2021高三數(shù)學(xué)北師大版（文）：平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例含解析.doc

教學(xué)資料范本2021高三數(shù)學(xué)北師大版（文）：平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例含解析編 輯：_時(shí) 間：_第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例最新考綱1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式、會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角、會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第88頁(yè))1兩個(gè)向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b、作a、b、則AOB叫作向量a與b的夾角(2)范圍：0AOB180.(3)向量垂直：AOB90時(shí)、a與b垂直、記作ab.規(guī)定：零向量可與任一向量垂直2平面向量的數(shù)量積(1)射影的定義設(shè)是a與b的夾角、則|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影、|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影(2)平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)向量a和b、它們的夾角為、把|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)、記作ab.(3)數(shù)量積的幾何意義a與b的數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的射影|b|cos 的乘積、或b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上射影|a|cos 的乘積3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：abba；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.4平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a(x1、y1)、b(x2、y2)、a、b結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|數(shù)量積ab|a|b|cos abx1x2y1y2夾角cos cos abab0x1x2y1y20|ab|與|a|b|的關(guān)系|ab|a|b|x1x2y1y2|1平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2兩個(gè)向量a、b的夾角為銳角ab0且a、b不共線；兩個(gè)向量a、b的夾角為鈍角ab0且a、b不共線一、思考辨析(正確的打“”、錯(cuò)誤的打“”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)、向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量、而不是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1已知ab12、|a|4、a和b的夾角為135、則|b|為()A12B6C3D3Bab|a|b|cos 13512、所以|b|6.2已知|a|5、|b|4、a與b 的夾角120、則向量b在向量a方向上的投影為_(kāi)2由數(shù)量積的定義知、b在a方向上的投影為|b|cos 4cos 1202.3已知|a|2、|b|6、ab6、則a與b的夾角_.cos .又因?yàn)?、所以.4已知向量a(1、m)、b(3、2)、且(ab)b、則m_.8a(1、m)、b(3、2)、ab(4、m2)、由(ab)b可得(ab)b122m4162m0、即m8.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第89頁(yè))考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)、可利用定義法求解、即ab|a|b|cosa、b(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)、可利用坐標(biāo)法求解、即若a(x1、y1)、b(x2、y2)、則abx1x2y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解(1)(20xx全國(guó)卷)已知(2,3)、(3、t)、|1、則()A3B2C2D3(2)一題多解(20xx天津高考)在四邊形ABCD中、ADBC、AB2、AD5、A30、點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上、且AEBE、則_.(1)C(2)1(1)(1、t3)、|1、t3、(2,3)(1,0)2.(2)法一：BAD30、ADBC、ABE30、又EAEB、EAB30、在EAB中、AB2、EAEB2.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、直線AD為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系則A(0,0)、D(5,0)、E(1、)、B(3、)、(2、)、(1、)、(2、)(1、)1.法二：同法一、求出EBEA2、以、為一組基底、則、()225212251.逆向問(wèn)題已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6、ABD30、點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上、BC2BE、CDCF.若9、則的值為()A2B3C4D5B依題意得、因此22、于是有6262cos 609、由此解得3、故選B.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算常有兩種思路：一是定義法、二是坐標(biāo)法、定義法可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算、但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)；坐標(biāo)法要建立合適的坐標(biāo)系1.(20xx昆明模擬)在ABCD中、|8、|6、N為DC的中點(diǎn)、2、則_.24法一：(定義法)()()22826224.法二：(特例圖形)：若ABCD為矩形、建立如圖所示坐標(biāo)系、則N(4,6)、M(8,4)所以(8,4)、(4、2)所以(8,4)(4、2)32824.2在ABC中、AB4、BC6、ABC、D是AC的中點(diǎn)、E在BC上、且AEBD、則()A16B12 C8D4A建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系、則A(4,0)、B(0,0)、C(0,6)、D(2,3)設(shè)E(0、b)、因?yàn)锳EBD、所以0、即(4、b)(2,3)0、所以b、所以E、所以16、故選A.考點(diǎn)2平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量的模求向量模的方法利用數(shù)量積求模是數(shù)量積的重要應(yīng)用、要掌握此類問(wèn)題的處理方法：(1)a2aa|a|2或|a|；(2)|ab|；(3)若a(x、y)、則|a|.(1)一題多解(20xx全國(guó)卷)已知向量a(2,3)、b(3,2)、則|ab|()A.B2 C5D50(2)已知平面向量a、b的夾角為、且|a|、|b|2、在ABC中、2a2b、2a6b、D為BC中點(diǎn)、則|等于()A2B4C6D8(3)已知在直角梯形ABCD中、ADBC、ADC90、AD2、BC1、P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)、則|3|的最小值為_(kāi)(1)A(2)A(3)5(1)法一：a(2,3)、b(3,2)、ab(1,1)、|ab|、故選A.