一元二次方程學習要點.doc

“一元二次方程”學習要點一、本章知識結(jié)構(gòu)1、知識結(jié)構(gòu)梳理一元二次方程的定義二元二次方程直接開方法配 方 法一元二次方程的解法公 式 法一元二次方程實際問題因式分解法根的判別式一元二次方程的應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系二次三項式的因式分解可化為一元二次方程的方程列方程解應(yīng)用題可化為一元二次方程的分式方程及應(yīng)用2、定理公式總結(jié)(1)一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a0)(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：(3)一元二次方程的根的判別式：=b2-4ac 。 * 原載于教材全程全解同步精講精練(初三代數(shù)全一冊)，中國少年兒童出版社, 2004年5月。(4)一元二次方程的根的判別式定理：0方程有兩個不相等的實數(shù)根；0方程有兩個相等的實數(shù)根；0方程沒有實數(shù)根；0方程有兩個實數(shù)根。(5)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=推論1：如果方程x2+px+q=0的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.推論2：以x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是：x2-( x1+x2)x+ x1x2=0(6)二次三項式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。其中x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩個根。(7)求一元二次方程兩根x1，x2的對稱式的值，常用公式：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 二、數(shù)學規(guī)律總結(jié)1、我們已學過的方程和方程組有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程組，二元二次方程組，它們都屬于代數(shù)方程中的有理方程。在我們學過的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（組）的最基本的知識和技能。熟練地解一元一次方程和一元二次方程是解代數(shù)方程（組）的關(guān)鍵和前提，因此，我們必須將這部分知識扎實地學好。2、本章介紹了一元二次方程的四種解法直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中公式法對于任何一個一元二次方程都適用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，關(guān)鍵是要正確理解公式的具體推導(dǎo)過程（即配方法），充分認識該知識的產(chǎn)生過程和來龍去脈，然后要牢固記住公式的形式、結(jié)構(gòu)和內(nèi)涵，用公式求方程的根時，就是運用二次根式的有關(guān)知識求兩個二次根式的值。但是，在解一元二次方程時，應(yīng)具體分析方程的特點，選擇適當?shù)姆椒?，以使解題過程簡便。一般地，一元二次方程解法的選擇順序是：先考慮直接開平方法，再考慮因式分解法，最后考慮公式法，配方法是推導(dǎo)求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除題目中要求用配方法解方程外），但配方法除了用于推導(dǎo)一元二次方程的求根公式以外，在學習其他數(shù)學內(nèi)容時，也有廣泛的應(yīng)用，因此配方法是一種很重要的數(shù)學方法，我們一定要正確理解配方的意圖，掌握配方的方法，把這部分知識學好學活。3、二次三項式ax2+bx+c在實數(shù)范圍能夠分解的條件b2-4ac04、一元二次方程ax2+bx+c=0有實根的條件b2-4ac0三、思想方法總結(jié)1、轉(zhuǎn)化思想在本章中，“轉(zhuǎn)化”思想象一條紅線貫穿于始終。解一元二次方程需轉(zhuǎn)化為一元一次方程；解分式方程需轉(zhuǎn)化為整式方程；解二元二次方程組需轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元二次方程。在實數(shù)范圍內(nèi)二次三項式的因式分解，需將之轉(zhuǎn)化成解對應(yīng)的一元二次方程的問題來解決，此外方程中字母系數(shù)的確定也是通過轉(zhuǎn)化為解方程問題而解決的。