三角形的內(nèi)角和定理.doc

三角形的內(nèi)角和定理（一）泰寧縣第二中學(xué) 元功平設(shè)計(jì)理念教學(xué)過程是師生交往、積極互動、共同發(fā)展的過程。它需要運(yùn)用“對話式”的學(xué)習(xí)方式，采取多種教學(xué)策略，使學(xué)生在合作、探索、交流中發(fā)展能力，實(shí)現(xiàn)教者與學(xué)者感情上的融洽和情感上的共鳴；給學(xué)生體驗(yàn)成功的機(jī)會。.教師可以根據(jù)學(xué)生的提問或者活動中可能出現(xiàn)的某些情況，提供示范、建議和指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生大膽闡述并討論他們的觀點(diǎn)，讓學(xué)生說明他們所獲得的結(jié)論的有效性，并對結(jié)論進(jìn)行評價(jià)。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)學(xué)生親自參與,豐富、生動的思維活動,經(jīng)歷實(shí)踐和創(chuàng)新的過程。教學(xué)內(nèi)容義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（北師大版）八年級下第207-211頁教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能 ：掌握三角形內(nèi)角和定理的證明。初步體會添加輔助線證題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證的能力2.過程與方法 ：經(jīng)歷探索三角形內(nèi)角和定理的過程，初步體會思維的多樣性，給學(xué)生滲透化歸的數(shù)學(xué)思想。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過師生的共同活動，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)的積極主動性。使學(xué)生主動探索，敢于實(shí)驗(yàn)，勇于發(fā)現(xiàn)，合作交流。學(xué)情與教材分析1.“三角形內(nèi)角和定理的證明”是八年級下初中數(shù)學(xué)教材繼“相交線與平行線”之后的一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容，應(yīng)用這個(gè)定理可以得出三角形外角和，以及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，多邊形內(nèi)角和。也是學(xué)習(xí)“解直角三角形”的基礎(chǔ)。因此本節(jié)課的內(nèi)容在教材的編排順序上起著承上啟下的作用。根據(jù)新的課程標(biāo)準(zhǔn)，將三角形的內(nèi)角和定理證明作為重點(diǎn)，教學(xué)難點(diǎn)是在三角形內(nèi)角和定理的證明過程中如何添加輔助線，同時(shí)將自主探索、動手操作、協(xié)作交流意識的培養(yǎng)作為重點(diǎn)。 在教學(xué)過程中循序漸進(jìn)的設(shè)計(jì)“猜想”、“討論”、“驗(yàn)證”、“應(yīng)用”等環(huán)節(jié)以突破難點(diǎn)。2學(xué)生分析：八年級的學(xué)生，已具備一定的自主學(xué)習(xí)和協(xié)作交流能力，班級中學(xué)生相互評價(jià)、相互提問、信息互享的互動氛圍較濃；在學(xué)習(xí)了相交線與平行線的基礎(chǔ)上，本節(jié)課的學(xué)習(xí)便是知識的延續(xù)和創(chuàng)新，學(xué)生會積極主動的投入實(shí)驗(yàn)、討論、交流、建構(gòu)。教學(xué)準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備多媒體演示兩幅,學(xué)生每人準(zhǔn)備一個(gè)硬紙片三角板。教學(xué)過程一、引入新課師同學(xué)們，我們做這樣的實(shí)驗(yàn)：將三角形紙片的三個(gè)角剪下，隨意將它們拼湊在一起，恰好得到一個(gè)什么角?生平角。從而大家得出三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180。讓學(xué)生自己動手探究,體會數(shù)學(xué)研究的樂趣.師現(xiàn)在，我們來看兩個(gè)電腦的動畫演示，驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是不是正確的。1.動畫演示一師先將ABC中的A通過平移和旋轉(zhuǎn)到如上圖所示的位置，再將圖中的B通過平移到上圖所示的位置。拖動點(diǎn)A，改變ABC的形狀，三角形的三個(gè)內(nèi)角和總等于1802.動畫演示二 師先將三角形紙片(圖(1)一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與對邊平行(圖(2)，然后把另外兩角相向?qū)φ?，使其頂點(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相重合(圖(3) (4)。)師由電腦的動畫演示可知：A、B、C拼成的角總是一個(gè)平角，由此得到三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180。