9.3 直線、平面垂直的判定及性質(zhì)ppt課件

直線 平面垂直的判定及性質(zhì)要點(diǎn)梳理1 直線與平面垂直 1 判定直線和平面垂直的方法 定義法 利用判定定理 一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直 則該直線和此平面垂直 推論 如果在兩條平行直線中 有一條垂直于一個(gè)平面 那么另一條直線也于這個(gè)平面 相交 垂直 2 直線和平面垂直的性質(zhì) 直線垂直于平面 則垂直于平面內(nèi)直線 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線 垂直于同一直線的兩平面 任意 平行 平行 2 斜線和平面所成的角斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角 叫斜線和平面所成的角 3 二面角的有關(guān)概念 1 二面角 從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角 兩個(gè)半平面 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn) 在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作的兩條射線 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角 垂直于棱 4 平面與平面垂直 1 平面與平面垂直的判定方法 定義法 利用判定定理 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的 則這兩個(gè)平面垂直 2 平面與平面垂直的性質(zhì)兩平面垂直 則一個(gè)平面內(nèi)垂直于的直線垂直于另一個(gè)平面 一條垂線 交線 基礎(chǔ)自測(cè)1 設(shè)l m n均為直線 其中m n在平面 內(nèi) 則 l 是 l m且l n 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充要條件D 既不充分也不必要條件解析當(dāng)l 時(shí) l m且l n 但當(dāng)l m l n時(shí) 若m n不是相交直線 則得不到l A 2 若P是平面 外一點(diǎn) 則下列命題正確的是 A 過P只能作一條直線與平面 相交B 過P可作無數(shù)條直線與平面 垂直C 過P只能作一條直線與平面 平行D 過P可作無數(shù)條直線與平面 平行解析過P點(diǎn)存在一平面與 平行 則該平面內(nèi)過P的直線有無數(shù)條都與 平行 D 3 2009 廣東理 5 給定下列四個(gè)命題 若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行 那么這兩個(gè)平面相互平行 若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線 那么這兩個(gè)平面相互垂直 垂直于同一直線的兩條直線相互平行 若兩個(gè)平面垂直 那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直 其中 為真命題的是 A 和 B 和 C 和 D 和 解析當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí) 一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可以平行于另一個(gè)平面 故 不對(duì) 由平面與平面垂直的判定可知 正確 空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以相交也可以異面 故 不對(duì) 若兩個(gè)平面垂直 只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直 故 正確 答案D 4 2008 湖南文 5 已知直線m n和平面 滿足m n m 則 A n B n 或n C n D n 或n 解析 n與 的位置關(guān)系各種可能性都有 A B都不對(duì) 當(dāng)n 時(shí) 作n n 且n m O 則n 與m確定平面 設(shè) l 則有m l 又m n 所以l n l n n 當(dāng)n 時(shí) 顯然成立 故C不對(duì) D正確 D 5 下列命題中 m n表示兩條不同的直線 表示三個(gè)不同的平面 若m n 則m n 若 則 若m n 則m n 若 m 則m 正確的命題是 A B C D 解析 中平面 與 可能相交 中m與n可以是相交直線或異面直線 故 錯(cuò) 選C C 題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)如圖所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分別是AB PC的中點(diǎn) 1 求證 MN CD 2 若 PDA 45 求證 MN 平面PCD 1 因M為AB中點(diǎn) 只要證 ANB為等腰三角形 則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MN AB 2 已知MN CD 只需再證MN PC 易看出 PMC為等腰三角形 利用N為PC的中點(diǎn) 可得MN PC 題型分類深度剖析 證明 1 連接AC AN BN PA 平面ABCD PA AC 在Rt PAC中 N為PC中點(diǎn) PA 