北京市順義區(qū)2016屆高三(上)期末數(shù)學試卷(文)含答案解析

第 1 頁（共 16 頁） 2015年北京市順義區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷（文科） 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 出符合題目要求的一項 . 1已知集合 A=x|2x+1 0， B=x| 1 x 0，那么 AB=（ ） A B x|x 0 C D 2下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ） A y=x y=x y=ln|x| D y=2x 1 3某學校共有師生 4000 人現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為 200 的樣本，調查師生對學校食堂就餐問題的建議已知從學生中抽取的人數(shù)為 190 人，那么該校的教師人數(shù)為（ ） A 100 人 B 150 人 C 200 人 D 250 人 4若 x， y 滿足約束條件 ，則 z= 2x+y 的最大值為（ ） A 1 B C 2 D 3 5已知某三棱錐的三視圖尺寸（單位 圖，則這個三棱錐的體積是（ ） A B C D 6對于非零向量 ， “ ”是 “ ”成立的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件 7如圖程序框圖中，當 nN*（ n 1）時，函數(shù) x）表示函數(shù) 1（ x）的導函數(shù)，即 x） =fn 1（ x）若輸入函數(shù) x） =輸出的函數(shù) x）為（ ） 第 2 頁（共 16 頁） A B C D 8設函數(shù) f（ x） =|2x 1|， c b a，且 f（ c） f（ a） f（ b），則 2a+2c 與2 的大小關系是（ ） A 2a+2c 2 B 2a+2c2 C 2a+2c2 D 2a+2c 2 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 9若（ 1+i） i= 1+xR），則 x= 10 三個數(shù)中最大的數(shù)是 11已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ 2） +f（ 2） = 12在 ，若 ，那么 13過橢圓 的焦點垂直于 x 軸的弦長為 a則雙曲線的離心率為 14某輛汽車購買時的費用是 10 萬元，每年使用的保險費、高速公路費、汽油費等約為 2 萬元，年維修保養(yǎng)費用第一年 元，以后逐年遞增 元設這輛汽車使用 n（ nN*）年的年平均費用為 f（ n） . 則 f（ n）與 n 的函數(shù)關系式 f（ n） = ；這輛汽車報廢的最佳年限約為 年 三、解答題共 6 小題，共 80 分 算步驟或證明過程 . 15已知函數(shù) 第 3 頁（共 16 頁） （ ）求 的值； （ ）求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 上的最大值和最小值 16已知數(shù)列 足 ， 1=3（ nN*） （ 1）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 通項公式 前 n 項和 17某中學一名高三數(shù)學教師，對其所教的文科班 50 名同學的一次數(shù)學成績進行了統(tǒng)計，全年級文科數(shù)學平均分是 100 分，這個班數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖：（總分 150 分） （ ） 試估算這個班的數(shù)學平均分是否超過年級文科數(shù)學平均分？ （ ）從這個班中任取 1 人，其數(shù)學成績達到或超過年級文科平均分的概率是多少？ 18如圖 平面 矩形， B=1， ，點 F 是 中點，點 E 是 上的任意一點 （ ）求三棱錐 E 體積； （ ）當 E 是 中點時，試判斷 平面 位置關系，并說明理由； （ ）證明： 19已知橢圓 E： （ a b 0）的一個頂點 ，離心率 （ ）求橢圓 E 的方程； （ ）設動直線 l： y=kx+m 與橢圓 E 相切于點 P，且與直線 x=4 相交于點 Q求證：以 直徑的圓過定點 N（ 1， 0） 20已知函數(shù) f（ x） = （ ）若 m=2，求曲線 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ ）求函數(shù) f（ x）在 1， e上的最大值； （ ） 若 f（ x） +m0 在 x（ 0， +）上恒成立，求實數(shù) m 的值 第 4 頁（共 16 頁） 2015年北京市順義區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 出符合題目要求的一項 . 