高考數學大一輪復習第六章數列6.3等比數列及其前n項和課件文新人教A版.ppt

6 3等比數列及其前n項和 2 知識梳理 雙基自測 2 1 自測點評 1 等比數列 1 等比數列的定義一般地 如果一個數列從第項起 每一項與它的前一項的比等于 那么這個數列叫做等比數列 這個常數叫做等比數列的 公比通常用字母表示 數學 2 同一個常數 公比 q q 0 3 知識梳理 雙基自測 2 1 自測點評 2 等比中項如果a G b成等比數列 那么G叫做a與b的等比中項 即 G是a與b的等比中項 a G b成等比數列 3 等比數列的通項公式an 可推廣為an 4 等比數列的前n項和公式 G2 ab a1qn 1 amqn m 4 知識梳理 雙基自測 自測點評 2 1 2 等比數列及其前n項和的性質 1 若k l m n k l m n N 則ak al 若m n 2k 則 2 相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列 即ak ak m ak 2m 仍是等比數列 公比為 3 若 an bn 項數相同 是等比數列 則 am an qm 5 知識梳理 雙基自測 自測點評 2 1 當q 0時 an 為擺動數列 5 當q 1或q 1 且n為奇數時 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數列 其公比為 遞增 遞減 常 qn 2 6 知識梳理 雙基自測 3 4 1 5 自測點評 1 下列結論正確的打 錯誤的打 1 滿足an 1 qan n N q為常數 的數列 an 為等比數列 2 G為a b的等比中項 G2 ab 3 等比數列中不存在數值為0的項 4 若 an 為等比數列 bn a2n 1 a2n 則數列 bn 也是等比數列 5 若數列 an 為等比數列 則數列 lnan 是等差數列 6 若數列 an 的通項公式是an an 則其前n項和為 答案 7 知識梳理 雙基自測 自測點評 2 3 4 1 5 2 2016山東濰坊通考 中國古代數學著作 算法統宗 中有這樣一個問題 三百七十八里關 初行健步不為難 次日腳痛減一半 六朝才得到其關 要見次日行里數 請公仔細算相還 其大意為 有一個人走了378里路 第一天健步行走 從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半 走了6天后到達目的地 問此人第4天和第5天共走了 A 60里B 48里C 36里D 24里 答案 8 知識梳理 雙基自測 自測點評 2 3 4 1 5 3 2016河南鄭州二模 已知 an 為等差數列 公差為1 且a5是a3與a11的等比中項 Sn是 an 的前n項和 則S12的值為 A 21B 42C 63D 54 答案 9 知識梳理 雙基自測 自測點評 2 3 4 1 5 4 在數列 an 中 a1 2 an 1 2an Sn為 an 的前n項和 若Sn 126 則n 答案 10 知識梳理 雙基自測 自測點評 2 3 4 1 5 5 在等比數列 an 中 已知a5 a1 15 a4 a2 6 若公比q 1 則a3 答案 解析 11 知識梳理 雙基自測 自測點評 1 等差數列的首項和公差可以為零 且等差中項唯一 而等比數列的首項和公比均不為零 等比中項可以有兩個值 2 在等比數列中 由an 1 qan q 0 并不能立即判斷 an 為等比數列 還要驗證a1 0 若am an ap aq 則m n p q不一定成立 因為常數列也是等比數列 但若m n p q 則有3 在運用等比數列的前n項和公式時 如果不能確定q與1的關系 必須分q 1和q 1兩種情況討論 12 考點1 考點2 考點3 考點4 例1 1 設 an 是由正數組成的等比數列 Sn為其前n項和 已知a2a4 1 S3 7 則S5等于 2 2016銀川一中一模 在等比數列 an 中 若a1 a4 3 則該數列前五項的積為 A 3B 3C 1D 1 3 在等比數列 an 中 a2 a5 18 a3 a6 9 an 1 則n 思考解決等比數列基本運算問題的常見思想方法有哪些 答案 13 考點1 考點2 考點3 考點4 14 考點1 考點2 考點3 考點4 3 a3 a6 q a2 a5 q a2 a5 18 a1q a1q4 18 a1 32 an a1qn 1 1 解得n 6 15 考點1 考點2 考點3 考點4 解題心得解決等比數列有關問題的常見思想方法 1 方程的思想 等比數列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 求關鍵量a1和q 問題可迎刃而解 2 分類討論的思想 因為等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論 所以當某一參數為公比進行求和時 就要對參數是否為1進行分類求和 3 整體思想 應用等比數列前n項和公式時 常把qn或當成整體進行求解 16 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓練1 1 2016陜西漢中市質檢二 已知 an 為等比數列 a1 3 且4a1 2a2 a3成等差數列 則a3 a5等于 A 189B 72C 60D 33 2 已知 an 是等差數列 公差d不為零 前n項和是Sn 若a3 a4 a8成等比數列 則 A a1d 0 dS4 0B a1d0 dS40 答案 17 考點1 考點2 考點3 考點4 解析 1 4a1 2a2 a3成等差數列 4a2 4a1 a3 即4a1q 4a1 a1q2 q2 4q 4 0 q 2 a3 a5 a1 q2 q4 3 4 16 60 2 設 an 的首項為a1 公差為d 則a3 a1 2d a4 a1 3d a8 a1 7d a3 a4 a8成等比數列 a1 3d 2 a1 2d a1 7d 即3a1d 5d2 0 18 考點1 