平面ABCD PA BC 又BC AB PA AB A BC 平面PAB BC PB 從而在Rt PBC中 BN為斜邊PC上的中線 AN BN ABN為等腰三角形 又M為底邊AB的中點(diǎn) MN AB 又 AB CD MN CD 2 連接PM CM PDA 45 PA AD AP AD 四邊形ABCD為矩形 AD BC PA BC 又 M為AB的中點(diǎn) AM BM 而 PAM CBM 90 PM CM 又N為PC的中點(diǎn) MN PC 由 1 知 MN CD PC CD C MN 平面PCD 垂直問題的證明 其一般規(guī)律是 由已知想性質(zhì) 由求證想判定 也就是說 根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理 根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理 往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來 知能遷移1S為Rt ABC所在平面外一點(diǎn) 且SA SB SC D為斜邊AC中點(diǎn) 1 求證 SD 面ABC 2 若AB BC 求證 BD 面SAC 證明 1 如圖所示 取AB中點(diǎn)E 連結(jié)SE DE 在Rt ABC中 D E分別為AC AB的中點(diǎn) 故DE BC 且DE AB SA SB SAB為等腰三角形 SE AB SE AB DE AB SE DE E 在 SAC中 SA SC D為AC中點(diǎn) SD AC SD AC SD AB AC AB A SD 面ABC 2 若AB BC 則BD AC 由 1 可知 SD 面ABC 而BD 面ABC SD BD SD BD BD AC SD AC D BD 面SAC AB 面SDE 而SD 面SDE AB SD 題型二面面垂直的判定與性質(zhì)如圖所示 在四棱錐P ABCD中 平面PAD 平面ABCD AB DC PAD是等邊三角形 已知BD 2AD 8 AB 2DC 4 1 設(shè)M是PC上的一點(diǎn) 證明 平面MBD 平面PAD 2 求四棱錐P ABCD的體積 1 因?yàn)閮善矫娲怪迸cM點(diǎn)位置無關(guān) 所以在平面MBD內(nèi)一定有一條直線垂直于平面PAD 考慮證明BD 平面PAD 2 四棱錐底面為一梯形 高為P到面ABCD的距離 1 證明在 ABD中 AD 4 BD 8 AB 4 AD2 BD2 AB2 AD BD 又 面PAD 面ABCD 面PAD 面ABCD AD BD 面ABCD BD 面PAD 又BD 面BDM 面MBD 面PAD 2 解過P作PO AD 面PAD 面ABCD PO 面ABCD 即PO為四棱錐P ABCD的高 又 PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形 PO 在底面四邊形ABCD中 AB DC AB 2DC 四邊形ABCD為梯形 在Rt ADB中 斜邊AB邊上的高為此即為梯形的高 當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí) 常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線 把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直 進(jìn)而可以證明線線垂直 構(gòu)造二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等 知能遷移2在斜三棱柱A1B1C1 ABC中 底面是等腰三角形 AB AC 側(cè)面BB1C1C 底面ABC 1 若D是BC的中點(diǎn) 求證 AD CC1 2 過側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱于M 若AM MA1 求證 截面MBC1 側(cè)面BB1C1C 證明 1 AB AC D是BC的中點(diǎn) AD BC 底面ABC 平面BB1C1C 面ABC 面BB1C1C BC AD 側(cè)面BB1C1C CC1 面BB1C1C AD CC1 2 延長(zhǎng)B1A1與BM交于N 連結(jié)C1N AM MA1 NA1 A1B1 A1B1 A1C1 A1C1 A1N A1B1 C1N C1B1 截面NB1C1 側(cè)面BB1C1C 面NB1C1 面BB1C1C C1B1 C1N 側(cè)面BB1C1C C1N 面C1NB 截面C1NB 側(cè)面BB1C1C 即截面MBC1 側(cè)面BB1C1C 題型三線面角的求法 12分 如圖所示 在四棱錐P ABCD中 底面為直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面ABCD 且PA AD AB 2BC M N分別為PC PB的中點(diǎn) 1 求證 PB DM 2 求BD與平面ADMN所成的角 1 易證PB 平面ADMN 2 構(gòu)造直線和平面所成的角 解三角形 1 證明 N是PB的中點(diǎn) PA AB AN PB BAD 90 AD AB 解題示范 PA AB A AD 平面PAB AD PB 4分 又 AD AN A PB 平面ADMN 平面ADMN PB DM 6分 2 解連接DN PB 平面ADMN BDN是BD與平面ADMN所成的角 8分在Rt BDN中 10分 BDN 30 即BD與平面ADMN所成的角為30 12分 PA 平面ABCD PA AD 求直線和平面所成的角 