北京大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研試題及解答

判斷無(wú)窮積分的收斂性。解 根據(jù)不等式，得到 ， ； 從而 絕對(duì)收斂，因而收斂，再根據(jù)是條件收斂的，由，可知積分收斂，且易知是是條件收斂的。 例5.3.39 設(shè)，是的實(shí)根，求證：，且。證明 （1）任意，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)且充分大時(shí)，有，所以的根存在，又，嚴(yán)格遞增，所以根唯一，。（2） 任意，所以的根，（）。因?yàn)槿魰r(shí)，的根，不趨向于。則存在，使得中含有的一個(gè)無(wú)窮子列，從而存在收斂子列，（為某有限數(shù)）；，矛盾。例、 設(shè)，討論級(jí)數(shù)的收斂性。解 顯然當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；由 ，得，（充分?。?，于是，（充分大）（1） 當(dāng)時(shí)，收斂，收斂，收斂，絕對(duì)收斂；（2） 當(dāng)時(shí)，收斂，收斂，于是收斂，從而收斂，收斂，而發(fā)散，由，得發(fā)散，所以發(fā)散，故此時(shí)條件收斂。（3） 當(dāng)時(shí)，發(fā)散，而收斂，此時(shí)發(fā)散。 北京大學(xué)2007年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答1、 用有限覆蓋定理證明連續(xù)函數(shù)的介值定理。證明 這里只證明連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，由此即可推證介值定理。命題：若在上連續(xù)，且，那么必然存在一點(diǎn)，滿足。采用反正法，若對(duì)于任意點(diǎn)，有，那么顯然對(duì)于任意，仍然有。 由于的連續(xù)性，我們對(duì)于任意一點(diǎn)，可以找到一個(gè)鄰域，使得在中保號(hào)，那么區(qū)間被以上形式的，開(kāi)區(qū)間族所覆蓋，由有限覆蓋定理，可得存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間就能覆蓋閉區(qū)間，再由覆蓋定理的加強(qiáng)形式可得，存在，滿足當(dāng)，時(shí)，存在中的某個(gè)開(kāi)集同時(shí)覆蓋。那么我們就證明了當(dāng)時(shí)，有同號(hào)； 現(xiàn)取正整數(shù)，滿足，令，那么我們有，與同號(hào)，從而證明了與同號(hào)，即與同號(hào)，這與題目中的矛盾，證明完畢。2、 設(shè)在有限區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，證明：也在內(nèi)一致連續(xù)。證明 首先證明都在上有界，因?yàn)樵谟邢迏^(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，從而存在，滿足當(dāng)此，時(shí)，有 ，現(xiàn)取正整數(shù)，滿足，令，；對(duì)任意，存在，使得 ， ，即得在上是有界的； 同理在上也是有界的； 下面證明，若在區(qū)間上有界，且都一致連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。 設(shè)，滿足，;那么由得一致連續(xù)性得到，對(duì)于任意，存在，使得當(dāng)，時(shí)，有 ，從而 ，即得在上一致連續(xù)。3、 已知在上有四階導(dǎo)數(shù)，且有，證明：存在，使得。證明 不妨設(shè)（這是因?yàn)榉駝t可以考慮，而的三、四階導(dǎo)數(shù)與的相同）。從而我們要證明存在，使得。下面分兩種情形來(lái)證明之，（1），當(dāng)，由帶Peano余項(xiàng)的Taylor展開(kāi)式，我們得到 ，那么在足夠小的鄰域內(nèi)有，取，滿足，不妨設(shè)，由于，那么存在，使得，從而取，；當(dāng)時(shí)，同理可得；（2），那么有，可以同樣Taylor展開(kāi)， ，做法與（1）相同，證畢。4 、構(gòu)造一個(gè)函數(shù)在上無(wú)窮次可微，且，并說(shuō)明滿足條件的函數(shù)有任意多個(gè)。解 構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，顯然此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，從而可以定義函數(shù)： ，容易驗(yàn)證此函數(shù)滿足：，考慮到函數(shù)，由我們熟知的結(jié)論知，在上無(wú)窮次可微，且，對(duì)任意在上無(wú)窮次可微的函數(shù)，從而也滿足題目要求條件，結(jié)論得證。5 、設(shè)，是上的連續(xù)函數(shù)，證明滿足的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)。證明 設(shè) ， 。那么我們有， ，下面分兩種情況討論：（1） 若或有一個(gè)成立時(shí)，當(dāng)，我們有，從而有，從而為常數(shù)，此時(shí)結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí)，我們有，從而為常數(shù)，此時(shí)結(jié)論顯然成立；（2）我們可以選取無(wú)窮多條連接和的不相交的連續(xù)曲線，；顯然連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，使得 ，即，結(jié)論得證。6 、求，其中是，方向向上。解法1 設(shè)， ；。解法2 記，利用高斯公式，得。7、 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，試作一無(wú)界區(qū)域,使在上的廣義積分收斂。解 首先取，使得，滿足 ；再選取，使得，滿足 ；依次選取，使得，滿足 ，取，是一個(gè)無(wú)界區(qū)域，可以驗(yàn)證在上的廣義積分收斂。8、 設(shè)，討論不同的對(duì)在上積分的斂散性。解 顯然在時(shí)，發(fā)散，下面只對(duì)時(shí)討論。由，當(dāng)時(shí)，收斂，時(shí)，發(fā)散，當(dāng)時(shí)，發(fā)散； 時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，收斂；所以（1）當(dāng)時(shí)，由，得絕對(duì)收斂；（2） 當(dāng)時(shí)，（充分大）， 收斂，由于發(fā)散，此時(shí)，發(fā)散，于是發(fā)散，而，收斂，收斂；故當(dāng)時(shí)，條件收斂；（3）時(shí)，（充分大）；由于發(fā)散，于是發(fā)散，而收斂，故此時(shí)發(fā)散。9、 記，是否存在以及函數(shù)在上可導(dǎo)，且，。解 設(shè)，知級(jí)數(shù)在內(nèi)是收斂的，從而在內(nèi)有定義；顯然；由于，都在，（為任意大于0的常數(shù)）內(nèi)都是一致收斂的。所以，從而在的某個(gè)鄰域上偏導(dǎo)數(shù)都存在，且是連續(xù)的，又有，到這里我們已經(jīng)驗(yàn)證了隱函數(shù)定理的三條件：（1），為剛剛解答中的某個(gè)鄰域，（2），（3），從而根據(jù)隱函數(shù)定理可知存在這樣的滿足題目中的條件，結(jié)論得證。事實(shí)上，顯然，是方程的唯一解。10 、設(shè)在上黎曼可積，證明：的傅里葉展開(kāi)式有相同系數(shù)的充要條件是。證明 在這里我們只證明的情況（對(duì)于一般的情況只是區(qū)間的平移和拉伸）。記為的傅里葉系數(shù)；為的傅里葉系數(shù)，先證充