第二章 第六節(jié)

第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念：正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a(a0，m，nN*，且n1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)yax(a0，且a1)圖象a10a1圖象特征在x軸上方，過定點(0,1)當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸上升當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸下降性質(zhì)定義域值域(0，)單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x0時，y1當(dāng)x0時，0y0時，y1當(dāng)x1；當(dāng)x0時，0y11判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)與()n都等于a(nN*)()(2)2a2b2ab.()(3)函數(shù)y32x與y2x1都不是指數(shù)函數(shù)()(4)若am0，且a1)，則mn.()答案：(1)(2)(3)(4)2化簡(x0，y0)得()A2x2yB2xyC4x2y D2x2y解析：選D因為x0，y0，且a1)的圖象必經(jīng)過點()A(0,1) B(1,1)C(2,0) D(2,2)解析：選D由f(2)a012，知f(x)的圖象必過點(2,2)4函數(shù)yaxa(a0，且a1)的圖象可能是()答案：C5函數(shù)y 的定義域是_解析：要使該函數(shù)有意義，則解得x0，所以定義域為(0，)答案：(0，)6若指數(shù)函數(shù)f(x)(a2)x為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：f(x)(a2)x為減函數(shù)，0a21，即2a0，則下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01 D(a)4解析：選D對于A，(2)2，故A錯誤；對于B，2a3，故B錯誤；對于C，(2)01，故C錯誤；對于D，(a)4，故D正確2化簡：_.解析：原式ab.答案：3化簡：022(0.01)0.5_.解析：原式111.答案：怎樣快解準(zhǔn)解1指數(shù)冪運算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答2易錯提醒(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的指數(shù)不能隨便約分，例如要將a寫成a時必須認(rèn)真考查a的取值才能決定，如(1)1，而(1)無意義(2)結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，形式力求統(tǒng)一指數(shù)函數(shù)的圖象是指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，研究指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是研究其圖象.高考以考查其圖象辨析及應(yīng)用為主，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題.典題領(lǐng)悟1.函數(shù)f(x)axb的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0解析：選D由f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0a1，函數(shù)f(x)axb的圖象是在yax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢；當(dāng)0a1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢(3)指數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關(guān)系如圖所示，其中0cd1ab，在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大沖關(guān)演練1函數(shù)f(x)1e|x|的圖象大致是()解析：選A因為函數(shù)f(x)1e|x|是偶函數(shù)，且值域是(，0，只有A滿足上述兩個性質(zhì)故選A.2若函數(shù)y|3x1|在(，k上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為_解析：函數(shù)y|3x1|的圖象是由函數(shù)y3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示由圖象知，其在(，0上單調(diào)遞減，所以k的取值范圍是(，0答案：(，0高考常以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，難度偏小，屬中低檔題.,常見的命題角度有：(1)比較指數(shù)式的大??；(2)簡單指數(shù)方程或不等式的應(yīng)用；(3)探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì).題點全練角度(一)比較指數(shù)式的大小1(2016全國卷)已知a2，b4，c25，則()AbacBabcCbca Dcab解析：選A因為a2，b42，由函數(shù)y2x在R上為增函數(shù)知，ba；又因為a24，c255，由函數(shù)yx在(0，)上為增函數(shù)知，ac.綜上得bac.故選A.角度(二)簡單指數(shù)方程或不等式的應(yīng)用2(2018福州模擬)已知實數(shù)a1，函數(shù)f(x)若f(1a)f(a1)，則a的值為_解析：當(dāng)a1時，代入不成立故a的值為.答案：3若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)2x4(x0)，則不等式f(x2)0的解集為_解析：f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)f(x)2x4.f(x)當(dāng)f(x2)0時，有或解得x4或x0.不等式的解集為x|x4或x4或x1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)yaf(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間；(2)若0a1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)yaf(x)的單調(diào)減(增)區(qū)間沖關(guān)演練1設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcBacbCbac Dbca解析：選C因為函數(shù)y0.6x在R上單調(diào)遞減，所以b0.61.5a0.60.61，所以bac.2當(dāng)0x時，4x0時，f(x)12x，f(x)2x1，此時x0，則f(x)2x1f(x)；當(dāng)x0，則f(x)12(x)12xf(x)即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選C.7若函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)的圖象經(jīng)過點A，則f(1)_.解析：依題意可知a2，解得a，所以f(x)x，所以f(1)1.答案：8若函數(shù)f(x)ax1(a0，且a1)的定義域和值域都是0,2，則實數(shù)a_.解析：當(dāng)a1時，f(x)ax1在0,2上為增函數(shù)，則a212，所以a.又因為a1，所以a.當(dāng)0a1時，f(x)ax1在0,2上為減函數(shù)，又因為f(0)02，所以0a1不成立綜上可知，a.答案：9不等式2x4的解集為_解析：不等式2x4可化為 x4，等價于x22xx4，即x23x40，解得1x4.