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文檔簡介
高中數(shù)學(xué)必修3知識點(diǎn)(一)- 算法初步1.1.1 算法的概念1、算法概念:在數(shù)學(xué)上,現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2. 算法的特點(diǎn):(1)有限性:一個(gè)算法的步驟序列是有限的,必須在有限操作之后停止,不能是無限的.(2)確定性:算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果,而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.(3)順序性與正確性:算法從初始步驟開始,分為若干明確的步驟,每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步,并且每一步都準(zhǔn)確無誤,才能完成問題.(4)不唯一性:求解某一個(gè)問題的解法不一定是唯一的,對于一個(gè)問題可以有不同的算法.(5)普遍性:很多具體的問題,都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決,如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.1.1.2 程序框圖1、程序框圖基本概念:(一)程序構(gòu)圖的概念:程序框圖又稱流程圖,是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。一個(gè)程序框圖包括以下幾部分:表示相應(yīng)操作的程序框;帶箭頭的流程線;程序框外必要文字說明。(二)構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束,是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息,可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計(jì)算,算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷框判斷某一條件是否成立,成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是”或“Y”;不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。學(xué)習(xí)這部分知識的時(shí)候,要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則,畫程序框圖的規(guī)則如下:1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外,大多數(shù)流程圖符號只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號。4、判斷框分兩大類,一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷,而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果;另一類是多分支判斷,有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。(三)、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。1、順序結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu),語句與語句之間,框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的,它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的,它是任何一個(gè)算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來,按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中,A框和B框是依次執(zhí)行的,只有在執(zhí)行完A框指定的操作后,才能接著執(zhí)AB行B框所指定的操作。2、條件結(jié)構(gòu):條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立,只能執(zhí)行A框或B框之一,不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框,也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。3、循環(huán)結(jié)構(gòu):在一些算法中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開始,按照一定條件,反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況,這就是循環(huán)結(jié)構(gòu),反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體,顯然,循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu),循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類:(1)、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),如下左圖所示,它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí),執(zhí)行A框,A框執(zhí)行完畢后,再判斷條件P是否成立,如果仍然成立,再執(zhí)行A框,如此反復(fù)執(zhí)行A框,直到某一次條件P不成立為止,此時(shí)不再執(zhí)行A框,離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。(2)、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu),如下右圖所示,它的功能是先執(zhí)行,然后判斷給定的條件P是否成立,如果P仍然不成立,則繼續(xù)執(zhí)行A框,直到某一次給定的條件P成立為止,此時(shí)不再執(zhí)行A框,離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。A成立不成立P不成立P成立A 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)注意:1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán),這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此,循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu),但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù),累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的,累加一次,計(jì)數(shù)一次。1.2.1 輸入、輸出語句和賦值語句1、輸入語句圖形計(jì)算器格式INPUT“提示內(nèi)容”;變量INPUT “提示內(nèi)容”,變量(1)輸入語句的一般格式(2)輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能;(3)“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息,變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量;(4)輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù),不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式;(5)提示內(nèi)容與變量之間用分號“;”隔開,若輸入多個(gè)變量,變量與變量之間用逗號“,”隔開。2、輸出語句PRINT“提示內(nèi)容”;表達(dá)式圖形計(jì)算器格式Disp “提示內(nèi)容”,變量(1)輸出語句的一般格式(2)輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能;(3)“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息,表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù);(4)輸出語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。變量表達(dá)式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量3、賦值語句(1)賦值語句的一般格式(2)賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量;(3)賦值語句中的“”稱作賦值號,與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換,它將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量;(4)賦值語句左邊只能是變量名字,而不是表達(dá)式,右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式;(5)對于一個(gè)變量可以多次賦值。注意:賦值號左邊只能是變量名字,而不能是表達(dá)式。如:2=X是錯(cuò)誤的。賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。(如化簡、因式分解、解方程等)賦值號“=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。122條件語句1、條件語句的一般格式有兩種:(1)IFTHENELSE語句;(2)IFTHEN語句。2、IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1,對應(yīng)的程序框圖為圖2。否是滿足條件?