高等代數(shù)多項(xiàng)式

多項(xiàng)式,第一章多項(xiàng)式,多項(xiàng)式,1數(shù)環(huán)和數(shù)域,1數(shù)環(huán)和數(shù)域,數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，人們對數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)長期的發(fā)展過程，由自然數(shù)到整數(shù)、有理數(shù)，然后是實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)。數(shù)學(xué)中的許多問題都和數(shù)的范圍有關(guān)，數(shù)的范圍不同，對同一問題的回答可能也不相同。例如,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有根，但在復(fù)數(shù)域內(nèi)就有一對共軛復(fù)根。,在有理數(shù)范圍內(nèi)不能進(jìn)行因式分解，但在實(shí)域內(nèi)就可以分解。,多項(xiàng)式,1數(shù)環(huán)和數(shù)域,我們通?？紤]的數(shù)的范圍主要包括全體實(shí)數(shù)、全體有理數(shù)以及全體復(fù)數(shù)等，它們具有一些不同的性質(zhì)，但也有很多共同的性質(zhì)，在代數(shù)中經(jīng)常將具有共同性質(zhì)的對象統(tǒng)一進(jìn)行討論。,一個(gè)數(shù)集中，數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算稱為數(shù)的代數(shù)運(yùn)算。,若數(shù)集P中任何兩個(gè)數(shù)做某一運(yùn)算后的結(jié)果仍然在這個(gè)數(shù)集P中，則稱該數(shù)集P對這個(gè)運(yùn)算是封閉的。,自然數(shù)集N對加、乘運(yùn)算封閉，對減、除不封閉。整數(shù)集Z對加、減、乘運(yùn)算封閉，對除不封閉。有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C對加、減、乘、除(除數(shù)不為0)四種運(yùn)算都封閉。,多項(xiàng)式,1數(shù)環(huán)和數(shù)域,根據(jù)數(shù)集對運(yùn)算的封閉情況，可以得到兩類數(shù)集：數(shù)環(huán)和數(shù)域。,一、數(shù)環(huán),定義1：若P是由一些復(fù)數(shù)組成的非空集合，若數(shù)集P對加、減、乘三種運(yùn)算都封閉，即對a，bP，總有a+b，a-b，abP，則稱數(shù)集P是一個(gè)數(shù)環(huán)。,例如：整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C都是數(shù)環(huán)。,例1除了以上數(shù)環(huán)外，是否還有其他數(shù)環(huán)？有沒有最小數(shù)環(huán)？,例2一個(gè)數(shù)環(huán)是否一定包含0元？除零環(huán)外，是否還有只包含有限個(gè)元素的數(shù)環(huán)？,多項(xiàng)式,1數(shù)環(huán)和數(shù)域,例3證明,是包含,的最小數(shù)環(huán)。,二、數(shù)域,定義2：若P是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包含0和1，如果數(shù)集P對加、減、乘、除(除數(shù)不為0)四種運(yùn)算都封閉，則稱數(shù)集P是一個(gè)數(shù)域。,定義3：若P是一個(gè)數(shù)環(huán)，如果數(shù)集P內(nèi)含有一個(gè)非零數(shù)對a，bP，且b0，有a/bP，則稱數(shù)集P是一個(gè)數(shù)域。,例如：有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域。,多項(xiàng)式,1數(shù)環(huán)和數(shù)域,例4證明,是一個(gè)數(shù)域。,例5設(shè),證明P2，P是一個(gè)數(shù)域，而且P是包含P1和P2的最小數(shù)域。,例6證明任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q。,例7在Q與R之間是否還有別的數(shù)域?R與C之間呢？,例8設(shè)F1和F2是兩個(gè)數(shù)域，證明：1）F1F2是一個(gè)數(shù)域；2）F1F2是數(shù)域的充分必要條件是F1F2或F2F1。,多項(xiàng)式,2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算,2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算,一、一元多項(xiàng)式的定義,定義1：設(shè)x是一個(gè)文字(或符號(hào))，n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，表達(dá)式其中a0，a1，an全屬于數(shù)域P，稱為系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項(xiàng)式，或簡稱為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式。,定義1在以下兩方面推廣了中學(xué)的多項(xiàng)式定義：這里的x不再局限為實(shí)數(shù)，而是任意的文字或符號(hào)。多項(xiàng)式中的系數(shù)可以在任意數(shù)域中。,常數(shù)項(xiàng)，或稱零次項(xiàng),稱為首項(xiàng)，其中首項(xiàng)系數(shù)an0,多項(xiàng)式,2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算,例如：,是Q上的一元多項(xiàng)式。,是R上的一元多項(xiàng)式。,是C上的一元多項(xiàng)式。,而,都不是多項(xiàng)式。,定義2：如果在多項(xiàng)式f(x)與g(x)中，除去系數(shù)為零的項(xiàng)外，同次項(xiàng)的系數(shù)相等，那么就稱多項(xiàng)式f(x)或g(x)相等，記為f(x)=g(x),多項(xiàng)式,2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算,定義3：設(shè)非負(fù)整數(shù)n稱為多項(xiàng)式f(x)的次數(shù)，記為,例如：,幾類特殊的多項(xiàng)式：零次多項(xiàng)式：次數(shù)為0的多項(xiàng)式，即非零常數(shù)。零多項(xiàng)式：系數(shù)全為0的多項(xiàng)式，即f(x)=0。對零多項(xiàng)式不定義次數(shù)，因此，在使用次數(shù)符號(hào)時(shí)，總假定f(x)0。