福建省南平市2020屆高三數學畢業(yè)班第一次綜合質量檢測試題文PDF2020021601135.pdf

南平市 20192020 學年高中畢業(yè)班第一次綜合質量檢查 文文 科科 數數 學學 （滿分：（滿分：150 分分考試時間：考試時間：120 分鐘）分鐘） 出題意圖 總體指導思想是由于是第一次綜合質量檢測，以考查基礎知識和基礎能力為主，考通性 通法。設置的題目兼顧到二類校學生的情況，容易和較容易題比例大。 注意事項： 1本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。 2答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 3全部答案答在答題卡上，答在本試卷上無效。 4考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第第卷卷 一一、選擇題選擇題：本大題共本大題共 12 小題小題，每小題每小題 5 分分，在每小題給出的四個選項中在每小題給出的四個選項中，只只 有一項是符合題目要求的有一項是符合題目要求的. 1. 已知集合 1 ,2 ,ax xbx x 則 r ba a.12xxb.12xxc.12xxd.12xx 【解析】1 ra x x，21 r baxx，故選 b 【考查意圖】本題以集合為載體，考查補集與交集等知識，考查運算求解能力，考查數學運 算核心素養(yǎng). 2. 若復數 i i + a 1 = - z為純虛數，則實數a的值為 a2b1c1d2 【解析】i + = ii = 1 = 2 1 2 1 2 1aaa + -a - - z ）（ i i ，由已知01 =-a且 01 +a，解得1=a，故選 b 【考查意圖】本題以復數為載體，考查復數的概念和復數的除法運算等知識，考查運算求解 能力，考查數學運算核心素養(yǎng). 3. 已知 1 ln2 a ， 1 ln 2 b , 1 2 ec (其中e為自然對數的底數)，則 acabbacbcbcadcba 【解析】 1 1 ln2 a ， 1 ln0 2 b ， 1 2 0e1c ，可得：bca,故選 b 【考查意圖】本題以對數、指數為為載體，考查對數、指數的運算及比較大小等知識，考查 運算求解能力，考查數學運算核心素養(yǎng). 4. 已知平面向量a 與b 滿足( 3,1)a ，| 4b ，且(2 )aba ，則ab a2b3c4d5 【解析】由 22 1( 3)2a ，又(2 )aba 得： 2 (2 )2220abaaa ba b ， 1a b ， 222 22244abaa bb ，故選 c 【考查意圖】本題以平面向量為載體，考查平面向量的坐標運算，模及數量積運算等知識， 考查運算求解能力，考查數學運算核心素養(yǎng). 5一個盒子中裝有 4 個大小、形狀完全相同的小球，其中 1 個白球，2 個紅球，1 個黃球， 若從中隨機取出 1 個球，記下顏色后放回盒子，均勻攪拌后，再隨機取出 1 個球，則兩次取 出小球顏色不同的概率是 a 5 8 b 1 8 c 5 6 d 1 6 【解析】基本事件為共 16 個，兩次取出小球顏色相同的事件有 6 個，所以，兩次取出小球 顏色相同的概率是 63 168 ，兩次取出小球顏色不同的概率是 35 1 88 故選 a. 【考查意圖】本題以古典概型為載體，考查用列舉法求基本事件的總數、對立事件概率等知 識，考查運算求解能力、邏輯推理能力，考查直觀想象、邏輯推理、數學運算核心素養(yǎng). 6. 已知橢圓)0( 1= 2 2 2 2 ba b y + a x ：e過點p（ 2 3 2 2 ，） ，橢圓e的離心率為 2 2 , 則橢圓e的焦距為 a1b2c2d.22 【解析】 由已知得 a c = 2 2 ，1 4 3 2 1 22 =+ ba ， 又 222 c+b=a， 聯立解得12=c，a, b=1，因此焦距為 2，故選 b 【考查意圖】本題以橢圓為載體，考查橢圓及其幾何性質等知識，考查運算求解能力、邏輯 推理能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想，考查直觀想象、邏輯推 理、數學運算核心素養(yǎng). 7. 已知函數( )3sin2cos2f xxx，把函數( )f x的圖象沿 x 軸向左平移 6 個單位，得到 函數( )g x的圖象下列關于函數( )g x的說法正確的是 a. 在 , 2 上是減函數b. 在區(qū)間 2 , 63 上的值域為1,1 c. 函數( )g x是奇函數d. 其圖象關于直線 2 x 對稱 【解析】( )2sin(2) 6 f xx ，( )2sin 2()2sin 22cos2 662 g xxxx . ( )g x是偶函數,在, 2 上不單調, 在區(qū)間 2 , 63 上的值域為2,1，其圖像關于直線 2 x 對稱. 故選d. 