上海市金山中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)5月月考試題（含解析）

上海市金山中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)5月月考試題（含解析）一、填空題（本大題共12小題，滿分54分，其中16題每題4分，712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_.【答案】2【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再利用純虛數(shù)的定義即可得出【詳解】復(fù)數(shù)（1+ai）（2+i）2a+（1+2a）i是純虛數(shù)，解得a2故答案為：2【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題2.橢圓（為參數(shù)）的焦距為_.【答案】6【解析】【分析】消參求出橢圓的普通方程，即可求出橢圓的焦距【詳解】將變形為，平方相加消去參數(shù)可得：，所以，c3，所以，焦距為2c6故答案為6【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程，考查橢圓的性質(zhì)，正確轉(zhuǎn)化為普通方程是關(guān)鍵3.以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，從而求出雙曲線的方程【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為F（1，0），頂點(diǎn)為（，0）；則雙曲線頂點(diǎn)為（1，0），焦點(diǎn)為（，0），a1，c，b1，雙曲線的方程為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題4.某圓錐體的側(cè)面圖是圓心角為的扇形，當(dāng)側(cè)面積是時(shí)，則該圓錐體的體積是_.【答案】【解析】【分析】由圓錐體側(cè)面展開圖的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，展開圖的弧長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，可以求出圓錐的母線和底面圓半徑，從而得出高和體積【詳解】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑為l，則側(cè)面展開圖扇形的面積S l227；l9又設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則2r l，rl；圓錐的高h(yuǎn)；該圓錐體的體積是：V圓錐r2h故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積公式，考查了空間想象能力，計(jì)算能力，關(guān)鍵是弄清楚側(cè)面展開圖與圓錐體的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題5.已知實(shí)數(shù)、滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_.【答案】5【解析】試題分析：可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)取最大值1.考點(diǎn)：線性規(guī)劃【易錯(cuò)點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.6.已知圓柱的底面圓的半徑與球的半徑相同，若圓柱與球的體積相等，則它們的表面積之比_.（用數(shù)值作答）【答案】【解析】【分析】由已知中圓柱M與球O的體積相等，可以求出圓柱的高與圓柱底面半徑的關(guān)系，進(jìn)而求出圓柱和球的表面積后，即可得到S圓柱：S球的值【詳解】設(shè)圓柱M底面圓的半徑與球O的半徑均為R，M的高為h則球的表面積S球4R2又圓柱M與球O的體積相等即解得h，4R22R2+2Rh則S圓柱2R2+2Rh=，S球，S圓柱：S球，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的體積和表面積，圓柱的體積和表面積，其中根據(jù)已知求出圓柱的高，是解答本題的關(guān)鍵7.若虛數(shù)、是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，且，則_.【答案】1【解析】【分析】設(shè)z1a+bi，則z2abi，（a，bR），根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件求出z1，z2，再由根與系數(shù)的關(guān)系求得p，q的值【詳解】由題意可知z1與z2為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)z1a+bi，則z2abi，（a，bR且），又則abi，（2a+b）+（a+2b）i1i，z1+i，z2i，（或z2+i，z1i）由根與系數(shù)的關(guān)系，得p（z1+z2）1，qz1z21，pq1故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集的根的問(wèn)題，考查了兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題8.已知雙曲線，、是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的點(diǎn)，且直線的斜率是，則直線的斜率為_.【答案】2【解析】【分析】設(shè)P（x0，y0），則，由A1（1，0），A2（1，0），知k1k2，由此能求出直線PA2的斜率【詳解】設(shè)P（x0，y0），則，A1（1，0），A2（1，0），設(shè)直線PA1斜率為k1，直線PA2的斜率為k2，k1k2，k1，k2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的斜率之積的求法，考查曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線方程的關(guān)系，考查了分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題9.已知半徑為的球的球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于，且經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得出ABBCCAR，利用其周長(zhǎng)得到正三角形ABC的外接圓半徑r，故可以得到高，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，在OBC中，又可以得到角以及邊與R的關(guān)系，在RtABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R【詳解】球面上三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于，ABCBCACAB，ABBCCAR，設(shè)球心為O，因?yàn)檎切蜛BC的外徑r2，故高ADr3，D是BC的中點(diǎn)在OBC中，BOCOR，BOC，所以BCBOR，BDBCR在RtABD中，ABBCR，所以由AB2BD2+AD2，得R2R2+9，所以R2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了球的基本概念及性質(zhì)應(yīng)用，考查了空間想象能力，是基礎(chǔ)題10.