讓學(xué)生直觀感受,調(diào)動其研究興趣我們通過觀察與實(shí)驗(yàn)的方法猜想得到的結(jié)論不一定正確可靠，要判定一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否，需要進(jìn)行有根有據(jù)的推理、證明。這就是我們這節(jié)課所要研究的內(nèi)容。二、定理證明師接下來我們來證明這個(gè)命題：三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180。這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)需要先做什么呢?生需要先畫出圖形、根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證。有本章前面幾節(jié)作為基礎(chǔ)，學(xué)生有能力畫圖，寫已知，求證。師很好!怎樣證明呢? 聯(lián)想前面撕角拼角的方法，學(xué)生能想到。 讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，把新知識化為舊知識。生添加輔助線，延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CEAB，A=ACE，B=ECD，進(jìn)而將三個(gè)內(nèi)角拼成平角。通過以上分析、研究，讓學(xué)生講解依據(jù)：根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用同位角,內(nèi)錯(cuò)角把三角形三內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角。使學(xué)生親身參與數(shù)學(xué)研究的過程，并在過程中體會數(shù)學(xué)研究的樂趣。 實(shí)驗(yàn)法 已知：ABC 求證：A+B+C=180證明：延長BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CEABCEABA=ACE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)B=ECD(兩直線平行，同位角相等)ACE+ECD+BCA=180A+B+BCA=180(等量代換) 教師引導(dǎo)，要把三角形三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。 上面我們證明了三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180，這個(gè)結(jié)論是正確的，我們稱它為三角形內(nèi)角和定理。證明思路是將三角形的三個(gè)角集中到點(diǎn)C處，拼成一個(gè)平角。根據(jù)這個(gè)思路，你們有沒有其它的證法呢? 教師給出規(guī)范的證明過程的板書，可以起到示范的作用。也在向?qū)W生強(qiáng)調(diào)要重視數(shù)學(xué)的基本功。三、探究討論四個(gè)學(xué)生為一組，探索三角形內(nèi)角和定理的其它證法分析、證明方法。師給同學(xué)們一些時(shí)間，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上合作交流積極探索，看哪個(gè)組的思路廣，證法多。大家比一比，好嗎?生(齊聲)好! 學(xué)生自主探索，教師巡視、診斷，給學(xué)生足夠的時(shí)間師同學(xué)們探索好了嗎?生(齊聲)好了，我們有很多證法。師現(xiàn)在，各組派一名代表說明證明的思路。學(xué)生自己得出的猜想和證明會更讓他們樂于接受，而方法也在此過程中滲透給了學(xué)生。1.生1過點(diǎn)A作直線PQBC，使三個(gè)角湊到“A”處。通過分析、研究，讓不同做法的學(xué)生講解依據(jù)。根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用內(nèi)錯(cuò)角，把三角形三內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角。證明：過點(diǎn)A作直線PQBCPQBCB=PAB(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)C=QAC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)PAB+QAC+BAC=180B+C+BAC=180(等量代換)2.生2在ABC的一邊BC上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D點(diǎn)作其它兩邊的平行線，把三個(gè)內(nèi)角拼成以D為頂點(diǎn)的平角。證明：在BC上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEAB，DFACB=EDC(兩直線平行，同位角相等)C=FDB(兩直線平行，同位角相等)A=FDE(平行四邊形的對角相等)BDF+FDE+EDC=180A+B+C=180(等量代換)師很好!這三位同學(xué)是將ABC的三個(gè)角集中到一個(gè)頂點(diǎn)處或一條邊上的任意一點(diǎn)上。其實(shí)，通過添加輔助線，是否可以將ABC的三個(gè)角集中到三角形內(nèi)部或外部的任意一點(diǎn)上拼成一個(gè)平角。3.