9 7方向?qū)?shù)與梯度ppt課件

第九章 第七節(jié) 一 方向?qū)?shù) 二 梯度 三 物理意義 方向?qū)?shù)與梯度 一 方向?qū)?shù) 1 定義 若函數(shù)f x y z 在點(diǎn)P x y z 處沿方向l 方向角為 存在下列極限 則稱 為函數(shù)在點(diǎn)P處沿方向l的方向?qū)?shù) 記作 2 定理 若函數(shù)f x y z 在點(diǎn)P x y z 處可微 則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)存在 且有 證明 由函數(shù)f x y z 在點(diǎn)P可微 得 故 其中 為l的方向角 對(duì)于二元函數(shù)f x y 在點(diǎn)P x y 處沿方向l 方向角為 的方向?qū)?shù)為 特別 當(dāng)l與x軸同向 當(dāng)l與x軸反向 例1 求函數(shù)u x2yz在點(diǎn)P 1 1 1 沿向量的方向?qū)?shù) 例2 求函數(shù)z 3x2y y2在點(diǎn)P 2 3 沿曲線y x2 1朝x增大方向的方向?qū)?shù) 解 將已知曲線用參數(shù)方程表示為 它在點(diǎn)P的切向量為 例3 設(shè)是曲面2x2 3y2 z2 6在點(diǎn)P 1 1 1 處指向外側(cè)的法向量 解 方向余弦為 而 同理得 的方向?qū)?shù) 在點(diǎn)P處沿方向 求函數(shù) 二 梯度 方向?qū)?shù)公式 令向量 這說(shuō)明 方向 f變化率最大的方向 模 f的最大變化率之值 同樣可定義二元函數(shù)f x y 在點(diǎn)P x y 處的梯度 1 定義 向量稱為函數(shù)f P 在點(diǎn)P處的梯度 gradient 記作 gradf 即 說(shuō)明 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影 設(shè)fx fy不同時(shí)為零 則L 上點(diǎn)P處的法向量為 2 梯度的幾何意義 1 書(shū)上例題見(jiàn)mathematica 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面 或等值線 2 對(duì)應(yīng)函數(shù)u f x y z 有等值面 f x y z C 當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí) 其上點(diǎn)P處的法向量為 指向函數(shù)增大的方向 3 梯度的基本運(yùn)算公式 證 試證 1 數(shù)量 標(biāo)量 場(chǎng) 在空間任一點(diǎn)M存在著一個(gè)標(biāo)量f M 或 它的數(shù)值是空間位置的函數(shù) 如氣壓場(chǎng) 溫度場(chǎng) 電勢(shì)等 2 向量 矢量 場(chǎng) 在空間任一點(diǎn)M存在著一個(gè)矢量 它的大小和方向是空間位置的函數(shù) 如電場(chǎng) 磁場(chǎng) 流速場(chǎng)等 研究任何標(biāo)量場(chǎng)時(shí) 常引入 等值面 概念 三 物理意義 3 可微函數(shù)f M 梯度場(chǎng)gradf M 標(biāo)量場(chǎng) 或勢(shì) 矢量場(chǎng) 注意 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng) 因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度 例如 電場(chǎng)中的電勢(shì)是標(biāo)量場(chǎng) 它的梯度的負(fù)值等于電場(chǎng)強(qiáng)度 是個(gè)矢量場(chǎng) 例5 已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q在任意點(diǎn)P x y z 處所產(chǎn)生的電勢(shì)為 試證 證 利用例4的結(jié)果 這說(shuō)明場(chǎng)強(qiáng) 垂直于等位面 且指向電勢(shì)減少的方向 類似的如 萬(wàn)有引力場(chǎng)和萬(wàn)有引力勢(shì) 作業(yè) P1082 3 6 7 8 9 4 10 1 曲線方程為參數(shù)方程的情況 切向量 一 空間曲線的切線與法平面 2 曲線為