1已知集合 A=x|2x+1 0， B=x| 1 x 0，那么 AB=（ ） A B x|x 0 C D 【考點】 交集及其運算 【分析】 根據集合的基本運算進行求解即可 【解答】 解： A=x|2x+1 0=x|x ， B=x| 1 x 0， AB=x| 1 x ， 故選： A 2下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ） A y=x y=x y=ln|x| D y=2x 1 【考點】 函數(shù)奇偶性的判斷 【分析】 根據奇函數(shù)、 偶函數(shù)的定義及奇函數(shù)圖象的對稱性即可判斷每個選項的函數(shù)的奇偶性，從而找出正確選項 【解答】 解： A定義域為 R，且 x） = 該函數(shù)為偶函數(shù)； B定義域為 R，且 x） = 該函數(shù)為奇函數(shù)； C定義域為 x|x0，且 x|=ln|x|； 該函數(shù)為偶函數(shù)； D y=2x 1 的圖象不關于原點對稱，不是奇函數(shù) 故選： B 3某學校共有師生 4000 人現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為 200 的樣本，調查師生對學校食堂就餐問題的建議 已知從學生中抽取的人數(shù)為 190 人，那么該校的教師人數(shù)為（ ） A 100 人 B 150 人 C 200 人 D 250 人 【考點】 分層抽樣方法 【分析】 利用分層抽樣方法求解 【解答】 解：設教師人數(shù)為 x 人， 由題意知： = ， 解得 x=200 第 5 頁（共 16 頁） 故選： C 4若 x， y 滿足約束條件 ，則 z= 2x+y 的最大值為（ ） A 1 B C 2 D 3 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點的坐標，結合圖象求出 z 的最大值即可 【解答】 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示： ， 由 ，解得 A（ 1， 0）， 由 z= 2x+y 得： y=2x+z， 顯然直線過 A（ 1， 0）時， z 最大， z 的最大值是 2， 故選： C 5已知某三棱錐的三視圖尺寸（單位 圖，則這 個三棱錐的體積是（ ） A B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 第 6 頁（共 16 頁） 【分析】 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，代入棱錐體積公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以俯視 圖為底面的三棱錐， 其底面面積 S= 22=2 高 h=2 故幾何體的體積 V= 故選： B 6對于非零向量 ， “ ”是 “ ”成立的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 利用向量共線定理、簡易邏輯的判定方法即可得出 【解答】 解：對于非零向量 ，由 “ ” “ ”； 反之不成立，可能 ， 因此 “ ”是 “ ”的充分不必要條件 故選： A 7如圖程序框圖中，當 nN*（ n 1）時，函數(shù) x）表示函數(shù) 1（ x）的導函數(shù)，即 x） =fn 1（ x）若輸入函數(shù) x） =輸出的函數(shù) x）為（ ） A B C D 【考點】 程序框圖；三角函數(shù)中的恒等變換應用 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出函數(shù) x），模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 第 7 頁（共 16 頁） 【解答】 解： 函數(shù) x） =x） =fn 1（ x） 第 1 次執(zhí)行循環(huán)體后， x） = n=3，不滿足退出循環(huán)的條件； 第 2 次執(zhí)行循環(huán)體后， x） = n=4，不滿足退出循環(huán)的條件； 第 3 次執(zhí)行循環(huán)體后， x） =n=5，不滿足退出循環(huán)的條件； 第 4 次執(zhí)行循環(huán)體后， x） =n=6，不滿足退出循環(huán)的條件； 第 5 次執(zhí)行循環(huán) 體后， x） = n=7，不滿足退出循環(huán)的條件； 第 2014 次執(zhí)行循環(huán)體后， x） = n=2016，不滿足退出循環(huán)的條件； 第 2015 次執(zhí)行循環(huán)體后， x） =n=2017，不滿足退出循環(huán)的條件； 故輸出的函數(shù)為： x） =， 故選： C 8設函數(shù) f（ x） =|2x 1|， c b a，且 f（ c） f（ a） f（ b），則 2a+2c 與2 的大小關 系是（ ） A 2a+2c 2 B 2a+2c2 C 2a+2c2 D 2a+2c 2 【考點】 指數(shù)函數(shù)的圖象變換 【分析】 運用分段函數(shù)的形式寫出 f（ x）的解析式，作出 f（ x） =|2x 1|的圖象，由題意可得 c 0， a 0， 2c 1 且 2a 1，且 