數(shù)學(xué)模型第三章2.doc

3.8 選址模型3.8.1 問題描述設(shè)有m個(gè)村莊 各有小學(xué)生人，現(xiàn)要合建一所小學(xué)校，使全部學(xué)生所走的總路程最短，問應(yīng)如何選擇校址？3.8.2建立模型設(shè)Ai的坐標(biāo)為(xi,yi) ,（i=1,2,3m）校址在 A(x,y)處，那么全部學(xué)生所走的總路程S為：設(shè)ei為方向上的單位向量。若令則 =0 與 =0 等價(jià)于 (3.8.1)可知S 的最小值只能在Ai（i=1,2,3m）（在這些點(diǎn)S不可導(dǎo)）和滿足（3.8.1）的點(diǎn)去找。我們可以證明：若有點(diǎn)A(x,y)滿足(3.8.1)，則S(A)達(dá)最小值。注：(1)（3.8.1）看來很簡單，但實(shí)際上十分難解。一般可考慮在矩形區(qū)域minxixmaxxi，minyiymaxyi上用迭代法求數(shù)值解,即的近似解。3.8.3 三角形的費(fèi)爾馬點(diǎn)AA1A3A2圖3.8.3考慮在選址問題中，當(dāng)m=3，ni =1，i=1，2，3時(shí)的特例要在 所在平面上找一點(diǎn)A，使A到三頂點(diǎn)距離之和最小. (費(fèi)爾馬問題)顯然A點(diǎn)不應(yīng)在之外。（1）當(dāng)?shù)膬?nèi)角都小于120時(shí)，由上述（3.8.1）即得： (3.8.3)對(3.8.3)兩邊分別點(diǎn)乘, 得到下面方程組 (3.8.4)解得：，即AA2A1A3圖3.8.4此時(shí)，滿足（3.8.1）的A點(diǎn)必唯一存在，并稱為費(fèi)爾馬點(diǎn)。S=小于任意兩邊邊長之和，此結(jié)論若應(yīng)用于電纜或管道的鋪設(shè)工作中，則可節(jié)省材料。（2）當(dāng)?shù)淖畲髢?nèi)角120時(shí)可設(shè)想：原來最大內(nèi)角S3S4, 則Ta的總長Tb的總長. A BC S引理：設(shè)點(diǎn)S是ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，則其費(fèi)爾馬距離 .證明：在ABS中用余弦定理得方程視BS為未知數(shù)，解得同理，在ACS中解得從而，費(fèi)爾馬距離.定理：記Ta與Tb總長分別為La與Lb，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.證明：先證明當(dāng)ABCD組成一個(gè)平行四邊形時(shí)定理成立，然后考慮一般情況。由平行四邊形的對稱性易知，對角線AC與BD的交點(diǎn)E必在Ta和Tb上，而且E將Ta和Tb分別平分為兩部分，同樣，E也將分別平分為兩部分，即 La是ABE的費(fèi)爾馬距離的兩倍；Lb是AED的費(fèi)爾馬距離的兩倍；且. 由引理得同理得可以立刻看出. 現(xiàn)在考慮一般情況 如圖15，沿著 ASa和平行移動(dòng) AC至使經(jīng)過的中點(diǎn)，并且沿著和平行移動(dòng)BD至，使也過. 因，故因此，平移后的斯坦納樹總長不變，這就把一般情況化為了平行四邊形上的問題 這在前面已證明了。作業(yè)有兩個(gè)村莊分別位于XOY平面的點(diǎn)A(-2,5)與點(diǎn)B(2,7)處，（單位：km）它們要在河邊（直線