第二節(jié)點(diǎn)線(xiàn)面的投影.ppt

1.2點(diǎn)、線(xiàn)、面的投影,1.2點(diǎn)的投影,點(diǎn)、線(xiàn)、面是構(gòu)成物體形狀的基本幾何元素。為正確表達(dá)物體形狀，必須先掌握這些基本幾何元素的投影規(guī)律。,1.2.1點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影,過(guò)空間點(diǎn)A的投射線(xiàn)與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。,采用多面投影。,過(guò)空間點(diǎn)A的投射線(xiàn)與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。,點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。,1、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影,a,1.2點(diǎn)的投影,二、點(diǎn)的三面投影,投影面,正面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正面或V面）,水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水平面或H面）,側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)面或W面）,投影軸,OX軸V面與H面的交線(xiàn),OZ軸V面與W面的交線(xiàn),OY軸H面與W面的交線(xiàn),三個(gè)投影面互相垂直,空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影,空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,向右翻,向下翻,不動(dòng),投影面展開(kāi),X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,點(diǎn)的投影規(guī)律:,aaOX軸,aax=aaz=y=A到V面的距離,aax=aay=z=A到H面的距離,aay=aaz=x=A到W面的距離,aaOZ軸,例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,通過(guò)作45線(xiàn)使aaz=aax,解法二:,用圓規(guī)直接量取aaz=aax,例題1已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。,例題2已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為x=20mm，y=10mm，z=15mm，即A(20、10、15)，求作A點(diǎn)的三面投影圖。,例題3已知點(diǎn)A的三面投影，試確定點(diǎn)A的空間位置。,x=12,z=20,y=18,例題4已知點(diǎn)A在H面上，點(diǎn)B在W面上，點(diǎn)C在V面上，試求各點(diǎn)的投影。,O,三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置,兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,判斷方法：,x坐標(biāo)大的在左,y坐標(biāo)大的在前,z坐標(biāo)大的在上,b,a,a,a,b,b,B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,2.比較兩點(diǎn)的相對(duì)位置,重影點(diǎn)：,空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱(chēng)此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。,A、C為H面的重影點(diǎn),a,a,c,被擋住的投影加(),(),ac,立體上的重影點(diǎn),E,B,D,C,b,e,d,c,b,(a),(b),(c),A,1.2.2直線(xiàn)的投影,直線(xiàn)的投影可由直線(xiàn)上任兩點(diǎn)的同名投影來(lái)確定。如圖所示，分別作出直線(xiàn)AB上兩端點(diǎn)A、B的三面投影，用直線(xiàn)連接兩點(diǎn)的同面投影得到ab、ab和ab即為AB的三面投影。,各種位置直線(xiàn)的投影,投影面平行線(xiàn),投影面垂直線(xiàn),正平線(xiàn)（平行于面）,側(cè)平線(xiàn)（平行于面）,水平線(xiàn)（平行于面）,正垂線(xiàn)（垂直于面）,側(cè)垂線(xiàn)（垂直于面）,鉛垂線(xiàn)（垂直于面）,一般位置直線(xiàn),統(tǒng)稱(chēng)特殊位置直線(xiàn),平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜,垂直于某一投影面,與三個(gè)投影面都傾斜的直線(xiàn),(1)投影面平行線(xiàn)的投影特性,b,O,在其平行的那個(gè)投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)并反映直線(xiàn)與另兩投影面傾角。,另兩個(gè)投影面上，投影平行于相應(yīng)的投影軸。,水平線(xiàn),側(cè)平線(xiàn),正平線(xiàn),投影特性：,實(shí)長(zhǎng),實(shí)長(zhǎng),實(shí)長(zhǎng),(2)物體上平行線(xiàn)的投影分析,（1）投影面垂直線(xiàn)的投影特性,鉛垂線(xiàn),正垂線(xiàn),側(cè)垂線(xiàn),在另外兩個(gè)投影上，反映線(xiàn)段實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。,在其垂直的投影面上，投影有積聚性。,投影特性:,（2）物體上垂直線(xiàn)的投影分析,一般位置直線(xiàn),投影特性：,三個(gè)投影都縮短了。即:都不反映空間線(xiàn)段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。,例1：判別下列直線(xiàn)的空間位置,鉛垂線(xiàn),正平線(xiàn),一般位置線(xiàn),例1：判斷形體中直線(xiàn)的空間位置,AB是線(xiàn)AC是線(xiàn)CD是線(xiàn),側(cè)垂線(xiàn),鉛垂線(xiàn),水平線(xiàn),例2：試分析立體表面上各線(xiàn)段的空間位置。,例題：判斷下列直線(xiàn)的位置,直線(xiàn)上點(diǎn)的投影,（1）若點(diǎn)在直線(xiàn)上,則點(diǎn)的投影必在直線(xiàn)的同名投影上。,若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線(xiàn)的同名投影上，則該點(diǎn)必不在此直線(xiàn)上（即不滿(mǎn)足從屬性）。,判別方法：,AC/CB=ac/cb=ac/cb,等比性,從屬性,（2）直線(xiàn)上的點(diǎn)分割直線(xiàn)之比與其投影分割直線(xiàn)投影之比相等。