江蘇省常熟市2020學年高二數(shù)學下學期期中試題 文（含解析）

2020學年第二學期期中試卷高二數(shù)學（文科）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填寫在答題卷相應的位置上.1.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的模為_【答案】1【解析】【分析】利用復數(shù)的除法求出后可得【詳解】因為，所以故，填【點睛】本題考查復數(shù)的除法及復數(shù)的概念，屬于基礎題2.已知集合,則_.【答案】.【解析】【分析】分別根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合和，再根據(jù)交集的定義求出.【詳解】集合，故答案為:【點睛】本題考查集合的交集的運算，解題時要認真審題，注意分式不等式和一元二次不等式的合理運用，是基礎題.3.已知冪函數(shù)過點，則_【答案】【解析】【分析】設，代入點可得，從而可得冪函數(shù)的解析式【詳解】設，則，所以，填【點睛】本題考查冪函數(shù)解析式的求法，屬于容易題4.在平面直角坐標系中，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓的交點橫坐標為，則的值是_【答案】【解析】【分析】先由三角函數(shù)的定義可得的值，再利用倍角公式可得的值【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，填【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義及二倍角公式，是基礎題5.已知，則值是_【答案】【解析】【分析】利用誘導公式和商數(shù)關系式可得的值【詳解】因為，所以，故，填【點睛】本題考查誘導公式和同角的三角函數(shù)的基本關系式，是基礎題6.計算：_【答案】1【解析】【分析】用對數(shù)的運算性質計算即可【詳解】，填【點睛】對數(shù)的運算性質可以分類如下幾類：（1）；（2）；（3）7.已知在中，分別為角，的對邊，若，則_【答案】【解析】分析】先求，再利用正弦定理可以得到【詳解】因為，故，由正弦定理可以得到，故【點睛】本題考查正弦定理，屬于容易題8.已知函數(shù)，若，則_【答案】【解析】【分析】先求，從而得到，故可得的值【詳解】，故，填【點睛】本題已知分段函數(shù)的函數(shù)值，要求參數(shù)的取值，此類問題屬于基礎題9.若定義在上的偶函數(shù)滿足，對任意恒成立，則_【答案】1【解析】【分析】先由得到函數(shù)的周期，從而，再利用及可得從而得到【詳解】因為，故，故為周期函數(shù)且周期為，所以，令，則即，因，故，所以，故填【點睛】一般地，定義在上的函數(shù)滿足，總有（ ），則為周期函數(shù)且周期為；如果定義在上的函數(shù)滿足，總有（ ），則為周期函數(shù)且周期為10.已知函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)得到的單調性，再利用復合函數(shù)的單調性的判斷方法得到的性質，從而求得實數(shù)的取值范圍【詳解】因為任意兩個不相等的實數(shù)，都有不等式成立，所以為上的增函數(shù)，故在上為增函數(shù)且恒成立所以，解答，填【點睛】復合函數(shù)的單調性的討論應依據(jù)“同增異減”的原則，注意討論的單調性的時候要關注在給定范圍上的值域必須是外函數(shù) 定義域的子集11.在二維空間中，正方形的一維測度（周長）（為正方形的邊長），二維測度（面積）；在三維空間中，正方體的二維測度（表面積）（為正方形的邊長），三維測度（體積）；應用合情推理，在四維空間中，“超立方”的三維測度，則其四維測度_【答案】【解析】【分析】依據(jù)類比推理得到不同維度空間中兩個測度具有一定的關系（高維測度的導數(shù)的兩倍為低維測度），從而得到，從而得到【詳解】在二維空間中，二維測度與一維測度（周長）的關系是；在三維空間中，三維測度與二維測度的關系是，故在四維空間中，若“超立方”的三維測度，則其四維測度滿足，所以，故（為常數(shù)），類比各個維度測度的解析式的形式可得，故，填【點睛】本題考查類比推理，屬于基礎題12.已知，則的最小值是_【答案】0【解析】【分析】利用倍角公式可得，配方后利用可得原式的最小值【詳解】，因為，故，故，所以當時，有最小值，填【點睛】三角函數(shù)的中的化簡求值問題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結構的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)名差異的方法是弦切互化，而結構上差異的處理則是已知公式的逆用等，最后角的差異的處理則往往是用已知的角去表示未知的角.13.設定義在上的奇函數(shù)滿足：時，（其中為常數(shù)）.若，則，的大小關系是_.（用“”連接）【答案】【解析】【分析】先利用求出，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可判斷為上的增函數(shù)，從而得到即，故可得.【詳解】因為為上的奇函數(shù)，故，而，所以，故當時，令，則為上的偶函數(shù)，當時，當時，則，所以，故，所以為上的增函數(shù)，所以，即，所以，故.填.【點睛】判斷給定的各數(shù)的大小，我們可依據(jù)它們的形式構建具體的函數(shù)，通過函數(shù)的單調性來判斷它們的大小，而單調性可根據(jù)導數(shù)的符號來討論.14.