法二：a(2,3)、b(3,2)、|a|213、|b|213、ab12、則|ab|.故選A.(2)因?yàn)?)(2a2b2a6b)2a2b、所以|24(ab)24(a22bab2)44、則|2. (3)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示、則A(2,0)、設(shè)P(0、y)、C(0、b)、則B(1、b)、則3(2、y)3(1、by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)當(dāng)yb時(shí)、|3|min5.在求解與向量的模有關(guān)的問(wèn)題時(shí)、往往會(huì)涉及“平方”技巧、注意對(duì)結(jié)論(ab)2|a|2|b|22ab、(abc)2|a|2|b|2|c|22(abbcac)的靈活運(yùn)用另外、向量作為工具性的知識(shí)、具備代數(shù)和幾何兩種特征、求解此類問(wèn)題時(shí)可以使用數(shù)形結(jié)合的思想、從而加快解題速度平面向量的夾角求向量夾角問(wèn)題的方法(1)定義法：當(dāng)a、b是非坐標(biāo)形式時(shí)、求a與b的夾角、需求出ab及|a|、|b|或得出它們之間的關(guān)系、由cos 求得(2)坐標(biāo)法：若已知a(x1、y1)與b(x2、y2)、則cosa、b、a、b0、(3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解(1)(20xx全國(guó)卷)已知非零向量a、b滿足|a|2|b|、且(ab)b、則a與b的夾角為()A.B.C.D.(2)(20xx全國(guó)卷)已知a、b為單位向量、且ab0、若c2ab、則cosa、c_.(1)B(2)(1)法一：因?yàn)?ab)b、所以(ab)bab|b|20、又因?yàn)閨a|2|b|、所以2|b|2cosa、b|b|20、即cosa、b、又知a、b0、所以a、b、故選B.法二：如圖、令a、b、則ab、因?yàn)?ab)b、所以O(shè)BA90、又|a|2|b|、所以AOB、即a、b.故選B.(2)法一：|a|b|1、ab0、aca(2ab)2a2ab2、|c|2ab|3.cosa、c.法二：不妨設(shè)a(1,0)、b(0,1)、則c2(1,0)(0,1)(2、)、cosa、c.逆向問(wèn)題若向量a(k,3)、b(1,4)、c(2,1)、已知2a3b與c的夾角為鈍角、則k的取值范圍是_因?yàn)?a3b與c的夾角為鈍角、所以(2a3b)c0、即(2k3、6)(2,1)0、所以4k660、所以k3.若2a3b與c反向共線、則6、解得k、此時(shí)夾角不是鈍角、綜上所述、k的取值范圍是.(1)研究向量的夾角應(yīng)注意“共起點(diǎn)”；兩個(gè)非零共線向量的夾角可能是0或180；求角時(shí)、注意向量夾角的取值范圍是0、180(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角、數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角、數(shù)量積小于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為鈍角如本例的逆向問(wèn)題兩向量垂直問(wèn)題abab0x1x2y1y20.已知向量與的夾角為120、且|3、|2.若、且、則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)因?yàn)?、所?.又、所以()()0、即(1)220、所以(1)|cos 120940.所以(1)32940.解得.1.利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題若證明兩個(gè)向量垂直、先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可2已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系、求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件、列出相應(yīng)的關(guān)系式、進(jìn)而求解參數(shù)1.(20xx南寧模擬)已知平面向量a、b的夾角為、且|a|1、|b|、則a2b與b的夾角是()A.B. C.D.A因?yàn)閨a 2b|2|a|24|b|24ab1141cos 3、所以|a2b|.又(a2b)bab2|b|21cos 2、所以cosa2b、b、所以a2b與b的夾角為.故選A.2(20xx青島模擬)已知向量|3、|2、mn、若與的夾角為60、且、則實(shí)數(shù)的值為()A.B. C6D4A因?yàn)橄蛄縷3、|2、mn、與夾角為60、所以32cos 603、所以()(mn)(mn)m|2n|23(mn)9m4n6mn0、所以、故選A.3設(shè)向量a、b滿足|a|2、|b|ab|3、則|a2b|_.4因?yàn)閨a|2、|b|ab|3、所以(ab)2|a|22ab|b|2492ab9、所以ab2、所以|a2b|4.考點(diǎn)3平面向量的應(yīng)用平面向量是有“數(shù)”與“形”的雙重身份、溝通了代數(shù)與幾何的關(guān)系、所以平面向量的應(yīng)用非常廣泛、主要體現(xiàn)在平面向量與平面幾何、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等方面、解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積、模、夾角等問(wèn)題、進(jìn)而利用向量方法求解(1)在ABC中、已知向量(2,2)、|2、4、則ABC的面積為()A4B5 C2D3(2)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形、P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)、則()的最小值是()A2BCD1(1)C(2)B(1)(2,2)、|2、|cos A22cos A4、cos A、又A(0、)、sin A、SABC|sin A2、故選C.(2)建立坐標(biāo)系如圖所示、則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0、)、B(1,0)、C(1,0)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x、y)、則(x、y)、(1x、y)、(1x、y)、()(x、y)(2x、2y)2(x2y2y)22.當(dāng)且僅當(dāng)x0、y時(shí)、()取得最小值、最小值為.故選B.用向量法解決平面(解析)幾何問(wèn)題的兩種方法(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知、?；驃A角)、將題中涉及的向量用基底表示、利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系、實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化、將幾何問(wèn)題中的長(zhǎng)度、垂直、平行等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算一般地、存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法1.平行四邊形ABCD中、AB4、AD2、4、點(diǎn)P在邊CD上、則的取值范圍是()A1,8B1、)C0,8D1,0A由題意得|cosBAD4、解得BAD.以A為原點(diǎn)、AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)、則A(0,0)、B(4,0)、C(5、)、D(1、)、因?yàn)?