關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】由題意可得，函數(shù)yx+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)函數(shù)y的m分類，分別畫出y的圖象，可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍【詳解】關(guān)于x的方程x+1有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故直線yx+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)yx+1的圖象和函數(shù)y的圖象由于函數(shù)y，當(dāng)m=0時(shí)，y和直線yx+1的圖象如圖：滿足有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，yy2x2m(y0)此雙曲線y2x2m漸近線方程為yx，其中y=x與直線yx+1平行，雙曲線y2x2m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），如圖：只要m0，均滿足函數(shù)yx+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m0)，此雙曲線x2y2m的漸近線方程為yx，其中y=x與直線yx+1平行，而雙曲線x2y2m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），如圖：當(dāng)時(shí)，滿足函數(shù)yx+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)符合題意；綜上：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)直線和雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線yx+1的圖象和函數(shù)y的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，是解答本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題11.棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)、分別在線段、上運(yùn)動(dòng)（不包括線段端點(diǎn)），且.以下結(jié)論：；若點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)，則由線與確定的平面在正方體上的截面為等邊三角形；四面體的體積的最大值為；直線與直線的夾角為定值.其中正確的結(jié)論為_.（填序號(hào)）【答案】 【解析】【分析】作NEBC，MFAB，垂足分別為E，F(xiàn)，可得四邊形MNEF是矩形，可得MNFE，利用AA1面AC，可得結(jié)論成立；截面為AB1C，為等邊三角形，故正確設(shè)，則dMBCN=，故成立；設(shè)，當(dāng)接近于0時(shí)，直線與直線的夾角接近于，當(dāng)接近于1時(shí)，夾角接近于，故不正確；【詳解】作NEBC，MFAB，垂足分別為E，F(xiàn)，AMBN，NEMF，四邊形MNEF是矩形，MNFE，AA1面AC，EF面AC，AA1EF，AA1MN，故正確；點(diǎn)M、N分別為線段AB1、BC1的中點(diǎn)，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCDA1B1C1D1 上的截面為AB1C，為等邊三角形，故正確設(shè)，則dMBCN，又AM=BN=,=，dMBCN =，dMBCN=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，故成立；設(shè)，當(dāng)接近于0時(shí)，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，當(dāng)接近于1時(shí)，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，故不正確；綜上可知，正確的結(jié)論為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、垂直，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題12.“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.”同一事物從不同角度看，我們會(huì)有不同的認(rèn)識(shí).請(qǐng)解決以下問(wèn)題：設(shè)函數(shù)在至少有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x21）a+2xb+x20，由于直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，從而可得，從而可得a2+b2；從而解得【詳解】把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x21）a+2xb+x20，由于直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，即，所以a2+b2，x2在3，4是減函數(shù)，2x21+5；即x26；故；當(dāng)x3，a，b時(shí)取等號(hào)，故a2+b2的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，把等式看成關(guān)于a，b的直線方程（x21）a+2xb+x20是難點(diǎn)，屬于較難題二、填空題（本大題共有4小題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上將代表答案的小方格涂黑.13.設(shè)直線與平面平行，直線在平面上，那么（ ）A. 直線不平行于直線B. 直線與直線異面C. 直線與直線沒有公共點(diǎn)D. 直線與直線不垂直【答案】C【解析】【分析】由已知中直線l與平面平行，直線m在平面上，可得直線l與直線m異面或平行，進(jìn)而得到答案【詳解】直線l與平面平行，由線面平行的定義可知：直線l與平面無(wú)公共點(diǎn)，又直線m在平面上，直線l與直線m沒有公共點(diǎn)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查了直線與平面平行的定義，屬于基礎(chǔ)題14.已知集合，若，則，之間的關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用復(fù)數(shù)相等的定義得到集合A看成復(fù)平面上直線上的點(diǎn)，集合B可看成復(fù)平面上圓的點(diǎn)集，若AB即直線與圓沒有交點(diǎn)，借助直線與圓相離的定義建立不等關(guān)系即可【詳解】設(shè)zx+yi，,則（a+bi）（xyi）+（abi）（x+yi）+20化簡(jiǎn)整理得，ax+by+10即，集合A可看成復(fù)平面上直線上的點(diǎn)，集合B可看成復(fù)平面上圓x2+y2=1的點(diǎn)集，若AB，即直線ax+by+10與圓x2+y2=1沒有交點(diǎn)，即a2+b21故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)相等的定義及幾何意義，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題15.已知某四面體的六條棱長(zhǎng)分別為3，3，2，2，2，2，則兩條較長(zhǎng)棱所在直線所成角的余弦值為（ ）A. 0B. C. 0或D. 