【文檔】《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》備課素材（數(shù)學(xué)人教九上）.DOC

第二十一章 一元二次方程212解一元二次方程*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 素材一新課導(dǎo)入設(shè)計情景導(dǎo)入置疑導(dǎo)入歸納導(dǎo)入復(fù)習(xí)導(dǎo)入類比導(dǎo)入懸念激趣情景導(dǎo)入“十一黃金周”剛剛過去，相信同學(xué)們一定去過許多美麗、難忘的旅游景點(diǎn)，下面，老師帶著大家到法國觀光旅游好不好？(出示多媒體)讓學(xué)生在聆聽理查德克萊德曼的致愛麗絲中欣賞：法國文化埃菲爾鐵塔，時裝秀，紅酒文化，巴黎圣母院文化是相通的，科學(xué)更是這樣在16世紀(jì)的法國，誕生了一位偉大的數(shù)學(xué)家，讓我們一起走進(jìn)歷史，了解偉人代數(shù)學(xué)之父韋達(dá)說明與建議 說明：教師借助剛剛過去的“十一黃金周”為話題，讓學(xué)生一邊聆聽理查德克萊德曼的鋼琴曲，一邊欣賞法國文化圖文，閱讀了解歷史中的代數(shù)學(xué)之父韋達(dá)建議：文化與科學(xué)密不可分，通過學(xué)生欣賞圖片，聆聽鋼琴曲，讓同學(xué)們?nèi)谌胼p松、愉快、高雅的氛圍之中，筆鋒一轉(zhuǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生了解法國16世紀(jì)的偉大數(shù)學(xué)家韋達(dá)，從而導(dǎo)入新課，自然過渡歸納導(dǎo)入解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？(1)2x25x120；(2)x22x10；(3)x22x10.方程x1x2x1x2x1x22x25x120_4_6_x22x10_1_1_2_1_x22x10_1_1_2_1_說明與建議 說明：復(fù)習(xí)鞏固利用公式法求一元二次方程的根，為進(jìn)一步明確一元二次方程根與系數(shù)之間的聯(lián)系埋下伏筆建議：因?yàn)槔霉椒ń庖辉畏匠虒W(xué)生已經(jīng)掌握，可以將本班學(xué)生分三個小組進(jìn)行計算，從而節(jié)約時間素材二教材母題挖掘教材母題第16頁例4根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個根x1，x2的和與積：(1)x26x150；(2)3x27x90；(3)5x14x2.【模型建立】對于一個一元二次方程ax2bxc0(a0)，若b24ac0，則x1x2，x1x2，一元二次方程“根與系數(shù)的關(guān)系”應(yīng)用非常廣泛，常結(jié)合完全平方公式進(jìn)行變形應(yīng)用，靈活運(yùn)用一元二次方程“根與系數(shù)的關(guān)系”往往給解題帶來方便【變式變形】1昆明中考 已知x1，x2是一元二次方程x24x10的兩個實(shí)數(shù)根，則x1x2等于(C)A4B1C1D42若4x2kx60的一根為3，則另一根為_3若x1，x2為方程x22x10的兩根，則x1x2x1x2_3_4德州中考 方程x22kxk22k10的兩個實(shí)數(shù)根x1，x2滿足xx4，則k的值為_1_5已知關(guān)于x的方程x2kxk2n0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且(2x1x2)28(2x1x2)150.(1)求證：n0；當(dāng)k2=-1時，b2-4ac=-15（-1）2+120時，一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)=0時，一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)0時，a（x+h）2+kk；當(dāng)a0時，a（x+h）2+kk.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1，x2，則ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）3.解絕對值方程的基本思路是將絕對值符號去掉，所以要討論絕對值符號內(nèi)的式子與0的大小關(guān)系.4.解高次方程的基本思想是將高次方程降次轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個式子的一元二次方程求解.5.利用根與系數(shù)求解時，常常用到整體思想.參考答案1.A 【解析】根據(jù)題意知，-（k-1）=251，k-1=10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9 2. 3 【解析】據(jù)題意得，m2=9，m=33.【證明】2x2+4x5=2（x22x）5=2（x22x+1）5+2=2（x1）23.（x1）20，2（x1）20，2（x1）230.無論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式2x2+4x-5的值恒小于零4.A 【解析】=（2c）24（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（cab）.根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得cab0，a+b+c00該方程沒有實(shí)數(shù)根5.A 【解析】當(dāng)kx2+3x+2=0為一元一次方程時，必有實(shí)數(shù)根，此時k=0；當(dāng)kx2+3x+2=0為一元二次方程且有實(shí)數(shù)根時，如果有實(shí)數(shù)根，則.