即：,點(diǎn)C不在直線(xiàn)AB上,例1：判斷點(diǎn)C是否在線(xiàn)段AB上。,點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上,例2：判斷點(diǎn)K是否在線(xiàn)段AB上。,a,b,因k不在ab上所以點(diǎn)K不在A上。,a,b,k,a,b,k,方法1：利用從屬性,方法2：利用等比性,兩直線(xiàn)的相對(duì)位置,空間兩直線(xiàn)的相對(duì)位置分為：,兩直線(xiàn)平行,平行、相交、交叉等三種情況。,V,H,投影特性：,空間兩直線(xiàn)平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行。,對(duì)于一般位置直線(xiàn)，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線(xiàn)就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,結(jié)論:對(duì)于投影面平行線(xiàn)，只有這兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線(xiàn)不一定平行。若要用兩個(gè)投影判斷，其中應(yīng)包括反映實(shí)長(zhǎng)的投影。,求出側(cè)面投影后可知：,AB與CD不平行。,例1：判斷圖中兩條直線(xiàn)是否平行。,求出側(cè)面投影,如何判斷？,兩直線(xiàn)相交,判別方法：,若空間兩直線(xiàn)相交，則其同名投影必交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律（三等）。,例：過(guò)C點(diǎn)作水平線(xiàn)CD與AB相交。,先作正面投影,例題8給出平面四邊形ABCD的V投影及其兩條邊的H投影，試完成四邊形的H投影。,1(2),3(4),兩直線(xiàn)交叉,投影特性：,（1）同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。,（2）“交點(diǎn)”是兩直線(xiàn)上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線(xiàn)的空間位置。,、在H面是重影點(diǎn)。,為什么？,兩直線(xiàn)相交嗎？,例、判定兩直線(xiàn)是否相交,X,YW,Z,YH,d,c,c,c,a,b,a,b,O,d,a,b,d,k,k,k,交點(diǎn)不符合投影規(guī)律,O,X,a,b,c,d,a,b,c,d,1(2),1,2,4(3),3,4,例：判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系,交叉,判斷兩重影點(diǎn)其積聚性投影的可見(jiàn)性時(shí)，需要看兩重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見(jiàn)，反之不可見(jiàn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。,判斷三棱錐可見(jiàn)性,1(2),3(4),相互垂直的二直線(xiàn)的投影,（a）立體圖,(b)二直相交線(xiàn)垂直,(c)二直相交線(xiàn)垂直,(d)二直相交線(xiàn)垂直,定理一垂直的兩直線(xiàn)，其中有一條直線(xiàn)平行于投影面時(shí)，則兩直線(xiàn)在該投影面上的投影仍反映直角。定理二兩直線(xiàn)在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線(xiàn)平行于該投影面，則空間兩直線(xiàn)的夾角必是直角。,1.2.3平面的投影,一、平面的表示方法,平面通常用確定該平面的點(diǎn)、直線(xiàn)或平面圖形等幾何元素的投影表示，如圖所示。,圖1用幾何元素表示平面,平面的投影特性,投影特性,a、平面平行投影面投影反映實(shí)形,b、平面垂直投影面投影積聚成直線(xiàn),c、平面傾斜投影面投影類(lèi)似原平面,實(shí)形性,類(lèi)似性,積聚性,（1）平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性,（2）各種位置平面的投影,平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類(lèi)：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,投影面垂直面,H,(1)投影面垂直面的投影特性,a,b,c,a,c,b,c,b,a,積聚性,鉛垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線(xiàn)。該直線(xiàn)與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個(gè)投影面上的投影有類(lèi)似性。,為什么？,是什么位置的平面？,主、左視圖類(lèi)似性,投影面平行面,投影面平行面的投影特性,實(shí)形性,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。,另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線(xiàn)。,積聚性,積聚性,這是什么位置平面？,水平面！,一般位置平面,c、一般位置平面,三個(gè)投影都是類(lèi)似形。,投影特性：,1.2.4點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的從屬關(guān)系,判斷直線(xiàn)在平面內(nèi)的方法,（1）平面上取任意直線(xiàn),a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直線(xiàn)AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線(xiàn)。,解法一：根據(jù)定理一,解法二：根據(jù)定理二,問(wèn)：有多少解？,答：有無(wú)數(shù)解。,例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線(xiàn)，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,答：唯一解！,問(wèn)：有多少解？,2.在平面上作正平線(xiàn)和水平線(xiàn),（2）平面上取點(diǎn),先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線(xiàn)作為輔助線(xiàn)，然后再在該直線(xiàn)上確定點(diǎn)的位置。,例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。,面上取點(diǎn)的方法：,首先面上取線(xiàn),利用平面的積聚性求解,通過(guò)在面內(nèi)作輔助線(xiàn)求解,例題設(shè)在四棱臺(tái)前側(cè)面BCED上有一點(diǎn)A。已知它的水平投影a，求正面投影a。,b,k,b,例2：已知AC為正平線(xiàn)，補(bǔ)全平行四邊形