【考查意圖】本題以三角函數為載體，考查三角函數圖象變換與性質等知識，考查運算求解 能力、邏輯推理能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，考查直觀想象、邏輯推理、數 學運算核心素養(yǎng). 8. 宋元時期數學名著算學啟蒙中有關于“松竹并生”的問題： “松長六尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松長？” 右圖是解決此問題的一個程序框圖，其中a為松長、b為竹長， 則輸出的n a. 5b.3c. 4d. 2 【解析】 n=1 時， a=9,b=4; n=2 時， a=13.5,b=8; n=3 時， a=20.25,b=16; n=4 時，a=30.375,b=32,此時輸出 n=4。故選c. 【考查意圖】利用程序框圖的順序結構、循環(huán)結構 ,結合實際問題的 已知條件求出輸出的 n 的值?？疾槌绦蚩驁D的三種基本邏輯結構及應 用，考查學生的文化素養(yǎng)和計算能力。 9. 函數 2 xx xx =xf +cos sin )(在-，上的圖像大致為 abcd 【解析】)(xf為奇函數，排除 b、c，當 x0時，0)(xf，排除 d，故選 a 【考查意圖】 本題以函數的大致圖像為載體， 主要考查從函數的奇偶性判斷圖像的對稱性和 從函數取值判斷圖像的變化趨勢等知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合 思想，考查邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng). 10. 給出下列四個命題： * 0 xn，使得 0 sin1 2 x ；0a 是 2 10axax 恒成立的充分條件； 函數 ln ( ) x f x x 在點 1 (e, ) e 處不存在切線；函數 2 ( )9lnf xxx存在零點 其中正確命題個數是 a1b2c3d. 4 【解析】 0 1x,sin1 2 ,正確； 2 10axax 恒成立，需0a 或 2 0 40 a aa 解 得：40a ，錯誤；函數 ln ( ) x f x x 在點 1 (e, ) e 處切線方程為 1 e y ，錯誤； 函數 2 ( )9lnf xxx，(1)10f ，(3)9ln390f (1)(3)0ff，所以( )f x在1,3存在零點，正確；故選 b 【考查意圖】本題以充分條件、簡易邏輯、函數導數的應用等知識為載體，主要考查不等式 恒成立、 函數導數的幾何意義、 函數零點的判斷等知識， 考查運算求解能力、 推理論證能力， 考查數形結合思想，考查邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng). 11. 在abc中， 0 120abc,d是線段ac上的點， 0 30dbc，若abc的面積為 2 3，則bd的最大值是 a2b3c5d6 【解析】由 1 2 3sin120 2 ac 得8ac ,因為 abcabdbcd sss ,即 11 2 3sin90sin30 22 bdcbda ,得 8 38 3 3 28 bd ac ， 當且僅當2ac時， 即4,2ac時，bd取到最大值是3.故選 b. 【設計意圖】本題以三角形為載體，考查學生運用三角形面積公式的綜合能力,并能運用基 本不等式求最值.考查運算求解能力、邏輯推理能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想， 考查直觀想象、邏輯推理、數學抽象核心素養(yǎng). 12. 已知定義在r上的連續(xù)函數( )f x滿足( )(4)f xfx，且( 2)0f ，( )fx為函數 ( )f x的導函數，當2x 時，有( )( )0f xfx，則不等式( )0 x f x的解集為 a(0,6)b( 2,0)c(, 2) d(, 2)(0,6) 【解析】構造函數( )( ),(2) x g xe f xx， 則( )( )( )( )( )0 xxx g xe f xe fxef xfx，( )g x在(,2)單調遞增， 2 ( 2)( 2)0gef ，當(, 2)x 時，( )0g x ，當( 2,2)x 時， ( )0g x ， 又0 x e ，當(, 2)x 時，( )0f x ， 當( 2,2)x 時，( )0f x ， 又( )f x滿足( )(4)f xfx，( )f x圖象關于直線2x 對稱，當( 2,6)x 時，( )0f x ，當(, 2)(6,)x 時，( )0f x ， 不等式( )0 x f x可化為： 0 ( )0 x f x 或 0 ( )0 x f x ， 可解得：(, 2)(0,6)x 故選 d 【考查意圖】本題以函數性質、導數的應用等知識為載體，主要考查函數的對稱性、函數導 數應用于判斷函數單調性，解不等式等知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形 結合思想，考查邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng). 