以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相對(duì)的棱時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊出現(xiàn)矛盾，得此種情況不存在；當(dāng)它們是四面體相鄰的棱時(shí)，根據(jù)余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正確答案【詳解】當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相對(duì)的棱時(shí)，如圖，取CD中點(diǎn)E，則等腰BCD中，中線BECD，等腰ACD中，中線AECD，AE、BE是平面ABE內(nèi)的相交直線CD平面ABE，結(jié)合AB平面ABE，可得ABCD此時(shí)兩條較長(zhǎng)棱所在直線所成角的余弦值為cos900，檢驗(yàn)：此時(shí)ABE中，AEBE，不滿足AE+BEAB，故此種情況舍去；當(dāng)較長(zhǎng)的兩條棱是四面體相鄰的棱時(shí)，如圖設(shè)所成的角為，根據(jù)余弦定理得cos綜上所述，得所求余弦值為故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了在四面體中求兩條棱所在直線所成角的余弦值，著重考查了余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題16.以下命題：根據(jù)斜二測(cè)畫法，三角形的直觀圖是三角形；有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐；若兩個(gè)二面角的半平面互相垂直，則這兩個(gè)二面角的大小相等或互補(bǔ).其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由斜二測(cè)畫法規(guī)則直接判斷正確；舉出反例即可說(shuō)明命題、錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于，由斜二測(cè)畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖是三角形；故正確；對(duì)于，如圖符合條件但卻不是棱柱；故錯(cuò)誤；對(duì)于，兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐不一定是正棱錐，例如把如圖所示的正方形折疊成三棱錐不是正棱錐故錯(cuò)誤； 對(duì)于，一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)角的平面角相等或互補(bǔ)錯(cuò)誤，如教室中的前墻面和左墻面構(gòu)成一個(gè)直二面角，底板面垂直于左墻面，垂直于前墻面且與底板面相交的面與底板面構(gòu)成的二面角不一定是直角故錯(cuò)誤；只有命題正確故選A【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題三、解答題（本大題共5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域?qū)懗霰匾牟襟E.17.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1.（1）求二面角的大小；（用反三角函數(shù)表示）（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）連接AC，取AC中點(diǎn)O，連接BO，先說(shuō)明為二面角的平面角，再在中求得即可（2）取的中點(diǎn)，連接和.由和得平面，可得為直線與平面所成的角. 在直角三角形中，計(jì)算即可.【詳解】（1）連接，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，所以為二面角的平面角.因?yàn)槠矫?，所以，所以，即二面角的大小?（2）取的中點(diǎn)，連接和.由和得平面，所以為直線與平面所成的角.在直角三角形中，所以，所以，所以直線與平面所成角大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，利用定義定理作出所求角是關(guān)鍵，是中檔題18.已知拋物線，是軸上一點(diǎn)，是拋物線上任意一點(diǎn).（1）若，求的最小值；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由題意及拋物線的定義可得=到準(zhǔn)線的距離，可得為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，的最小值為1.（2）將表示為關(guān)于x的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，A（1，0）為拋物線的焦點(diǎn)，此時(shí)=到準(zhǔn)線的距離，當(dāng)為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，到準(zhǔn)線的距離最小為1，即的最小值為1.（2）的最小值為，即當(dāng)時(shí)取得最小值，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)最值問(wèn)題，考查了分析轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，已知四面體中，且兩兩互相垂直，點(diǎn)是的中心.（1）過(guò)作，求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；（2）將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線與直線所成角記為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圓錐的幾何特征可得，該幾何體由兩個(gè)底面相等的圓錐組合而成，其中兩個(gè)圓錐的高的和為，底半徑為，代入圓錐的體積公式，即可得到答案（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角公式求得，令，結(jié)合點(diǎn)的軌跡方程求得t的范圍，可得結(jié)果.【詳解】（1）過(guò)作，經(jīng)計(jì)算得，由此得，所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積.（2）過(guò)作交于，取AC的中點(diǎn)F，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，在平面上，點(diǎn)的軌跡方程為，令，將看作直線y=x+t，則直線y=x+t與圓有公共點(diǎn)，則，所以，于是.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的體積，考查了利用空間向量進(jìn)行異面直線所成的角的求法，涉及點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，屬于中檔題20.如圖，幾何體中，是邊長(zhǎng)為2的正方形，為直角梯形，.（1）求異面直線和所成角的大??；（2）求幾何體的體積；（3）若平面內(nèi)有一經(jīng)過(guò)點(diǎn)的曲線，該曲線上的任一動(dòng)點(diǎn)都滿足與所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）雙曲線.【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何體的特征，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量，的坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成角的余弦值，可得角的大?。唬?）利用幾何體的體積VVEABCD+VBCEF，分別求得兩個(gè)棱錐的底面面積與高，代入棱錐的體積公式計(jì)算（3）利用向量夾角公式直接可得關(guān)于x，y的表達(dá)式，滿足雙曲線方程，可得結(jié)果.【詳解】（1）且，平面，如圖建系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)異面直線和所成角的大小為，則所以異面直線和所成角的大小為.（2）如圖，