八年級數(shù)學下冊18章勾股定理逆定理課件華東師大版

18 2勾股定理的逆定理 溫故知新 勾股定理 如果直角三角形的兩直角邊為a b 斜邊長為c 那么a2 b2 c2 反過來 如果一個三角形的三邊長a b c滿足a2 b2 c2 那么這個三角形的形狀怎樣 思考 你知道古埃及怎樣畫直角的嗎 如圖所示 他們用13個等距的結把一根繩子分成等長的12段 一個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結 兩個助手分別握住第4個結和第8個結 拉緊繩子 就會得到一個直角三角形 其直角在第4個結處 新知學習 工匠 助手 助手 方法 用剪刀剪出三條長度分別為以下長度的小木棒并擺放成三角形 1 5cm 12cm 13cm 2 9cm 15cm 12cm 3 2 5cm 6cm 6 5cm 1 上面每組中的三條邊有什么關系 2 你得到的是什么三角形 動手 勾股定理的逆命題 勾股定理 互逆命題 互逆命題 兩個命題中 如果第一個命題的題設是第二個命題的結論 而第一個命題的結論又是第二個命題的題設 那么這兩個命題叫做互逆命題 如果把其中一個叫做原命題 那么另一個叫做它的逆命題 互逆定理 如果一個定理的逆命題經過證明是真命題 那么它也是一個定理 這兩個定理叫做互逆定理 其中一個叫做另一個的逆定理 C 900 A B 2 a2 b2 a2 b2 c2 A B 2 c2 A B c 邊長取正值 ABC A B C SSS C C 全等三角形對應角相等 C 900 已知 在 ABC中 AB cBC aCA b且a2 b2 c2 求證 ABC是直角三角形 證明 畫一個 A B C 使 C 900 B C a C A b 在 ABC和 A B C 中 ABC是直角三角形 直角三角形的定義 勾股定理的逆命題 勾股定理的逆命題 勾股定理 互逆命題 逆定理 定理 駛向勝利的彼岸 定理與逆定理 我們已經學習了一些互逆的定理 如 勾股定理及其逆定理 兩直線平行 內錯角相等 內錯角相等 兩直線平行 1 兩條直線平行 內錯角相等 2 如果兩個實數(shù)相等 那么它們的平方相等 3 如果兩個實數(shù)相等 那么它們的絕對值相等 4 全等三角形的對應角相等 說出下列命題的逆命題 這些命題的逆命題成立嗎 逆命題 內錯角相等 兩條直線平行 成立 逆命題 如果兩個實數(shù)的平方相等 那么這兩個實數(shù)相等 不成立 逆命題 如果兩個實數(shù)的絕對值相等 那么這兩個實數(shù)相等 不成立 逆命題 對應角相等的兩個三角形是全等三角形 不成立 感悟 原命題成立時 逆命題有時成立 有時不成立 一個命題是真命題 它逆命題卻不一定是真命題 例1判斷由a b c組成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a 13 b 15 c 14 分析 由勾股定理的逆定理 判斷三角形是不是直角三角形 只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方 解 152 82 225 64 289172 289 152 82 172 這個三角形是直角三角形 下面以a b c為邊長的三角形是不是直角三角形 如果是那么哪一個角是直角 1 a 25b 20c 15 2 a 13b 14c 15 4 a b c 3 4 5 是 是 不是 是 A 900 B 900 C 900 3 a 1b 2c 像25 20 15 能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù) 稱為勾股數(shù) 滿足的三個 稱為勾股數(shù) 正整數(shù) 你能寫出常用的勾股數(shù)嗎 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15 例1 遠航 號 海天 號輪船同時離開港口 各自沿一固定方向航行 遠航 號每小時航行16海里 海天 號每小時航行12海里 