首一多項(xiàng)式：首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式。,多項(xiàng)式,2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算,二、多項(xiàng)式的運(yùn)算,定義4：設(shè)是數(shù)域P上次數(shù)分別為n和m的多項(xiàng)式(不妨假設(shè)mn)，則多項(xiàng)式f(x)和g(x)的和，差為：當(dāng)m1時(shí)，p(x)稱為f(x)的重因式。,如果f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：則p1(x)，p2(x)，ps(x)分別是f(x)的k1重，k2重，ks重因式。,多項(xiàng)式,6重因式,定義2多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的一階導(dǎo)數(shù)f(x)是比f(x)低一次的多項(xiàng)式f(x)=annxn-1+an-1(n-1)xn-2+a1一階導(dǎo)數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)稱為f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為f(x)。f(x)的導(dǎo)數(shù)稱為f(x)的三階導(dǎo)數(shù)，記為f(x)。f(x)的k階導(dǎo)數(shù)記為f(k)(x)。,一個(gè)n次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)n-1次多項(xiàng)式，它的n階導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)常數(shù)，它的n+1階導(dǎo)數(shù)就是零。,多項(xiàng)式,6重因式,多項(xiàng)式的基本求導(dǎo)法則：1)(f(x)+g(x)=f(x)+g(x)2)(cf(x)=cf(x)3)(f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)4)(fm(x)=mfm-1(x)f(x),定理1若不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式(k1)，則p(x)是f(x)的k-1重因式。,推論1若不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的k重因式(k1)，則p(x)是f(x)，f(x)，f(k-1)(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式。,多項(xiàng)式,6重因式,推論2不可約多項(xiàng)式p(x)是f(x)的重因式的當(dāng)且僅當(dāng)p(x)是f(x)與f(x)的公因式。,推論3多項(xiàng)式f(x)無重因式的充要條件是f(x)與f(x)互素。,例1求多項(xiàng)式有重因式的條件。,例2用分離重因式方法求多項(xiàng)式在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。,多項(xiàng)式,7多項(xiàng)式函數(shù),7多項(xiàng)式函數(shù),一、多項(xiàng)式函數(shù)的定義,定義1設(shè)f(x)Px，對任意的xP，作映射f：xf(x)P映射f確定了數(shù)域P上的一個(gè)函數(shù)f(x)，f(x)稱為P上的多項(xiàng)式函數(shù)。,定義2設(shè)f(x)Px，對任意的cP，數(shù)f(c)=ancn+an-1cn-1+a0稱為當(dāng)x=c時(shí)多項(xiàng)式函數(shù)f(x)的值，若f(c)=0，則稱c為f(x)在數(shù)域P中的根或零點(diǎn)。,多項(xiàng)式,7多項(xiàng)式函數(shù),二、余數(shù)定理和綜合除法,定理1(余數(shù)定理)用一次多項(xiàng)式x-c去除多項(xiàng)式f(x)，所得的余式就是一個(gè)常數(shù)，即這個(gè)多項(xiàng)式在x=c時(shí)的值f(c)。,問題：有沒有更簡單的方法確定帶余除法f(x)=q(x)(x-c)+r,利用綜合除法求q(x)與r時(shí)應(yīng)注意：多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列，有缺項(xiàng)必須補(bǔ)上零除式x+b應(yīng)變?yōu)閤-(-b),多項(xiàng)式,7多項(xiàng)式函數(shù),例1求用x+2除f(x)=x5+x3+2x2+8x-5的商和余式。,例3每個(gè)多項(xiàng)式f(x)都可以唯一表示為x-x0的方冪和，即c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+cn(x-xn)n的形式，其中c0，c1，cn為常數(shù)。,例4把f(x)=x5+x3+2x2+8x-5表示為x+2的方冪和。,例2設(shè)f(x)=x4+2x3-3x2+4x-5，求f(1+i)。,多項(xiàng)式,7多項(xiàng)式函數(shù),定理2(因式定理)(x-c)是多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)因式的充要條件是f(c)=0。,例5當(dāng)a，b是什么數(shù)時(shí)，f(x)能被g(x)整除？其中f(x)=x4-3x3+6x2+ax+b，g(x)=x2-1。,三、多項(xiàng)式的根,定義3若x-c是f(x)的k重因式，則稱c是f(x)的一個(gè)k重根。當(dāng)k=1時(shí)，c稱為f(x)的一個(gè)單根。,多項(xiàng)式,7多項(xiàng)式函數(shù),定理3(根的個(gè)數(shù)定理)Px中的n次多項(xiàng)式(n0)在數(shù)域P中的根至多有n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算。,定理4設(shè)f(x)，g(x)Px，它們的次數(shù)都不超過n。若在P中有n+1個(gè)不同的數(shù)使得f(x)與g(x)的值相等。,問題：設(shè)a1，a2，an是P中n個(gè)不同的數(shù)，b1，b2，bn是P中n個(gè)任意的數(shù)，能否確定一個(gè)n-1次多項(xiàng)式f(x)，使得f(ai)=bi，i=1，2，n,多項(xiàng)式,7多項(xiàng)式函數(shù),四、多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相等的關(guān)系,1、多項(xiàng)式相等，即f(x)=g(x)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等。2、多項(xiàng)式函數(shù)相等，即f(x)=g(x)cP有f(c)=g(c)。