2016年天津市高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密啟用前2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù) 學(xué)（理工類）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第卷1至2頁，第卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第卷注意事項(xiàng)：1. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2. 本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互獨(dú)立，那么.圓柱的體積公式.圓錐的體積公式.其中表示圓柱的底面面積， 其中表示圓錐的底面面積，表示圓柱的高.表示圓錐的高.1. 選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 學(xué)科.網(wǎng)（1）已知集合，則 （A）（B） （C）（D）（2）設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為 （A）（B）（C）（D）（3） 在中，若，則（A） （B）（C）（D）（4） 閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的值為（A） （B）（C）（D）（5） 設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，學(xué)科&網(wǎng)公比為，則“”是“對任意的正整數(shù)，”的（A） 充要條件 （B）充分而不必要條件（C）必要而不充分條件 （第4題圖）（D）既不充分也不必要條件（6）已知雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于，四點(diǎn)，學(xué)科&網(wǎng)四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（A）（B）（C）（D）（7） 已知是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為（A） （B）（C）（D）（8）已知函數(shù)（，學(xué).科網(wǎng)且）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰好有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（A） （B）（C） （D） 絕密啟用前2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù) 學(xué)（理工類）第卷注意事項(xiàng)：1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. 2. 本卷共12小題, 共110分.二填空題: 本大題共6小題, 每小題5分, 共30分.（9）已知，R，是虛數(shù)單位，若，則的值為_.（10）的展開式中的系數(shù)為_.（用數(shù)字作答）正視圖側(cè)視圖俯視圖（第11題圖）（11）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：），學(xué)科.網(wǎng)則該四棱錐的體積為_.（12） 如圖，是圓的直徑，弦與相交于點(diǎn)，則線段的長為_.（13） 已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是_.（第14題圖）（14） 設(shè)拋物線（為參數(shù)，）的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為.過拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為.設(shè)，與相交于點(diǎn).若，且的面積為，則的值為_.三. 解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（15）（本小題滿分13分）已知函數(shù).（）求的定義域與最小正周期；（）討論在區(qū)間上的單調(diào)性.（16） （本小題滿分13分）某小組共人，利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為，的人數(shù)分別為，.現(xiàn)從這人中隨機(jī)選出人作為該組代表參加座談會.（）設(shè)為事件“選出的人參加義工活動次數(shù)之和為”，求事件發(fā)生的概率；（）設(shè)為選出的人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（17） （本小題滿分13分）如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)，.（）求證：平面；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)為線段上的點(diǎn)，且，求直線和平面所成角的正弦值.（18） （本小題滿分13分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，學(xué).科.網(wǎng)公差為.對任意的，是和的等比中項(xiàng).（）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（）設(shè)，求證.（19） （本小題滿分14分）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為.已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率. 學(xué).科.網(wǎng)（）求橢圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若，且，求直線的斜率的取值范圍.（20） （本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，R，其中，R.（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；（）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù) 學(xué)（理工類）一、選擇題：（1）【答案】D（2）【答案】B（3）【答案】A（4）【答案】B（5）【答案】C（6）【答案】D（7）【答案】B（8）【答案】C第卷二、填空題：（9）【答案】2（10）【答案】（11）【答案】2（12）【答案】（13）【答案】 (14) 【答案】三、解答題（15）【答案】（），（）在區(qū)間上單調(diào)遞增, 學(xué)科&網(wǎng)在區(qū)間上單調(diào)遞減.【解析】試題分析：（）先利用誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求定義域、學(xué)科&網(wǎng)周期根據(jù)（1）的結(jié)論，研究三角函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性試題解析： 解：的定義域?yàn)?所以, 的最小正周期解：令函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是由,得 設(shè)，易知.所以, 當(dāng)學(xué).科網(wǎng)時, 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 在區(qū)間上單調(diào)遞減.考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式、兩角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【結(jié)束】 (16) 【答案】（）（）詳見解析【解析】試題分析：（）先確定從這10人中隨機(jī)選出2人的基本事件種數(shù)：，再確定選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù)：，最后根據(jù)概率公式求概率（）先確定隨機(jī)變量可能取值為學(xué).科網(wǎng)再分別求出對應(yīng)概率，列出概率分布，最后根據(jù)公式計算數(shù)學(xué)期望試題解析：解：由已知，有所以，事件發(fā)生的概率為.隨機(jī)變量的所有可能取值為，.所以，隨機(jī)變量學(xué).科網(wǎng)分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)：概率，概率分布與數(shù)學(xué)期望【結(jié)束】 (17) 【答案】（）詳見解析（）（）【解析】試題分析：（）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進(jìn)行論證（）利用空間向量求二面角，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)關(guān)系求正弦值（）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互余關(guān)系求正弦值試題解析：依題意，如圖，以為點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，.（I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€，所以.（II）解：易證，為平面的一個法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值為.（III）解：由，學(xué).科網(wǎng)得.因?yàn)椋?，進(jìn)而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)：利用空間向量解決立體幾何問題【結(jié)束】(18) 【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】試題分析：（）先根據(jù)等比中項(xiàng)定義得：，從而，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：（） 對數(shù)列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項(xiàng)相消法求和，易得結(jié)論.試題解析：（I）證明：由題意得，有，因此，所以是等差數(shù)列.（II）證明： 所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比中項(xiàng)、分組求和、裂項(xiàng)相消求和【結(jié)束】（19）【答案】（）（）【解析】試題分析：（）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定量，由，得，再利用，可解得，（）先化簡條件：，即M再OA中垂線上，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求；利用兩直線方程組求H，最后根據(jù)，列等量關(guān)系解出直線斜率.取值范圍試題解析：（1）解：設(shè)，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為.（2）（）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（）知，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.設(shè)，由方程組消去，解得.在中，即，化簡得，即，解得或.所以，直線的斜率的取值范圍為.考點(diǎn)：學(xué).科網(wǎng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程【結(jié)束】（20）【答案】（）詳見解析（）詳見解析（）詳見解析【解析】試題分析：（）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在情況，分類討論：當(dāng)時，有恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為.當(dāng)時，存在三個單調(diào)區(qū)間（）由題意得，計算可得再由及單調(diào)性可得結(jié)論（）實(shí)質(zhì)研究函數(shù)最大值：主要比較，的大小即可，分三種情況研究當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，.試題解析：（）解：由，可得.下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)時，有恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時，令，解得，或.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（）證明：因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以由（）知，且，由題意，得，即，進(jìn)而.又，且，由題意及（）知，存在唯一實(shí)數(shù)滿足 ，且，因此，所