試一試證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，可以把三角形的三個(gè)角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P,（如圖647（1），如果把這三個(gè)角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)呢？（如圖647（2）“湊”到三角形外一點(diǎn)呢？（如圖647（3），你還能想出其他證法嗎？教師對學(xué)生猜想適當(dāng)點(diǎn)撥，作為課外研究課題，可以調(diào)動學(xué)生的研究興趣。并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路。師同學(xué)們，你們由180還可以聯(lián)想到什么?生3一對鄰補(bǔ)角之和等于180。生4兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。師好!從這兩個(gè)角度去思考，能想到其他的證明方法嗎?4.生5過點(diǎn)A作ADBC，有C=2，將三個(gè)內(nèi)角拼成一對同旁內(nèi)角。證明：過點(diǎn)A作射線AQBCC=QAC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)QAC+BAC+B=180(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))BAC+B+C=180(等量代換)5.生6分別過ABC各頂點(diǎn)，任作一組平行線abc，將三個(gè)內(nèi)角拼成平行的一對同旁內(nèi)角。請一位同學(xué)上臺講述證明過程師同學(xué)們討論得真棒。我們由180聯(lián)想到一平角等于180，一對鄰補(bǔ)角之和等于180，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。由此，大家提供了這么多的的證明方法，說明你們能學(xué)以致用。接下來，我們做練習(xí)以鞏固三角形內(nèi)角和定理。 根據(jù)以上幾種輔助線的作法，選擇一種,師生合作，寫出示范性證明過程。其余由學(xué)生自主完成證明過程。目的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和推理能力。進(jìn)一步搞清作輔助線的思路和合乎邏輯的分析方法，充分讓學(xué)生表述自己的觀點(diǎn)，這個(gè)過程對培養(yǎng)學(xué)生的能力極為重要，依據(jù)不充分時(shí)，學(xué)生可爭論，師生共同小結(jié)。6.討論:用橡皮筋構(gòu)成ABC，其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動點(diǎn)（如圖637），放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動收縮于BC上，請同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時(shí)所形成的一系列的三角形：A1BC、A2BC、A3BC其內(nèi)角會產(chǎn)生怎樣的變化呢？生甲當(dāng)點(diǎn)A離BC越來越近時(shí),A越來越接近180,而其他兩角越來越接近于 0.生乙三角形各內(nèi)角的大小在變化過程中是相互影響的.師很好.在三角形中，最大的內(nèi)角有沒有等于或大于180的？生丙三角形的最大內(nèi)角不會大于或等于180.師很好.看實(shí)驗(yàn)：當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時(shí)，A越來越趨近于0,而AB與AC逐漸趨向平行，這時(shí)，B、C逐漸接近為互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.即B+C180.請同學(xué)們猜一猜：三角形的內(nèi)角和可能是多少？生齊聲180通過圖形變換，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、解決問題的能力。四、例題講解例：ABC中，C=ABC=2A，BD是AC邊上的高，如圖，求DBC的度數(shù)。ABCD學(xué)生自主探索，教師巡視、診斷，讓學(xué)生上臺板演，學(xué)生辨析，教師小結(jié)。使學(xué)生靈活應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理。用代數(shù)方法解決幾何問題（方程思想）是重要的方法。五、練一練1.填空。在ABC中，A=60，B=50，則C=（ ）C=90，則A+B=（ ）A=50，B=C，則C=（ ）小組測評、互改、對其中出現(xiàn)的問題，教師有針對性地講解。2.已知：如圖,在ABC中，DEBC，A=60，C=70求證：ADE=50證明：DEBC（已知）AED=C（兩直線平行，同位角相等）C=70（已知）AED=70（等量代換）A+AED+ADE=180（三角形的內(nèi)角和定理）ADE=180AAED（等式的性質(zhì)）A=60（已知）ADE=1806070=50（等量代換） 進(jìn)一步使學(xué)生靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理小組討論寫法，由四名學(xué)生代表本組上臺板演，進(jìn)行對比，學(xué)生討論,教師點(diǎn)評。