高中數(shù)學(xué)求參數(shù)取值范圍題型與方法總結(jié)歸納.doc

參數(shù)取值問(wèn)題的題型與方法一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。例1已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2，上式等價(jià)于或，解得a8.另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t24t+4a+則二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t=1,f(x)在1，1內(nèi)單調(diào)遞減。只需f(1)0,即a2.(下同)例3設(shè)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.思路1:從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線(xiàn)AB的斜率k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：當(dāng)直線(xiàn)垂直于x軸時(shí)，可求得；當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線(xiàn)的方程為：，代入橢圓方程，消去得，解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來(lái). 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式。我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.解2：設(shè)直線(xiàn)的方程為：，代入橢圓方程，消去得（*）則 令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以，解得.結(jié)合得. 綜上，.二、直接根據(jù)圖像判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫(huà)出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過(guò)畫(huà)圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。例4（江蘇、天津）已知長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P沿與AB夾角為的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1x42p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題。略解：不等式即(x1)p+x22x+10,設(shè)f(p)= (x1)p+x22x+1,則f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.三、解析幾何中確定參變量的取值范圍歷來(lái)是各級(jí)各類(lèi)測(cè)試及高考命題的熱點(diǎn)。例10已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過(guò)P作直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線(xiàn)的方程及點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍.分析： 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線(xiàn)AB的變化引起的，自然可選擇直線(xiàn)AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線(xiàn)AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線(xiàn)，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程：（2） 代入（1），化簡(jiǎn)得：(3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.2已知雙曲線(xiàn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：過(guò)點(diǎn)B作與平行的直線(xiàn)，必與雙曲線(xiàn)C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：1、，直線(xiàn)l在l的上方且到直線(xiàn)l的距離為；2、把直線(xiàn)l的方程代入雙曲線(xiàn)方程，消去y，令判別式；3、分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：關(guān)于x的方程有唯一解。解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線(xiàn)C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離為： ，于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知：方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍7.已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（）若對(duì)任意， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（I）當(dāng)時(shí)，由得得的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（II）若對(duì)任意， 使得恒成立， 則時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，設(shè)，則 ，設(shè)， 在上恒成立，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，在有零點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，8.已知函數(shù)()求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;()是否存在實(shí)數(shù),使不等式對(duì)恒成立。【解】()，當(dāng)時(shí),函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí),令得,且時(shí),又時(shí),所以函數(shù)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.()假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式對(duì)恒成立，即恒成立.令,則,且恒成立當(dāng)時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞減,于是與矛盾,故舍去.當(dāng)時(shí),，而當(dāng)時(shí),由函數(shù)和都單調(diào)遞減.且由圖象可知,趨向正無(wú)窮大時(shí),趨向于負(fù)無(wú)窮大.y=lnx(x1)y=ax2-ax(a0)xOy這與恒成立矛盾,故舍去.當(dāng)時(shí),等價(jià)于() 記其兩根為(這是因?yàn)?，易知時(shí),而時(shí),(i)若時(shí),則函數(shù)在上遞減,于是矛盾,舍去; (ii)若時(shí),則函數(shù)在上遞增,于是恒成立.所以,即,解得，綜上可知,存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式對(duì)恒成立9.設(shè)函數(shù)() 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.（）若對(duì)任意及任意，恒有 成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：()函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，令得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，無(wú)極大值.（） ；當(dāng)，即時(shí)， 在上是減函數(shù)；當(dāng)，即時(shí)，令得或令得當(dāng)，即時(shí)，令得或令得 綜上，當(dāng)時(shí)，在定義域上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（）由（）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值.而經(jīng)整理得 由得，所以27. 已知函數(shù)是常數(shù)，且當(dāng)和時(shí)，函數(shù)取得極值（）求函數(shù)的解析式；（）若曲線(xiàn)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（），依題意，即解得，（）由（）知，曲線(xiàn)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，設(shè)，則，由0的或，當(dāng)時(shí)，于是在上遞增；當(dāng)時(shí)，于是在上遞減.依題意有.實(shí)數(shù)的取值范圍是.31.已知函數(shù)(a為實(shí)常數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在(1，+)上是增函數(shù)； (2)求函數(shù)在1，e上的最小值及相應(yīng)的值；(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，故函數(shù)在上是增函數(shù)（2），當(dāng)，若，在上非負(fù)（僅當(dāng)，x=1時(shí)，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)。若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，此時(shí)是增函數(shù)故若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時(shí)，），故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)綜上可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的x值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為，相應(yīng)的x值為（3）不等式，可化為, 且等號(hào)不能同時(shí)取，所以，即，因而（），令（），又，當(dāng)時(shí)，從而（僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用例10、（山東卷）已知函數(shù)，其中，為常數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有【解析】：（）解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以（1）當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無(wú)極值綜上所述，時(shí)，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，極小值為當(dāng)時(shí)，無(wú)極值（）證法一：因?yàn)?，所以?dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則（）所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，因此恒成立，所以成立當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要證，由于，所以只需證，令，則（），所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，恒有，即命題成立綜上所述，結(jié)論成立證法二：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)，恒有，故只需證明令，則，當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，即成立故當(dāng)時(shí)，有即（四川）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （1）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值. （2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0, 2)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍. 解析（1）設(shè)P(x, y)，又 x=0時(shí)，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值2。時(shí)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值1. （2）直線(xiàn)x=0不滿(mǎn)足條件，可設(shè)直線(xiàn),由 ,，令，得。又，故cos0， .即，又， k24，即2k0,數(shù)列滿(mǎn)足，若對(duì)成立，試求a的取值范圍。解：（1），又，是公比為的等比數(shù)列，（2），現(xiàn)證：時(shí)，對(duì)成立。(1) n=1時(shí)，成立;(2)假設(shè)n=k(k1)時(shí)，成立，則，即n=k+1時(shí)，也成立，時(shí)，a的取值范圍是。22.正項(xiàng)數(shù)列 （1）求； （2）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使當(dāng)nN