第第卷卷 本卷包括必考題和選考題兩部分.第 13第 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答. 第 22、23 題為選考題，考生根據要求做答. 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分分. 13.已知 2 cos() 44 ，則sin2. 【解析】由sin2cos(2 )cos 2() 24 22 23 2cos12()1 444 . 【考查意圖】本題以三角恒等變換公式為載體，考查學生運用角的變換的綜合能力.考查運 算求解能力、邏輯推理能力，考查化歸與轉化思想，考查直觀想象、邏輯推理、數學運算核 心素養(yǎng). 14.已知數列 n a是公差為2的等差數列，若 2 1a ， 5 1a ， 6 1a 成等比數列，則 8 a . 【解析】 2 526 (1)11aaa， 即 2 111 (41)151adadad得 1 10a , 又2d ， 8 4a 【考查意圖】本題以等差數列、等比數列為載體，考查學生運算求解能力、邏輯推理能力， 考查化歸與轉化思想，考查直觀想象、邏輯推理、數學運算核心素養(yǎng). 15.已知直三棱柱 111 -abc a bc的高為2 3，3bc ， 0 120bac，則該三棱柱外接球 的表面積為. 解：底面外接圓半徑為1 2sin bc r a ，外接球的半徑 222 1 1 ()134 2 rraa ，外接球 的表面積為 2 416r. 【考查意圖】考查余弦定理、正弦定理的應用，考查柱體體積、球的表面積計算公式，考查 三棱柱與其外接球的結構關系，考查學生的計算能力、空間想象能力。 16. 已知點 12 ,f f分別為雙曲線)0,0( 1=： 2 2 2 2 ba b y a x -c的左、右焦點，a為直線 ax 3 4 =與雙曲線c的一個交點，若點a在以 12 ff為直徑的圓上，則雙曲線c的離心率為 _. 解：設 4 , 3 a ay（） ，代入1= 2 2 2 2 b y - a x 化簡得 22 9 7 by=，由已知得afaf 21 ，由向量知 識得 2 9 7 ) 3 4 )( 3 4 (bcaca=+-，又 222 cba=+，整理得 2 7 = 2 2 a b ，則c的離心率 2 23 2 7 1=+=e 【考查意圖】本題以雙曲線為載體，主要考查直線、雙曲線及其幾何性質等知識，考查運算 求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想,考查邏 輯推理、直觀想象、數學運算核心素養(yǎng). 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.（本小題滿分 12 分） 國家大力提倡科技創(chuàng)新，某工廠為提升甲產品的市場競爭力，對生產技術進行創(chuàng)新改造，使 甲產品的生產節(jié)能降耗。 以下表格提供了節(jié)能降耗后甲產品的生產產量x(噸)與相應的生產 能耗y(噸)的幾組對照數據 x(噸) 4567 y(噸) 2.5344.5 （1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程axby ; ) , ( 2 1 2 1 xbya xnx yxnyx b n i i n i ii （2）已知該廠技術改造前生產 8 噸甲產品的生產能耗為 7 噸，試根據（1）求出的線性回歸 方程，預測節(jié)能降耗后生產 8 噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低多少噸？ 17.（本小題滿分 12 分） 【解析】 (1)5 . 3 4 5 . 4435 . 2 , 5 . 5 4 7654 yx,2 分 , 5 .805 . 4746355 . 24 4 1 i iiy x4 分 ,1267654 2222 4 1 2 i i x5 分 , 7 . 0 5 . 54126 5 . 35 . 545 .80 4 4 2 2 4 1 2 4 1 xx yxyx b i i i ii 7 分 ,35. 05 . 57 . 05 . 3 xbya8 分 .35. 07 . 0xy所求的回歸方程為9 分 (2)把8x代入回歸方程可預測相應的生產能耗是 噸25. 535. 087 . 