已知為常數(shù)，函數(shù)，若關于的方程有且只有2個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】畫出及的圖像，根據(jù)方程解的個數(shù)動態(tài)確定動直線的位置為：與函數(shù)的圖像相切或與的圖像有兩個公共點，從而可得實數(shù)的范圍【詳解】因為關于的方程有且只有2個不同的解，所以的圖像與直線有兩個不同的交點，又及的圖像如圖所示：當時，因的圖像與直線有兩個不同的交點，故直線與相切，與有一個交點，設切點為，從而，解得，當時，因的圖像與直線有兩個不同的交點，故直線與有兩個公共點，所以方程有兩個不同的解，即有兩個不同解，即，所以，故，綜上，故填【點睛】已知分段函數(shù)的零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍時，要根據(jù)零點的個數(shù)及各段函數(shù)圖像的特點確定動曲線與定曲線之間的關系，必要時可結合函數(shù)的導數(shù)分類討論圖像的特點二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卷指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.15.已知復數(shù)（，是虛數(shù)單位）.（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）設是的共軛復數(shù)，復數(shù)在復平面上對應的點在第四象限，求的取值范圍.【答案】(1) (2)【解析】試題分析：（1）化簡z12m(2m1)i，若z是純虛數(shù)，只需12m0且2m10即可；（2）求得12m(2m1)i，得2z=36m(2m1)i，只需即可.試題解析：（1）z12m(2m1)i因為z是純虛數(shù)，所以12m0且2m10，解得m（2）因為是z的共軛復數(shù)，所以12m(2m1)i所以2z12m(2m1)i212m(2m1)i36m(2m1)i因為復數(shù)2z在復平面上對應的點在第一象限，所以解得m，即實數(shù)m的取值范圍為(，)點睛:形如的數(shù)叫復數(shù),其中a叫做復數(shù)的實部,b叫做復數(shù)的虛部.當時復數(shù)為實數(shù),當時復數(shù)為虛數(shù),當時復數(shù)為純虛數(shù).16.在中，角，所對的邊分別是，且.（1）求角；（2）若，的面積為，為的中點，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得，又因為，求出，結合的范圍可求的值利用三角形內角和定理可求，利用三角形面積公式求，在中，利用余弦定理可求，在中，利用正弦定理可求解析：（1）由，得，由正弦定理可得，因為，所以，因為，所以.（2）因為，故為等腰三角形，且頂角，故，所以，在中，由余弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以.17.設函數(shù)，其中，已知.（1）求；（2）將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍（縱坐標不變），再將得到圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，求在上的取值范圍.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）利用輔助角公式把化為，再利用得到滿足的關系式，結合可求的值.（2）利用周期變換得到，算出后可得的值域.【詳解】（1），由，則，所以，則，由，可知.（2）因為，所以，由，則，所以，即的取值范圍是.【點睛】形如的函數(shù)，可以利用降冪公式和輔助角公式將其化為的形式，再根據(jù)復合函數(shù)的討論方法求該函數(shù)的單調區(qū)間、對稱軸方程和對稱中心等18.如圖，在本市某舊小區(qū)改造工程中，需要在地下鋪設天燃氣管道.已知小區(qū)某處三幢房屋分別位于扇形的三個頂點上，點是弧的中點，現(xiàn)欲在線段上找一處開挖工作坑（不與點，重合），為鋪設三條地下天燃氣管線，已知米，記，該三條地下天燃氣管線的總長度為米.（1）將表示成的函數(shù)，并寫出的范圍；（2）請確定工作坑的位置，使此處地下天燃氣管線的總長度最小，并求出總長度的最小值.【答案】（1）；（2）當長為米時，此處天燃氣管線的長度最短為米.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得、，從而得到，其中.（2）利用導數(shù)可求的最小值.【詳解】（1）因為為弧的中點，由對稱性可知，又，由正弦定理，得，又，得，所以 ，由題意，的取值范圍是.（2）令，則，令，得，列表：-0+極小值所以當時，米，有唯一極小值.此時有最小值米.答：當長為米時，此處天燃氣管線的長度最短為米.【點睛】導數(shù)背景下的應用題，關鍵在于利用題設條件構建數(shù)學模型，這些數(shù)學模型通常是三次函數(shù)、三角函數(shù)或分式函數(shù)，建模時注意自變量的合適選取及其相應的范圍的確定.解模時可以利用導數(shù)等工具討論其性質.19.已知函數(shù)，.（1）解方程：；（2）設，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值的表達式；（3）若且，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）令，解方程后可得.（2）令，則，分類討論可求的最大值的表達式.（3）根據(jù)題設有，利用基本不等式求出的最小值后可得的最大值從而得到的最大值.【詳解】（1）由題意，解得，（舍去）.所以原方程解為：.（2），令，則，設函數(shù)，則.當，即時，；當，即時，；當，即時，.綜上， .（3）由題意，得，所以，其中，所以，由知的最大值是，又單調遞增，所以，即的最大值為.【點睛】復合函數(shù)的值域一般通過換元來處理，通過換元把復雜函數(shù)轉化為基本初等函數(shù)（如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的值域，換元時注意中間變量的范圍.二元等式條件下的最值問題，往往利用線性規(guī)劃或基本不等式來處理.20.設函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，求證：函數(shù)的極大值小于1.【答案】（1）見解析；（2）（3）見證明【解析】分析】（1）先對函數(shù)求導，分別討論和，即可得出結果；（2）先將函數(shù)在時恒成立，轉化為在上恒成立，再設，利用導數(shù)方法求出的最大值，即可得出結果；（3）先由題意得到，對求導，利用導數(shù)的方法研究其單調性，即可求出其極大值，得出結論.【詳解】解：（1）由于，當時，在上單調遞減；當時，由得