f（ c） f（ a） 0，去掉絕對值，化簡即可得到結論 【解答】 解： f（ x） =|2x 1|= ， 作出 f（ x） =|2x 1|的圖象如圖所示， 由圖可知，要使 c b a 且 f（ c） f（ a） f（ b）成立， 則有 c 0 且 a 0， 故必有 2c 1 且 2a 1， 又 f（ c） f（ a） 0，即為 1 2c（ 2a 1） 0， 2a+2c 2 故選： D 二、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 9若（ 1+i） i= 1+xR），則 x= 1 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡左邊，再由復數(shù)相等的條件得答案 第 8 頁（共 16 頁） 【解答】 解：由（ 1+i） i= 1+ 1+i= 1+ x=1 故答案為： 1 10 三個數(shù)中最大的數(shù)是 【考點】 對數(shù)值大小的比較 【分析】 利用對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質比較三個數(shù)與 0 或 1 的大小得答案 【解答】 解： 3 2 30=1， ， ， 三個數(shù)中最大的數(shù)是 故答案為： 11已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ 2） +f（ 2） = 4 【考點】 函數(shù)的值；分段函數(shù)的應用 【分析】 根據已知中函數(shù) f（ x） = ，將 x=2 代入可得答案 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） = ， f（ 2） =4， f（ 2） =f（ 1） =f（ 0） =0 f（ 2） +f（ 2） =4， 故答案為： 4 12在 ，若 ，那么 6 【考點】 余弦定理 【分析】 直接利用余弦定理即可求值得解 【解答】 解： ， = =6 故答案為： 6 第 9 頁（共 16 頁） 13過橢圓 的焦點垂直于 x 軸的弦長為 a則雙曲線的離心率為 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 令 x= ，代入橢圓方程，求得弦長，即為 b= a，再由雙曲線的離心率公式，計算即可得到所求值 【解答】 解：令 x= ，代入橢圓方程可得： y=b = ， 由題意可得 =a，即有： b= a， 可得雙曲線 的離心率為： e= = 故答案為： 14某輛汽車購買時的費用是 10 萬元，每年使用的保險費、高速公路費、汽油費等約為 2 萬元，年維修保養(yǎng)費用第一年 元，以后逐年遞增 元設這輛汽車使用 n（ nN*）年的年平均費用為 f（ n） . 則 f（ n）與 n 的函數(shù)關系式 f（ n） = ；這輛汽車報廢的最佳年限約為 10 年 【考點】 基本不等式在最值問題中的應用；函數(shù)解析式的求解及常用方法 【分析】 根據條件可以看出年維修保養(yǎng)費用構成以 首項， 公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的前 n 項和公式即可求出 n 年的維修保養(yǎng)費用，而 速公路費、汽油費等為 2n 萬元，從而可以得出這輛汽車使用 而可以得出 ， nN*，而根據基本不等式即可求出 n=10 時， f（ n）取最小值，即得出這輛汽車報廢的最佳年限約為 10 年 【解答】 解：根據題意，年維修保養(yǎng)費用構成以 首項， 公差的等差數(shù)列； 第 10 頁（共 16 頁） n 年的維修保養(yǎng)費用為 ； = = ； 即 ， nN*； ； f（ n） 4，當 ，即 n=10 時取 “=”； 這輛汽車報廢的最佳年限約為 10 年 故答案為： ， 10 三、解答題共 6 小題，共 80 分 算步驟或證明過程 . 15已知函數(shù) （ ）求 的值； （ ）求函數(shù) f（ x）在區(qū)間 上的最大值和最小值 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ ）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得 f（ x） =x ），代入 x= ，即可計算求值 （ ）由 x ，可求 x ，利用正弦函數(shù)的性質即可得解 f（ x）在區(qū)間 上的最 大值和最小值 【解答】 （本小題滿分 13 分） 解：（ ） 由已知 = + ， = x ） ， f（ ） = ） = （ ） x ， x ， 當 x = ，即 x= 時， x） = ， 當 x = ，即 x= 時， fm x） =1 第 11 頁（共 16 頁） 16已知數(shù)列 足 ， 1=3（ nN*） （ 1）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 通項公式 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式 【分析】 （ 1）由 1=3（ nN*），變形為 1+1=3（ ），即可證明； （ 2）利用等比數(shù)列的前 n 項和公式即可得出 【解答】 （ 1）證明： ， 1=3（ nN*）， 1+1=3（ ）， 數(shù)列 是等比數(shù) 列，首項為 3，公比為 3 （ 2）解：由（ 1）可得： =3n，解得 n 1 n= n 17某中學一名高三數(shù)學教師，對其所教的文科班 50 名同學的一次數(shù)學成績進行了統(tǒng)計，全年級文科數(shù)學平均分是 100 分，這個班數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖：（總分 150 分） （ ）試估算這個班的數(shù)學平均分是否超過年級文科數(shù)學平均分？ （ ）從這個班中任取 1 人，其數(shù)學成績達到或超過年級文科平均分的概率是多少？ 【考點】 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分布直方圖 【分析】 （ ）根據平均數(shù)的定義即可求出， （ ）求出此班在 100， 110）， 110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140，150）分數(shù)段的共有 33 人，根據概率公式計算即可 【解答】 解：（ ） 80， 90）人數(shù)為 050=4， 90， 100）人數(shù)為 050=13， 100， 110）人數(shù)為 050=19， 110， 120）人數(shù)為 050=7， 130， 140）人數(shù)為 050=2， 其中 120， 130）人數(shù)為 50（ 4+13+19+7+2） =5， 由頻率分布表知這個班的數(shù)學平均分至少是 （ 804+9013+10019+1107+1205+1302） 100%= 這個班的數(shù)學平均分超過年級平均分 （ ）此班在 100， 110）， 110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150）分數(shù)段的共有 19+7+2+5=33， 第 12 頁（共 16 頁） 所求概率 P= = 18如圖 平面 矩形， B=1， ，點 F 是 中點，點 E 是 上的任意一點 （ ）求三棱錐 E 體積； （ ）當 E 是 中點時，試判斷 平面 位置關系，并說明理由； （ ）證明： 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體 積；空間中直線與平面之間的位置關系 【分析】 （ I）根據棱錐的體積公式計算； （ 三角形中位線定理即可證明 而 平面 （ 三線合一可得 平面 平面 而由 是 平面 出 【解答】 解：（ ） 平面 面 矩形， P = （ ） 平面 證明： E 為 中點， F 是 中點， 面 面 平面 （ ） B， F 是 中點， 底面 面 面 面 B=A， 平面 面 又 面 面 C=B， 平面 面 19已知橢圓 E： （ a b 0）的一個頂點 ，離心率 （ ）求橢圓 E 的方程； （ ）設動直線 l： y=kx+m 與橢圓 E 相切于點 P，且與直線 x=4 相交于點 Q求證：以 直徑的圓過定點 N（ 1， 0） 【考點】 橢圓的簡單性質 第 13 頁（共 16 頁） 【分析】 （ ）由已知可得 ，從而求橢圓方程； （ ）聯(lián) 立方程消元，從而可得（ 3+412=0，從而可得，故 m0；從而解出 P（ ， ），再解出 Q（ 4， 4k+m）；證明 =0 即可 【解答】 解：（ ）由已知可得 ， 故 ， 故所求橢圓方程為 + =1； （ ）證明：聯(lián)立方程 + =1 與 y=kx+m 消元得， （ 3+412=0， 曲線 E 與直線只有一個公共點， =0，化簡可得， ，故 m0； 設 P（ 故 = ， yP=m= ； 故 P（ ， ）， 又由 ， Q（ 4， 4k+m）； N（ 1， 0）， =（ 1+ ， ）， =（ 3， 4k+m）； =3+ 3=0， ， 以 直徑的圓過定點 N（ 1， 0） 20已知函數(shù) f（ x） = （ ）若 m=2，求曲線 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ ）求函數(shù) f（ x）在 1， e上的最大值； 第 14 頁（共 16 頁） （ ）若 f（ x） +m0 在 x（ 0， +）上恒成立，求實數(shù) m 的值 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ ）求出 f（ x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標，再由已知切線方程即可得到 m； （ ）求出導數(shù)，討論 m 的范圍，當 m0 時，當 m 0 時，令導數(shù)大于 0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于 0，得減區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大 值即可； （ ）設 g（ x） =