關(guān)鍵是利用定義作出直線和平面所成的角 必要時(shí) 可利用平行線與同一平面所成角相等 平移直線位置 以方便尋找直線在該平面內(nèi)的射影 知能遷移3如圖所示 四面體ABCS中 SA SB SC兩兩垂直 SBA 45 SBC 60 M為AB的中點(diǎn) 求 1 BC與平面SAB所成的角 2 SC與平面ABC所成的角的正切值 解 1 SC SB SC SA SB SA S SC 平面SAB BC在平面SAB上的射影為SB SBC為BC與平面SAB所成的角 又 SBC 60 故BC與平面SAB所成的角為60 2 連結(jié)MC 在Rt ASB中 SBA 45 ASB為等腰直角三角形 SM AB 由 1 知AB SC AB SM M AB 平面SMC 平面ABC 平面SMC 平面ABC 過點(diǎn)S作SO MC于點(diǎn)O SO 平面ABC SCM為SC與平面ABC所成的角 由 1 知SC 平面SAB 又 平面SAB SC SM SMC為直角三角形 設(shè)SB a 即SC與平面ABC所成的角的正切值為 題型四二面角的求法如圖所示 三棱錐P ABC中 D是AC的中點(diǎn) PA PB PC AC 2 AB BC 1 求證 PD 平面ABC 2 求二面角P AB C的正切值大小 1 已知三角形三邊長(zhǎng) 可考慮利用勾股定理的逆定理證明垂直 2 關(guān)鍵是找出二面角的平面角 由AP PB 可考慮取AB的中點(diǎn)E 1 證明連結(jié)BD D是AC的中點(diǎn) PA PC PD AC AC AB BC AB2 BC2 AC2 ABC 90 即AB BC PD2 PA2 AD2 3 PB PD2 BD2 PB2 PD BD AC BD D PD 平面ABC 2 解取AB的中點(diǎn)E 連結(jié)DE PE 由E為AB的中點(diǎn)知DE BC AB BC AB DE PD 平面ABC PD AB 又AB DE DE PD D AB 平面PDE PE AB PED是二面角P AB C的平面角 在 PED中 PDE 90 二面角P AB C的正切值為 找二面角的平面角常用的方法有 1 定義法 作棱的垂面 得平面角 2 利用等腰三角形 等邊三角形的性質(zhì) 取中線 知能遷移4如圖所示 四棱錐P ABCD的底面ABCD是直角梯形 PA 平面ABCD 且AD BC AD DC ADC和 ABC均為等腰直角三角形 設(shè)PA AD DC a 點(diǎn)E為側(cè)棱PB上一點(diǎn) 且BE 2EP 1 求證 平面PCD 平面PAD 2 求證 直線PD 平面EAC 3 求二面角B AC E的余弦值 1 證明 PA 平面ABCD DC 平面ABCD DC PA 又 AD DC 且PA與AD是平面PAD內(nèi)兩相交直線 DC 平面PAD 又 DC 平面PCD 平面PCD 平面PAD 2 證明連結(jié)BD 設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)F 連結(jié)EF 在等腰直角 ADC中 AD DC 又 AD BC ACB DAC 又 ABC為等腰直角三角形 且底面ABCD是直角梯形 若 B為直角 則與底面ABCD是直角梯形相矛盾 由AD DC a 易知AB AC a BC 2a BC AD且BC 2AD BF 2FD 又 BE 2EP PD EF 又 EF 平面EAC PD 平面EAC 直線PD 平面EAC 3 解過點(diǎn)E作EH PA交AB于H點(diǎn) 則EH 平面ABCD 又 AB AC EA AC EAH為二面角B AC E的平面角 BE 2EP 即二面角B AC E的余弦值為 方法與技巧1 證明線面垂直的方法 1 線面垂直的定義 a與 內(nèi)任何直線都垂直 a 3 判定定理2 a b a b 4 面面平行的性質(zhì) a a 5 面面垂直的性質(zhì) l a a l a n 思想方法感悟提高 2 證明線線垂直的方法 1 定義 兩條直線所成的角為90 2 平面幾何中證明線線垂直的方法 3 線面垂直的性質(zhì) a b a b 4 線面垂直的性質(zhì) a b a b 3 證明面面垂直的方法 1 利用定義 兩個(gè)平面相交 所成的二面角是直二面角 2 判定定理 a a 4 向量法證明線面平行與垂直也是一種重要的方法 失誤與防范1 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線 若這樣的直線圖中不存在 則可通過作輔助線來解決 如有平面垂直時(shí) 一般要用性質(zhì)定理 在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線 使之轉(zhuǎn)化為線面垂直 然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 故熟練掌握 線線垂直 面面垂直 間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵 2 面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù) 我們要作一個(gè)平面的一條垂線 通常是先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面 在這個(gè)垂面中 作交線的垂線即可 一 選擇題1 若l為一條直線 為三個(gè)互不重合的平面 給出下面三個(gè)命題 l l 其中正確的命題有 A 0個(gè)B 1個(gè)C 2個(gè)D 3個(gè)解析對(duì)于 與 可能平行 故錯(cuò) 