答案：x|1x0，且a1，若函數(shù)y|ax2|與y3a的圖象有兩個交點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)0a1時，作出函數(shù)y|ax2|的圖象如圖(1)若直線y3a與函數(shù)y|ax2|(0a1)的圖象有兩個交點，則由圖象可知03a2，所以0a1時，作出函數(shù)y|ax2|的圖象如圖(2)，若直線y3a與函數(shù)y|ax2|(a1)的圖象有兩個交點，則由圖象可知03a0，a1)的圖象經(jīng)過點A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式xxm0在x(，1上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：(1)f(x)bax的圖象過點A(1,6)，B(3,24)，得a24，又a0且a1，a2，b3，f(x)32x.(2)由(1)知xxm0在(，1上恒成立可轉(zhuǎn)化為mxx在(，1上恒成立令g(x)xx，則g(x)在(，1上單調(diào)遞減，mg(x)ming(1)，故所求實數(shù)m的取值范圍是.C級重難題目自主選做1(2017全國卷)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z，則()A2x3y5z B5z2x3yC3y5z2x D3y2x1，xlog2k，ylog3k，zlog5k.2x3y2log2k3log3k0，2x3y；3y5z3log3k5log5k0，3y5z；2x5z2log2k5log5k2x.5z2x3y.2若函數(shù)f(x)2|xa|(aR)滿足f(1x)f(1x)，f(x)在區(qū)間m，n上的最大值記為f(x)max，最小值記為f(x)min，若f(x)maxf(x)min3，則nm的取值范圍是_解析：因為函數(shù)f(x)2|xa|(aR)滿足f(1x)f(1x)，所以f(x) 的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以a1，所以f(x)2|x1|.作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示當(dāng)mn1或1mn時，離對稱軸越遠(yuǎn)，m與n差越小，由y2x1與y21x的性質(zhì)知極限值為0.當(dāng)m1n時，函數(shù)f(x)在區(qū)間m，n上的最大值與最小值的差為f(x)maxf(x)min2|2|203，則nm取得最大值是2(2)4，所以nm的取值范圍是(0,4答案：(0,4(二)重點高中適用作業(yè)A級保分題目巧做快做1化簡4ab的結(jié)果為()ABC D6ab解析：選C原式4ab6ab1，故選C.2.函數(shù)y的值域是()A(，4) B(0，)C(0,4 D4，)解析：選C設(shè)tx22x1，則yt.因為01，所以yt為關(guān)于t的減函數(shù)因為t(x1)222，所以0yt24，故所求函數(shù)的值域為(0,43.若函數(shù)f(x)2xb1(bR)的圖象不經(jīng)過第二象限，則b的取值范圍為()A1，) B(，1C0，) D(，0解析：選D因為當(dāng)xx4的解集為_解析：不等式2x4可化為x4，等價于x22xx4，即x23x40，解得1x4.答案：x|1x47.已知函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)，且f(2)f(3)，則a的取值范圍是_解析：因為f(x)axx，且f(2)f(3)，所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以1，解得0a1.答案：(0,1)8.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，g(x)f(x)，x(1,1)，則gg的值為_解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以ff0.令h(x)，則hh2，所以gg2.答案：29.化簡下列各式：(1)0.50.1230； (2) .解：(1)原式31003100.(2)原式 aaaa.10已知函數(shù)f(x)|x|a.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的最大值是，求a的值解：(1)令t|x|a，則f(x)t，不論a取何值，t在(，0上單調(diào)遞減，在0，)上單調(diào)遞增，又yt是單調(diào)遞減的，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0，單調(diào)遞減區(qū)間是0，)(2)由于f(x)的最大值是，且2，所以g(x)|x|a應(yīng)該有最小值2，從而a2.B級拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1函數(shù)y2|x|的定義域為a，b，值域為1,16，當(dāng)a變動時，函數(shù)bg(a)的圖象可以是()解析：選B作出y2|x|的圖象，如圖，結(jié)合選項知a0，當(dāng)a變動時，函數(shù)y2|x|的定義域為a，b，值域為1,16，4a0，2|b|16.即b4，故4a0，且4，故選B.2.(2018成都診斷)已知函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點.若函數(shù)g(x)的定義域為R，當(dāng)x2,2時，有g(shù)(x)f(x)，且函數(shù)g(x2)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()Ag()g(3)g() Bg()g()g(3)Cg()g(3)g() Dg()g()g(3)解析：選C因為函數(shù)f(x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，所以a，即a，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減g(x2)為偶函數(shù)，g(x2)g(x2)，g(3)g(1)，g()g(4)，41，當(dāng)x2,2時，g(x)f(x)單調(diào)遞減，g()g(1)g(4)，即g()g(3)g()3.(2018濮陽二檢)若“ma”是函數(shù)“f(x)xm的圖象不過第三象限”的必要不充分條件，則實數(shù)a能取的最大整數(shù)為_解析：f(0)m，函數(shù)f(x)的圖象不過第三象限等價于m0，即m，“ma”是“m”的必要不充分條件，a，則實數(shù)a能取的最大整數(shù)為1.答案：14若函數(shù)f(x)2|xa|(aR)滿足f(1x)f(1x)，f(x)在區(qū)間m，n上的最大值記為f(x)max，最小值記為f(x)min，若f(x)maxf(x)min3，則nm的取值范圍是_解析：因為函數(shù)f(x)2|xa|(aR)滿足f(1x)f(1x)，所以f(x) 的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以a1，所以f(x)2|x1|.作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示當(dāng)mn1或1mn時，離對稱軸越遠(yuǎn)，m與n差越小，由y2x1與y21x的性質(zhì)知極限值為0.當(dāng)m1n時，函數(shù)f(x)在區(qū)間m，n上的最大值與最小值的差為f(x)maxf(x)min2|2|203，則nm取得最大值是2(2)4，所以nm的取值范圍是(0,4答案：(0,45.已知函數(shù)f(x)x3(a0，且a1)(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范圍，使f(x)0在定義域上恒成立解：(1)由于ax10，則ax1，得x0，所以函數(shù)f(x)的定義域為x|x0對于定義域內(nèi)任意x，有f(x)(x)3(x)3(x)3x3f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)(2)由(1)知f(x)為偶函數(shù)，只需討論x0時的情況，當(dāng)x