(x，y，z)，在已知平面內(nèi)尋找兩條相交直線a，b，并用向量表示它們由于法向量垂直于平面，則必然垂直這兩條直線，利用垂直向量點(diǎn)乘為零列出方程組由于有三個(gè)未知數(shù)x，y，z，一般是設(shè)其中一個(gè)為特殊值，求出另外兩個(gè)3 平面法向量的基本應(yīng)用在求出法向量后，如要證明線面垂直，只需證明要證明的直線平行于該平面的法向量；如要證明面面垂直，只需證明兩個(gè)平面的法向量垂直；如要求直線和平面所成的角，只需求出直線和法向量所成的角(利用向量點(diǎn)乘公式求出這個(gè)家教的余弦值，它和所求的線面角互余)；如要求二面角大小，只需求出兩個(gè)平面的法向量所成的角(同樣利用點(diǎn)乘公式求出這個(gè)角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互補(bǔ)，然后只需簡(jiǎn)單判斷二面角是銳角還是鈍角即可)4 關(guān)