正確 故選C C 定時(shí)檢測(cè) 2 設(shè)a b是不同的直線 是不同的平面 則下列四個(gè)命題中正確的是 A 若a b a 則b B 若a 則a C 若a 則a D 若a b a b 則 解析A中 b可能在 內(nèi) B中 a可能在 內(nèi) 也可能與 平行或相交 不垂直 C中 a可能在 內(nèi) D中 a b a 則b 或b 又b D 3 2009 北京理 4 若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為1 AB1與底面ABCD成60 角 則A1C1到底面ABCD的距離為 A B 1C D 解析如圖所示 直線AB1與底面ABCD所成的角為 B1AB 而A1C1到底面ABCD的距離為AA1 在Rt ABB1中 B1B AB tan60 所以AA1 BB1 D 4 已知直線l 平面 直線m 平面 下面有三個(gè)命題 l m l m l m 則真命題的個(gè)數(shù)為 A 0B 1C 2D 3解析如圖所示 設(shè)面AB1為 面A1C1為 A1D1 A1C1 而A1D1與A1C1相交 故 錯(cuò) C 5 下面四個(gè)命題 直線a 直線b 的充要條件是 a平行于b所在的平面 直線l 平面 內(nèi)所有直線 的充要條件是 l 平面 直線a b為異面直線 的充分不必要條件是 直線a b不相交 平面 平面 的必要不充分條件是 內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到 的距離相等 其中正確命題的序號(hào)是 A B C D 解析a b推不出a平行于b所在的平面 反之也不成立 不正確 由線面垂直的定義知 正確 a b不相交時(shí) a b可能平行 此時(shí)a b共面 不正確 當(dāng) 時(shí) 內(nèi)一定有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面 的距離相等 反之 設(shè)A B C是 內(nèi)三個(gè)不共線的點(diǎn) 當(dāng) 過 ABC的中位線時(shí) A B C三點(diǎn)到 的距離相等 但此時(shí) 相交 正確 答案C 6 2009 浙江理 5 在三棱柱ABC A1B1C1中 各棱長(zhǎng)相等 側(cè)棱垂直于底面 點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心 則AD與平面BB1C1C所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 解析取BC中點(diǎn)E 連結(jié)AE 則AE 平面BCC1B1 故 ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角 設(shè)各棱長(zhǎng)為a 則 ADE 60 C 二 填空題7 2008 全國(guó) 文 16 已知菱形ABCD中 AB 2 A 120 沿對(duì)角線BD將 ABD折起 使二面角A BD C為120 則點(diǎn)A到 BCD所在平面的距離等于 解析如圖所示 取BD中點(diǎn)E 連接AE CE ABD BCD均為等腰三角形 AE BD CE BD BD 平面AEC AEC為二面角A BD C的平面角 AEC 120 在平面AEC內(nèi)過A作CE的垂線AH 垂足為H 則H在CE的延長(zhǎng)線上 BD 平面AEC BD AH 又AH CE AH 平面BCD BAD 120 BAE 60 又 AEH 60 即點(diǎn)A到 BCD所在平面的距離為 答案 8 將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起 使平面ABD 平面CBD E是CD的中點(diǎn) 則異面直線AE BC所成角的正切值為 解析如圖所示 取BD中點(diǎn)O 連結(jié)AO OE 則AO BD 平面ABD 平面CBD AO 平面BCD OE BC AEO即為AE BC所成的角 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2 則OE 1 AO tan AEO 9 a b表示直線 表示平面 若 a b a b 則 若a a垂直于 內(nèi)任意一條直線 則 若 a b 則a b 若a不垂直于平面 則a不可能垂直于平面 內(nèi)無數(shù)條直線 若a b a b 則 上述五個(gè)命題中 正確命題的序號(hào)是 解析對(duì) 可舉反例如圖 需b 才能推出 對(duì) 可舉反例說明 當(dāng) 不與 的交線垂直時(shí) 即可得到a b不垂直 對(duì) a只需垂直于 內(nèi)一條直線便可以垂直 內(nèi)無數(shù)條與之平行的直線 所以只有 是正確的 答案 三 解答題10 四面體ABCD中 AC BD E F分別是AD BC的中點(diǎn) 且 BDC 90 求證 BD 平面ACD 證明如圖所示 取CD的中點(diǎn)G 連接EG FG EF E F分別為AD BC的中點(diǎn) EGAC FGBD 又AC BD 在 EFG中 EG2 FG2 AC2 EF2 EG FG BD AC 又 BDC 90 即BD CD AC CD C BD 平面ACD 11 如圖所示 已知 ABC是等邊三角形 EC 平面ABC BD 平面ABC 且EC DB在平面ABC的同側(cè) M為EA的中點(diǎn) CE 2BD 求證 1 DE DA 2 平面BDM 平面ECA 3 平面DEA 平面ECA 證明如圖所示 取AC中點(diǎn)N 連