解得且k0.綜上所述.6.A 【解析】一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個相等的實(shí)數(shù)根，b24ac0，又abc0，即bac，代入b24ac0得（ac）24ac0，化簡得（ac）20，所以ac7.13【解析】由題意得x2+y2-5=8.解得x2+y2=13或者x2+y2=3（舍去）.8.【解】當(dāng)x+20，即x2時，x2+2（x+2）4=0，x2+2x=0.解得x1=0，x2=2；當(dāng)x+20，即x-2時，x22（x+2）4=0，x22x8=0.解得x1=4（不合題設(shè)，舍去），x2=2（不合題設(shè)，舍去）綜上所述，原方程的解是x=0或x=29. 3 3發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論為：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1，x2，則ax2+bx+c=a（xx1）（xx2）11.8【解析】x1x23，x22+4x23=0，2x1(x22+5x23)+a =2轉(zhuǎn)化為2x1(x22+4x23+ x2)+a =2.2x1x2+a =2.2(3)+a2.解得a8.12.【解】（1）根據(jù)題意，得=（2a）24a（a6）=24a0a0又a60，a6由根與系數(shù)關(guān)系得：x1x2=，x1x2=.由x1x1x2=4x2 得x1x2 4=x1x2.4 =，解得a=24經(jīng)檢驗(yàn)a=24是方程4 =的解（2）原式=x1x2 x1x2 1=1=為負(fù)整數(shù)，6a為1或2，3，6.解得a=7或8，9，1213.【解】（1）2 1 6（3）由n2+3n-2=0可知n0,1+=0. 1=0.又2m2-3m-1=0,且mn1，即mm、是方程2x2-3x-1=0的兩根m+= ,m=,m2+ =(m+ )2-2m=( )2-2()= . 素材六數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升韋達(dá)定理韋達(dá)定理是指一元n次方程中根和系數(shù)之間的關(guān)系，中學(xué)課本里一般特指一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)了代數(shù)方程的根與系數(shù)之間的這種關(guān)系，因此人們把這個關(guān)系稱為韋達(dá)定理。早在公元前2000年左右，古巴比倫的數(shù)學(xué)家就能解簡單的一元二次方程了，古埃及的紙草文書中也有所提及。公元前480年，中國數(shù)學(xué)家使用配方法求得了二次方程的正根，還在方程的研究中應(yīng)用了內(nèi)插法，可惜的是，并沒有提出通用的求解方法。公元628年，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多出版了婆羅摩修正體系，給出了一元二次方程 x2+px+q=0的一個求根公式。公元820年，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米出版了代數(shù)學(xué)。書中討論到方程的解法，除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出了一元二次方程的一般解法。他把方程的未知數(shù)叫做“根”，承認(rèn)方程有兩個根，并有無理根存在。同樣可惜，他未認(rèn)識到虛根這個概念。16世紀(jì)，意大利的數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私馊畏匠潭_始應(yīng)用復(fù)數(shù)根。與此同時，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)在研究二次方程時注意到，如果一次項的系數(shù)是兩個數(shù)之和的相反數(shù)，而常數(shù)項是這兩個數(shù)的乘積，則這兩個數(shù)就是這個方程的根。雖然，由于時代的局限性，韋達(dá)當(dāng)時沒能從理論上證明，但他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)著作都大大充實(shí)了數(shù)學(xué)寶庫。歷史是有趣的，雖然韋達(dá)在16世紀(jì)就得出了這個定理，但是要證明這個定理卻需要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻在1799年才被高斯第一次實(shí)質(zhì)性地論證。1615年，韋達(dá)發(fā)表了關(guān)于方程論的著作論方程的整數(shù)與修正。書中對一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改進(jìn)，并揭示了方程根與系數(shù)的關(guān)系。韋達(dá)，1540年生于法國普瓦圖，在歐洲被尊稱為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”。他致力于數(shù)學(xué)研究，第一次有意識地、系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪。除推出一元方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解外，他還給出了根與系數(shù)的關(guān)系。他最早系統(tǒng)地引入了代數(shù)符號，推