高中數(shù)學(xué)求參數(shù)取值范圍題型與方法總結(jié)歸納.doc

參數(shù)取值問題的題型與方法一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例1已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2，上式等價(jià)于或，解得a8.另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t24t+4a+則二次函數(shù)的對稱軸為t=1,f(x)在1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)0,即a2.(下同)例3設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得；當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對稱關(guān)系式。我們可以構(gòu)造關(guān)于的對稱關(guān)系式.解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得（*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結(jié)合得. 綜上，.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號或不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例4（江蘇、天津）已知長方形四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P沿與AB夾角為的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1x42p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。略解：不等式即(x1)p+x22x+10,設(shè)f(p)= (x1)p+x22x+1,則f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.三、解析幾何中確定參變量的取值范圍歷來是各級各類測試及高考命題的熱點(diǎn)。例10已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程及點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍.分析： 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程：（2） 代入（1），化簡得：(3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.2已知雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：1、，直線l在l的上方且到直線l的距離為；2、把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式；3、分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：關(guān)于x的方程有唯一解。解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： ，于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知：方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍7.已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（）若對任意， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（I）當(dāng)時(shí)，由得得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（II）若對任意， 使得恒成立， 則時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，設(shè)，則 ，設(shè)， 在上恒成立，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，在有零點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，8.已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()是否存在實(shí)數(shù),使不等式對恒成立?！窘狻?)，當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí),令得,且時(shí),又時(shí),所以函數(shù)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.()假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式對恒成立，即恒成立.令,則,且恒成立當(dāng)時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞減,于是與矛盾,故舍去.當(dāng)時(shí),，而當(dāng)時(shí),由函數(shù)和都單調(diào)遞減.且由圖象可知,趨向正無窮大時(shí),趨向于負(fù)無窮大.y=lnx(x1)y=ax2-ax(a0)xOy這與恒成立矛盾,故舍去.當(dāng)時(shí),等價(jià)于() 記其兩根為(這是因?yàn)?，易知時(shí),而時(shí),(i)若時(shí),則函數(shù)在上遞減,于是矛盾,舍去; (ii)若時(shí),則函數(shù)在上遞增,于是恒成立.所以,即,解得，綜上可知,存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式對恒成立9.設(shè)函數(shù)() 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.（）若對任意及任意，恒有 成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：()函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，令得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，無極大值.（） ；當(dāng)，即時(shí)， 在上是減函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，令得或令得當(dāng)，即時(shí)，令得或令得 綜上，當(dāng)時(shí)，在定義域上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（）由（）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值.而經(jīng)整理得 由得，所以27. 已知函數(shù)是常數(shù)，且當(dāng)和時(shí)，函數(shù)取得極值（）求函數(shù)的解析式；（）若曲線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（），依題意，即解得，（）由（）知，曲線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，則，由0的或，當(dāng)時(shí)，于是在上遞增；當(dāng)時(shí)，于是在上遞減.依題意有.實(shí)數(shù)的取值范圍是.31.已知函數(shù)(a為實(shí)常數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在(1，+)上是增函數(shù)； (2)求函數(shù)在1，e上的最小值及相應(yīng)的值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，故函數(shù)在上是增函數(shù)（2），當(dāng)，若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時(shí)，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)。若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，此時(shí)是增函數(shù)故若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時(shí)，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的x值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的x值為（3）不等式，可化為, 且等號不能同時(shí)取，所以，即，因而（），令（），又，當(dāng)時(shí)，從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用例10、（山東卷）已知函數(shù)，其中，為常數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時(shí)，證明：對任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有【解析】：（）解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以（1）當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無極值綜上所述，時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，極小值為當(dāng)時(shí)，無極值（）證法一：因?yàn)?，所以?dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則（）所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，因此恒成立，所以成立當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要證，由于，所以只需證，令，則（），所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，恒有，即命題成立綜上所述，結(jié)論成立證法二：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對任意的正整數(shù)，恒有，故只需證明令，則，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，即成立故當(dāng)時(shí)，有即（四川）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （1）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值. （2）設(shè)過定點(diǎn)M(0, 2)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍. 解析（1）設(shè)P(x, y)，又 x=0時(shí)，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值2。時(shí)，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1. （2）直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線,由 ,，令，得。又，故cos0， .即，又， k24，即2k0,數(shù)列滿足，若對成立，試求a的取值范圍。解：（1），又，是公比為的等比數(shù)列，（2），現(xiàn)證：時(shí)，對成立。(1) n=1時(shí)，成立;(2)假設(shè)n=k(k1)時(shí)，成立，則，即n=k+1時(shí)，也成立，時(shí)，a的取值范圍是。22.正項(xiàng)數(shù)列 （1）求； （2）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使當(dāng)nN