語句1語句2IF 條件 THEN語句1ELSE語句2END IF 圖1 圖2分析:在IFTHENELSE語句中,“條件”表示判斷的條件,“語句1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容;“語句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容;END IF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí),首先對IF后的條件進(jìn)行判斷,如果條件符合,則執(zhí)行THEN后面的語句1;若條件不符合,則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IFTHEN語句滿足條件?語句是否(圖4)IFTHEN語句的一般格式為圖3,對應(yīng)的程序框圖為圖4。IF 條件 THEN語句END IF(圖3) 注意:“條件”表示判斷的條件;“語句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容,條件不滿足時(shí),結(jié)束程序;END IF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對IF后的條件進(jìn)行判斷,如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句,若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句,轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。123循環(huán)語句循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu),一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句滿足條件?循環(huán)體否是(1)WHILE語句的一般格式是 對應(yīng)的程序框圖是WHILE 條件循環(huán)體WEND(2)當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時(shí),先判斷條件的真假,如果條件符合,就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體;然后再檢查上述條件,如果條件仍符合,再次執(zhí)行循環(huán)體,這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行,直到某一次條件不符合為止。這時(shí),計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體,直接跳到WEND語句后,接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此,當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語句(1)UNTIL語句的一般格式是 對應(yīng)的程序框圖是滿足條件?循環(huán)體是否DO循環(huán)體LOOP UNTIL 條件(2)直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán),從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析,計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時(shí),先執(zhí)行一次循環(huán)體,然后進(jìn)行條件的判斷,如果條件不滿足,繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體,然后再進(jìn)行條件的判斷,這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行,直到某一次條件滿足時(shí),不再執(zhí)行循環(huán)體,跳到LOOP UNTIL語句后執(zhí)行其他語句,是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。分析:當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別:(先由學(xué)生討論再歸納)(1) 當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行,直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷;在WHILE語句中,是當(dāng)條件滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體,在UNTIL語句中,是當(dāng)條件不滿足時(shí)執(zhí)行循環(huán)例題: (見課本) u v w x y z 顏老師友情提醒:1. 一定要看清題意,看題目讓你干什么,有的只要寫出算法,有的只要求寫出偽代碼,而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。2. 在具體做題時(shí),可能好多的同學(xué)感覺先畫流程圖較為簡單,但也有的算法偽代碼比較好寫,你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來,然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法,后畫流程圖,最后寫偽代碼。3. 書寫程序時(shí)一定要規(guī)范化,使用統(tǒng)一的符號,最好與教材一致,由于是新教材的原因,再加上各種版本,可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書上的書寫格式不一樣,而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒有見過的語言,希望大家能以課本為依據(jù),不要被鋪天蓋地的資料所淹沒!1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法,用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下:(1):用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù);(2):若0,則n為m,n的最大公約數(shù);若0,則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù);(3):若0,則為m,n的最大公約數(shù);若0,則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù); 依次計(jì)算直至0,此時(shí)所得到的即為所求的最大公約數(shù)。2、更相減損術(shù)我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法,就是更相減損術(shù)。在九章算術(shù)中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟:可半者半之,不可半者,副置分母子之?dāng)?shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之。翻譯為:(1):任意給出兩個(gè)正數(shù);判斷它們是否都是偶數(shù)。若是,用2約簡;若不是,執(zhí)行第二步。(2):以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把較小的數(shù)與所得的差比較,并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個(gè)數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).分析:(略) 3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別:(1)都是求最大公約數(shù)的方法,計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主,更相減損術(shù)以減法為主,計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對較少,特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。(2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來看,輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到,而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到1.3.2秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念:f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值問題f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0求多項(xiàng)式的值時(shí),首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項(xiàng)式的值,即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 . vn=vn-1x+a0這樣,把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問題。2、兩種排序方法:直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想:插入排序的思想就是讀一個(gè),排一個(gè)。將第個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第個(gè)元素中,以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較,確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置,將讀入的新數(shù)填入空出的位置中(由于算法簡單,可以舉例說明)2、冒泡排序基本思想:依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù).直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個(gè)數(shù)開始,到最后第2個(gè)數(shù). 由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序. 1.3.3進(jìn)位制1、概念:進(jìn)位制
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