它們離開港口一個半小時后相距30海里 如果知道 遠航 號沿東北方向航行 能知道 海天 號沿哪個方向航行嗎 由遠航號沿東北方向航行可知 AON 45 所以 BON 45 即海天號沿西北方向航行 隨堂練習 1 將下列長度的三木棒首尾順次連接 能組成直角三角形的是 A 1 2 3 B 4 6 8 C 5 5 4 D 15 12 9 2 如果線段a b c能組成直角三角形 則它們的比可能是 A 3 4 7 B 5 12 13 C 1 2 4 D 1 3 5 D B 三角形的三邊分別是a b c 且滿足 a b 2 c2 2ab 則此三角形是 A 直角三角形 B 是銳角三角形 是鈍角三角形 D 是等腰直角三角形 A 4 一個零件的形狀如下圖所示 按規(guī)定這個零件中 A和 DBC都應為直角 工人師傅量出了這個零件各邊尺寸 那么這個零件符合要求嗎 此時四邊形ABCD的面積是多少 5 已知a b c為 ABC的三邊 且滿足a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 試判斷 ABC的形狀 6 ABC三邊a b c為邊向外作正方形 正三角形 以三邊為直徑作半圓 若S1 S2 S3成立 則 是直角三角形嗎 A C a b c S1 S2 S3 B A B C a b c S1 S2 S3 活動2 范例講解 例7 判斷由線段a b c組成的三角形是不是直角三角形 1 a 15 b 8 c 17 2 a m2 n2 b m2 n2 c 2mn m n m n是正整數(shù) 解 1 a2 225 b2 64 c2 289又 225 64 289 a2 b2 c2即 三角形是直角三角形 2 a2 m2 n2 2 m4 2m2n2 n4 b2 m2 n2 2 m4 2m2n2 n4 c2 2mn 2 4m2n2又 m4 2m2n2 n4 4m2n2 m4 2m2n2 n4 a2 c2 b2即 三角形是直角三角形 知識運用 8如圖 在正方形ABCD中 E是BC的中點 F是CD上一點 且CF CD 猜想 AEF的形狀 并證明你的結論 解 AEF是直角三角形 理由 設正方形ABCD的邊長是a 則 9 臺風是一種自然災害 它以臺風中心為圓心 在周圍數(shù)十千米的范圍內形成氣旋風暴 有極強的破壞力 如圖所示 據氣象部門報道 距沿海城市A的正南方向220千米B處有一個臺風中心 其中心最大風力12級 每遠離臺風中心20千米 風力會減弱一級 該臺風正以15km h的速度沿北偏東30 方向往C處移動 且臺風中心風力不變 若城市所受風力達到或超過四級 則稱受到臺風影響 1 該城市是否會受到此次臺風的影響 請說明理由 2 若受到影響 那么臺風影響該城市的持續(xù)時間為多長 3 該城市受到臺風影響的最大風力為幾級 思考題 10 已知a b c為 ABC的三邊 且滿足a2c2 b2c2 a4 b4 試判斷 ABC的形狀 解 a2c2 b2c2 a4 b4 1 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 2 c2 a2 b2 3 ABC是直角三角形問 1 上述解題過程 從哪一步開始出現(xiàn)錯誤 請寫出該步的代號 2 錯誤原因是 3 本題正確的結論是 3 a2 b2可能是0 直角三角形或等腰三角形 11 如圖 在 ABC中 AB 13 BC 10 BC邊上的中線AD 12 求證 AB AC 證明 AD是BC邊上的中線 BD CD 1 2BC 5 在 ABD中 AB 13 BD 5 AD 12 BD2 AD2 52 122 169 AB2 ABD是直角三角形 ACD也是直角三角形 根據勾股定理得到 AB AC 13 勾股小常識 1 a b c 滿足 a b c 1則a b c 為基本勾數(shù)如 3 4 5 5 12 13 7 24 25 2 如果a b c是一組勾股數(shù) 則ka kb kc k為正整數(shù) 也是一組勾股數(shù) 如 6 8 10 9 12 15 3