3.如果ABC是正三角形,求A4.在ABC中，若A+B=2C，求C3、4兩題作為課堂小測，小組內(nèi)部互改，點(diǎn)評訂正。六、師生共同小結(jié)1.三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180 2.三角形內(nèi)角和定理的證明方法不止一種，視角不同，想法不同，證明的方法也不同，也可以說是一題多解。為了證明的需要，常常添作輔助線。過一點(diǎn)作某條直線的平行線是常用輔助線。此類輔助線的用途是：利用平行線的性質(zhì)造成角的遷移、相等，設(shè)法將三個(gè)角合并成一個(gè)平角或者形成兩條平行線間的同旁內(nèi)角。3.在解題的過程中，我們往往不是對問題正面直接攻破而是把問題進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，直到把它化為某個(gè)熟悉的或已經(jīng)解決了的問題，這種解決問題的思想方法就是化歸的思想方法。我們證明了一個(gè)很有用的三角形內(nèi)角和定理，證明思想是，運(yùn)用輔助線將原三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，拼成一個(gè)平角。輔助線是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁，今后我們還要學(xué)習(xí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和概括，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。七、課外作業(yè)1.習(xí)題6.6 P210：1、2、3 2.復(fù)習(xí)本章內(nèi)容。板書設(shè)計(jì)1.三角形內(nèi)角和定理。2.三角形內(nèi)角和定理的幾種證明方法。3.例析4.課堂練習(xí)5.師生共同小結(jié)6.作業(yè)布置 教學(xué)反思本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)經(jīng)過實(shí)際的教學(xué)檢驗(yàn)，成功之處有：創(chuàng)設(shè)問題情境好，兩個(gè)電腦動畫的演示吸引了學(xué)生，激起了他們的求知欲望；教師教學(xué)民主，使學(xué)生敢于發(fā)表自己的不同想法；教學(xué)效果好。教學(xué)設(shè)計(jì)的不足之處：學(xué)生提供的三角形內(nèi)角和定理的證明方法很多超出教師的考慮范圍，學(xué)生還有一些證明方法，由于時(shí)間所限，無法在課內(nèi)展示。教師的體會：我感覺本套教材對幾何內(nèi)容的擇取更加以人為本，更貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)，處理手法上更新穎，給老師和學(xué)生更大的活動空間，增進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，激發(fā)了他們的創(chuàng)造力。本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生提供的三角形內(nèi)角和定理的證明方法多種多樣，雖然有一些不足之處，但都是他們自己探索得到的。有一些方法，超出我們的預(yù)料，帶給我們無數(shù)的驚喜，我們感嘆孩子們的創(chuàng)造力和想象力，這就是新課程帶給我們的收獲。設(shè)計(jì)思路1.提出疑問：前面的課程學(xué)習(xí)了三角形三條邊的關(guān)系，那么三角形的三個(gè)內(nèi)角又存在怎樣的關(guān)系呢？2.動手實(shí)踐：引導(dǎo)學(xué)生做剪紙實(shí)驗(yàn)，并帶領(lǐng)學(xué)生一起撕下三角形的任意兩個(gè)角，拼在第三個(gè)角的頂點(diǎn)處。觀察拼接結(jié)果，發(fā)現(xiàn)三個(gè)角拼在一起剛好是一個(gè)平角。 3.得出猜想：三角形的內(nèi)角和為180。4.教師用多媒體動畫展示三角形內(nèi)角和為180的過程。5.教師指出：任何實(shí)驗(yàn)都會有誤差，即使全班同學(xué)都各自拼接了不同形狀的三角形，但也不能就此說明所有的三角形都具有這一共性。啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的幾何知識去證明這一結(jié)論。6.證明猜想，得出定理、 分析命題:讓學(xué)生結(jié)合圖形說出已知和求證。已知：ABC 求證：A+B+C=180 教師重點(diǎn)分析證明思路，啟發(fā)學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)過程添加輔助線，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，尋求證明方法。 學(xué)生分組討論何處能提供180的結(jié)論？如何將三個(gè)角相加？如何利用平行線的性質(zhì)構(gòu)造同位角、內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，將角的大小不變，而位置改變，從而將三角形的三個(gè)內(nèi)角集中。各小組展示探究結(jié)果，歸納出以下幾種證法： 方法過點(diǎn)C點(diǎn)，作CEBA，方法過A點(diǎn)，作PQBC，