考點2 考點3 考點4 例2已知數列 an 的前n項和Sn 1 an 其中 0 1 證明 an 是等比數列 并求其通項公式 思考判斷或證明一個數列是等比數列有哪些方法 19 考點1 考點2 考點3 考點4 20 考點1 考點2 考點3 考點4 解題心得1 證明數列 an 是等比數列常用的方法 2 等比中項法 證明 an 1 an 1 3 通項公式法 若數列通項公式可寫成an c qn 1 c q均是不為0的常數 n N 則 an 是等比數列 2 若判斷一個數列不是等比數列 則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數列即可 21 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓練2在數列 an 中 Sn為數列 an 的前n項和 且Sn 1 kan k 0 且k 1 1 求an 22 考點1 考點2 考點3 考點4 23 考點1 考點2 考點3 考點4 考向一等比數列項的性質的應用例3 1 2016山西晉城高三期末 在由正數組成的等比數列 an 中 若a3a4a5 3 則sin log3a1 log3a2 log3a7 的值為 2 在正項等比數列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 則n 思考經常用等比數列的哪些性質簡化解題過程 答案 24 考點1 考點2 考點3 考點4 25 考點1 考點2 考點3 考點4 考向二等比數列前n項和的性質的應用例4設等比數列 an 的前n項和為Sn 若S2 3 S4 15 則S6 A 31B 32C 63D 64思考本題應用什么性質求解比較簡便 答案 解析 26 考點1 考點2 考點3 考點4 解題心得1 在解答等比數列的有關問題時 為簡化解題過程常常利用等比數列項的如下性質 1 通項公式的推廣 an amqn m 2 等比中項的推廣與變形 am an m n 2p 及ak al am an k l m n 2 對已知條件為等比數列的前幾項和 求其前多少項和的問題 應用公比不為 1的等比數列前n項和的性質 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數列比較簡便 27 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓練3 1 2016安徽 江南十校 聯考 已知在各項均為正數的等比數列 an 中 a5 a6 4 則數列 log2an 的前10項和為 A 5B 6C 10D 12 2 已知等比數列 an 的首項a1 1 其前n項和為Sn 若 則公比q 答案 解析 28 考點1 考點2 考點3 考點4 例5 2016天津 文18 已知 an 是等比數列 前n項和為Sn n N 且 1 求 an 的通項公式 2 若對任意的n N bn是log2an和log2an 1的等差中項 求數列 1 的前2n項和 思考解決等差數列 等比數列的綜合問題的基本思路是怎樣的 29 考點1 考點2 考點3 考點4 30 考點1 考點2 考點3 考點4 解題心得等差數列和等比數列的綜合問題 涉及的知識面很寬 題目的變化也很多 但是萬變不離其宗 只要抓住基本量a1 d q 充分運用方程 函數 轉化等數學思想方法 合理調用相關知識 就不難解決這類問題 31 考點1 考點2 考點3 考點4 對點訓練4已知等差數列 an 滿足 a1 2 且a1 a2 a5成等比數列 1 求數列 an 的通項公式 2 記Sn為數列 an 的前n項和 是否存在正整數n 使得Sn 60n 800 若存在 求n的最小值 若不存在 說明理由 解 1 設數列 an 的公差為d 依題意 2 2 d 2 4d成等比數列 故有 2 d 2 2 2 4d 化簡得d2 4d 0 解得d 0或d 4 當d 0時 an 2 當d 4時 an 2 n 1 4 4n 2 從而得數列 an 的通項公式為an 2或an 4n 2 32 考點1 考點2 考點3 考點4 2 當an 2時 Sn 2n 顯然2n60n 800成立 當an 4n 2時 即n2 30n 400 0 解得n 40或n60n 800成立 n的最小值為41 綜上 當an 2時 不存在滿足題意的n 當an 4n 2時 存在滿足題意的n 其最小值為41 33 考點1 考點2 考點3 考點4 1 等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題 數列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 便可迎刃而解 2 判定等比數列的方法 1 定義法 q是不為零的常數 n N an 是等比數列 2 通項公式法 an cqn 1 c q均是不為零的常數 n N an 是等比數列 3 等比中項法 an an 2 an an 1 an 2 0 n N an 是等比數列 34 考點1 考點2 考點3 考點4 3 求解等比數列問題常用的數學思想 1 方程思想 如求等比數列中的基本量 2 分類討論思想 如求和時要分q 1和q 1兩種情況討論 判斷單調性時對a1與q分類討論 1 在等比數列中 易忽視每一項與公比都不為0 2 求等比數列的前n項和時 易忽略q 1這一特殊情形 35 審題答題指導 如何理解條件和轉化條件典例在等差數列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 1 求數列 an 的通項公式 2 對任意m N 將數列 an 中落入區(qū)間 9m 92m 內的個數記為bm 求數列 bm 的前m項和Sm 審題要點 1 題干中已知條件有三個 數列 an 是等差數列 和兩個等式 2 第 2 問中所含條件可理解為 數列 an 的各項在所給區(qū)間的項數為bm 3 第 2 問中條件的轉化方法 文字