0y，10 分 7-5.25=1.75 噸，11 分 所以，預測生產 8 噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低 1.75 噸. 12 分 【考查意圖】本題以統計為載體，主要考查線性回歸方程等知識，考查運算求解能力、推理 論證能力，考查邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析核心素養(yǎng). 18. （本小題滿分 12 分） 已知等比數列 n a的前n項和為 n s，且21(,) n n saar nn . （1）求數列 n a的通項公式； （2）設 1 1 n n nn a b s s , 求數列b n 的前n項和 n t. 18.（本小題滿分 12 分） 【解析】 （1）方法一:當1n 時， 11 21asa.1 分 當2n 時， 1 1 2n nnn assa ,3 分 因為 n a是等比數列，所以 1 21aa滿足 式，所以21aa ，即1a ，5 分 因此等比數列 n a的首項為 1,公比為 2, 所以等比數列 n a的通項公式是 1 2n n a .6 分 方法二: 當1n 時， 11 21asa.1 分 當2n 時， 1 1 2n nnn assa 3 分 于是 23 2 ,4aa aa,由已知得 2 213 aa a,解得10()aa或舍去,5 分 因此等比數列 n a的首項為 1,公比為 2, 于是等比數列 n a的通項公式是 1 2n n a .6 分 （2）由（1）知21 n n s ，8 分 則 1 1 n n nn a b s s ,即 1 1 211 21212121 n n nn nn b ，10 分 所以 12 1 1111111 1 3377152121 nn nn tbbb ,所以 1 1 1 21 n n t .12 分 方法二: 11 1+11 11 = nnn n nnnnnn ass b s ss sss ，8 分 于是 12 122334111 1111111111 nn nnn tbbb ssssssssss 10 分 由（1）知21 n n s ，于是 1 1 1 21 n n t 12 分 【考查意圖】本題以等比數列為載體，考查學生求數列通項公式的方法、數列前 項和的方 法，考查學生運算求解能力、邏輯推理能力，考查化歸與轉化思想，考查直觀想象、邏輯推 理、數學運算核心素養(yǎng). 19. （本小題滿分 12 分） 如圖，在幾何體 abca1b1c1中，四邊形 abb1a1為矩形，aa1cc1 且 aa1=2cc1，e 為 ab1的中點 （1）求證：ce平面 a1b1c1； （2）若平面 abb1a1平面 abc，abbc，abbccc12， 求三棱錐 e- acc1的體積. 19.【解析】 （本小題滿分 12 分） (1)證明如圖，取 a1b1中點 f，連接 ef，fc1， e 為 ab1中點，ef/a1a 且 ef=1 2a 1a，2 分 aa1cc1且 aa1=2cc1， ef/cc1且 ef=cc1，即四邊形 efc1c 為平行四邊形， cec1f.4 分 111 ceabc 平面， 1111 c fabc 平面， ce平面 a1b1c1.6 分 (2) 平面 ab b1a1平面 abc，交線為 ab 又矩形 ab b1a1中 a a1ab，aa1平面 abc，8 分 aa1cc1，cc1平面 abc， 9 分 bb1cc1， 111 bbcac 平面， 111 cccac 平面， bb1 11c ac平面10 分 11111 111 222 eaccbaccb acccabc vvvv 11 分 1112 222 2323 12 分 【考查意圖】考查直線與平面平行、垂直的位置關系，考查平面與平面垂直的性質、錐體體 積計算公式，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力，考查化 歸轉化的數學思想。 20 （本小題滿分 12 分） 已知拋物線：cxy4 2 =，拋物線c的準線為l，焦點為f，a點位于第一象限內且在拋物 線c上運動，直線ao（o為坐標原點）交l于b點，直線bf交拋物線c于ed、兩點， m為線段de中點. （1）若af=5，求直線fb的方程； （2）試問直線am的斜率是否為定值,若是，求出該值；若不是，說明理由. 20 【解析】 （本小題滿分 12 分） （1）拋物線：cxy4 2 =的準線為1x ，焦點為f（1,0）2 分 由af=5 及拋物線定義得a點橫坐標為 4，3 分 由a點位于第一象限內且在拋物線：cxy4 2 =上得a點坐標為（4，4） ，4 分 于是 oa k=1，則直線oa的方程為xy =，與準線1x 聯立解得 b（-1，-1）5 分 因此 bf k= 2 1 ，所以直線fb的方程為 2 1 2 1 -x=y，即210 xy 6 分 （說明：若通過幾何法或其它方法得出 bf k= 2 1 oa k= 2 1 ，然后再求直線方程也一樣給分） （2）由已知直線oa的斜率存在，設直線oa的方程為ykx，與準線1x 聯立解得b （k-，1） ， 于是 2 k kbf=，7 分 