,定理5Px中兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)和g(x)相等的充要條件是它們在P上定義的多項(xiàng)式函數(shù)相等。,多項(xiàng)式,8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,問題：對于Px中的多項(xiàng)式多項(xiàng)式f(x)，它在數(shù)域P上未必有根，但在復(fù)數(shù)域C上是否有根?,定理1(代數(shù)基本定理)每個(gè)次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一個(gè)根。,定理2每個(gè)次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中一定有一個(gè)一次因式。,一、復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,多項(xiàng)式,8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,定理3任何次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有n個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)。,推論1復(fù)數(shù)域上任何次數(shù)1的多項(xiàng)式都是可約的，即復(fù)數(shù)域上，不可約多項(xiàng)式只能是一次多項(xiàng)式。,推論2任何一個(gè)次數(shù)1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都能分解為一次因式的乘積，在適當(dāng)排序后，這個(gè)分解是唯一的。,多項(xiàng)式,8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,一般的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的根與系數(shù)的關(guān)系。,設(shè)f(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=a0(x-1)(x-2)(x-n)則a1/a0=-(1+2+n)a2/a0=(12+13+1n+n-1n)an/a0=(-1)n12n,例1求一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的4次多項(xiàng)式，使它以1和4為單根，-2為2重根。,多項(xiàng)式,8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,二、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,定理4如果是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)復(fù)根，則的共軛復(fù)數(shù)也是f(x)的根，而且與有相同的重?cái)?shù)。,定理5任何次數(shù)1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可唯一分解為一次因式與二次因式的乘積。,推論3Rx中不可約多項(xiàng)式除一次多項(xiàng)式外，只含有非實(shí)共軛復(fù)根的二次不可約多項(xiàng)式。,多項(xiàng)式,8復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,推論4實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式F(x)=a0(x-c1)l1(x-cs)ls(x2+p1x+q1)k1(x2+prx+qr)kr其中c1cs,p1pr,q1qr全為實(shí)數(shù)，l1ls,k1kr全為正整數(shù)，并且x2+pi+qi在實(shí)數(shù)域上是不可約的，即pi2-4qi0,例2已知實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式x3+2x2+qx+r=0有一根是試求q，r，并求該方程的解。,例3求多項(xiàng)式xn-1在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的因式分解。,多項(xiàng)式,9有理系數(shù)多項(xiàng)式,9有理系數(shù)多項(xiàng)式,一、整系數(shù)多項(xiàng)式的可約性,定義1(本原多項(xiàng)式)若非零整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)互素，則稱f(x)是一個(gè)本原多項(xiàng)式。,定理1(高斯引理)兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式。,定理2一個(gè)非零整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上可約的充要條件是它在整數(shù)環(huán)上可約。,多項(xiàng)式,9有理系數(shù)多項(xiàng)式,推論1設(shè)f(x)，g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且g(x)是本原的，如果f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，則h(x)一定是整系數(shù)多項(xiàng)式。,例1設(shè)f(x)，g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，若f(x)=g(x)h(x)，則h(x)是否一定是整系數(shù)多項(xiàng)式。,例2設(shè)f(x)，g(x)是本原多項(xiàng)式，且g(x)整除f(x)，證明：f(x)除以g(x)的商也是本原多項(xiàng)式。,多項(xiàng)式,9有理系數(shù)多項(xiàng)式,問題：有理數(shù)域Q上的不可約多項(xiàng)式有什么特征？,定理3(Eisenstein定理)設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若存在素?cái)?shù)p使得1、p|an2、p|an-1，an-2，a03、p2|a0則f(x)在有理數(shù)域上是可約的。,例3證明多項(xiàng)式f(x)=xn+3在有理數(shù)域上是不可約的。,多項(xiàng)式,9有理系數(shù)多項(xiàng)式,例4判斷多項(xiàng)式f(x)=x6-10 x3+2，g(x)=5x4-6x3+12x+6在有理數(shù)域上是否可約？。,例5設(shè)f(x)是有理數(shù)域上的多項(xiàng)式。證明：f(x)在有理數(shù)域是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)存在有理數(shù)a0，b，使得多