由已知0k ，故設直線fb的方程為1 2 +=y k x，與xy4 2 =聯立并消去x得 04 8 2 =- k -yy，8 分 由于 2 64 160 k 設 1122 ( ,),d x ye xy（），則 k 8 21 =+ yy，則 212 16 2xx k 9 分 由于m為線段de中點，于是m點坐標為 2 84 (1, ) kk ， 10 分 直線oa的方程）（0=kkxy，與xy4 2 =聯立解得a（ kk 4 , 4 2 ） ，11 分 所以直線am的斜率為 0，綜上可知直線am的斜率為定值 012 分 【考查意圖】本題以直線、拋物線為載體，考查直線、拋物線及其幾何性質、直線與拋物線 位置關系等知識， 考查運算求解能力、 推理論證能力， 考查化歸與轉化思想、 數形結合思想、 函數與方程思想，考查直觀想象、邏輯推理、數學運算核心素養(yǎng). 21. （本小題滿分 12 分） 已知函數( )ln a f xx x ，其中ar. （1）試討論函數)(xf的單調性； （2）若1a ，試證明： ecos ( ) x x f x x . 20.（本小題滿分 12 分） 【解析】 （1）由 22 1 ( ) axa fx xxx (0)x 知：1 分 （i）若0a ， 2 ( )0(0) xa fxx x ，)(xf在區(qū)間 0,上為增函數2 分 （ii）若0a ， 當x0,a時，有( )0fx，)(xf在區(qū)間0,a上為減函數 當x, a 時，有( )0fx，)(xf在區(qū)間, a 上為增函數 4 分 綜上：當0a 時，)(xf在區(qū)間0,上為增函數； 當0a 時，)(xf在區(qū)間0,a上為減函數；)(xf在區(qū)間, a 上為增函數5 分 （2）若1a ，則 1 ( )ln(0)f xxx x 要證 ecos ( ) x x f x x ，只需證ln1ecos x xxx， 即證：ln ecos1 x xxx （i）當01x時，ln0 xx ，而ecos1 1cos1 1cos10 x x 此時：ln ecos1 x xxx6 分 （ii）當1x 時，令( )ecosln1 x g xxxx，0,x7 分 ( )esinln1 x g xxx8 分 設( )( )esinln1 x h xg xxx， 則 1 ( )ecos x h xx x 1x ， 1 ( )ecose1 10 x h xx x 9 分 當1x 時，( )h x單調遞增，( )(1)esin1 10h xh ，即( )0g x ( )g x在1,單調遞增，( )(1)ecos1 10g xg 10 分 即：( )ecosln10 x g xxxx ln ecos1 x xxx ecos ( ) x x f x x 11 分 綜上：當0 x 時，有 ecos ( ) x x f x x 12 分 【考查意圖】 本題以函數導數的應用知識為載體， 主要考查函數導數應用于判斷函數單調性， 證明不等式等知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類討論思想，構造新函數思 想方法，考查邏輯推理核心素養(yǎng). 請考生在第 22、23 二題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做 第一個題目計分，做答時請用 2b 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑 22 （本小題滿分 10 分）選修 4-4：坐標系與參數方程 在平面直角坐標系xoy中，以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l 的極坐標方程為 2 cos()1 4 ，曲線c的參數方程為： 2(cossin) cossin x y ， ， （為 參數） ，ba,為直線l上距離為 2 的兩動點，點p為曲線c上的動點且不在直線l上 (1)求曲線c的普通方程及直線l的直角坐標方程 (2)求pab面積的最大值 【解析】法一：直線l的極坐標方程1) 4 (cos2 化成1sincos sin,cosyx，直線l的直角坐標方程為01 yx2 分 曲線c的參數方程化成：為參數） ( , sincos sincos 2 y x . 平方相加得2 4 2 2 y x ，即1 28 22 yx 5 分 （2）設點p)sincos,sin2cos2(,則p到直線l的距離為： 2 |1sincos3| d 2 |1)sin(10| 8 分 max 2 5 2 d9 分 設pab的面積為s，則) 2 2 5(| 2 1 max abs 2 2 5 10 分 法二：也可設點p)sin2,cos22( 23 （本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講 已知函數|2|)(txxf，若1)(x