具體轉(zhuǎn)化過程及轉(zhuǎn)化方法如下圖所示：一元一次方程整式方程 因式分解 降次 一元二次方程去分母 整式化整式方程 代入法 消元“III”型二元二次方程組 因式分解 降次“IIII”型轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學中常見的一種數(shù)學思想，它的應(yīng)用十分廣泛，我們在解數(shù)學題時，常常運用轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。2、方程思想在解數(shù)學計算時，往往通過已知和未知的聯(lián)系，建立起方程或方程組，通過解方程或方程組，求出未知量的數(shù)值，從而使問題得以解決，這種通過列方程溝通已知和未知聯(lián)系的數(shù)學思想，通常稱為方程思想。方程思想在本章主要體現(xiàn)在列方程(組)解應(yīng)用題、利用判別式和韋達定理確定一元二次方程中待定系數(shù)(字母系數(shù))、二次三項式的因式分解、利用根與系數(shù)關(guān)系解形如的“”型方程組等。3、公式化與分類討論的思想在數(shù)學中，對那些有規(guī)律可循“成型的”數(shù)學問題，我們總希望找到一個公式，在解題時，只要把已知數(shù)代進去，就可以求出問題的結(jié)果(結(jié)論)，從而達到準確、高速解決該“模塊”的目的。如圓面積公式，梯形面積公式，由時間和速度求距離的公式S=Vt等等，在這個思想指導(dǎo)下，我們通過配方，求出了一元二次方程的求根公式x= ?？墒?，在我們的公式中，有一個二次根式，它的被開方數(shù)為=b2-4ac，當0時，根式有意義，公式才能成立，才能應(yīng)用；那么，當0時，公式就不能用了。這時，說明什么問題？方程ax2+bx+c=0(a0)沒有根嗎？不能這樣說，因為公式的推導(dǎo)過程已經(jīng)表明，只有在0時，才能得到求根公式，也就是說，只有0時，才可用求根公式法解一元二次方程，求出實數(shù)根。若0時，不能用公式求實數(shù)根，也許可以用別的方法求出來。這就提出了一個問題：能否在不解方程的情況下，判斷方程是否有實數(shù)根？通過仔細分析配方過程，終于弄清了“”對判別一元二次方程實數(shù)根的作用：對于方程ax2+bx+c=0(a0)來說，記=b2-4ac，那么：(1)若0，則方程有不相等的實數(shù)根；(2)若=0，則方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)若0，則方程沒有實數(shù)根。反之亦然由于0，=0，0，是對值的完全的分類，它同方程有不等實根，有相等實根和沒有實根(也是對方程根的情況是完全分類)三種情況一一對應(yīng)，這就為分類討論打下了基礎(chǔ)。此外，我們在遇有含有字母的方程時，我們要對字母系數(shù)分情況進行討論，再根據(jù)各情形的知識進行研究探索、求解等等。(前面已舉例)分類討論是數(shù)學中重要的思想方法，我們一定要注意體會該思想方法，積累自己的數(shù)學素養(yǎng)。本章所應(yīng)用的數(shù)學方法主要有：代入消元法；因式分解降次法；換元法；配方法。代入消元法和分解降次法主要體現(xiàn)在解二元二次方程組；換元法主要體現(xiàn)在解可化為一元二次方程的分式方程和二次三項式的因式分解；配方法主要體現(xiàn)在利用配方法解一元二次方程、一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等。四、解題方法指導(dǎo)1、觀察與分析的思維方法“觀察”和“分析”是解數(shù)學題中廣泛使用的基本思維方式，無論是解一元二次方程，分式方程及二元二次方程組，都離不開深入地觀察和分析。(1)解一元二次方程的觀察和分析解形如(x-m)2=n(n0)的方程，應(yīng)選用直接開平方法，先根據(jù)平方根意義得x-m=，再移項，得方程的根為x1=m+ , x2=m- .解形如(x-m)(x-n)=0的方程，可根據(jù)“幾個因式的積為零，那么這幾個因式中至少有一個因式為零”的情況，則可能化為x+m=0或x-n=0得到方程的根為x1=m, x2=n 。除了上述兩種形式的非一般式的一元二次方程，一般應(yīng)先化成一般形式ax2+bx+c=0(a0)后再解，對于容易分解的，用因式分解法解，對于不易因式分解的，再用公式法解。例如 選用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?x+2)2=4 , 3(x+1)(-x)=0 , 3x(x-)=1 , 2x2+3x(1-x)+2=0.分析：通過對提供的方程進行觀察和分析易得到下述結(jié)論：用直接開平方法較簡單；是兩個因式的積為0，可直接寫出x1=-1 , x2=；將之化為一般形式為3x2-2x-1=0，則可用因式分解法解較簡單；化為一般形式為x2-3x-2=0，因不易分解、故可用公式法解較合適。(2)解分式方程的觀察與分析“轉(zhuǎn)化”是解分式方程以及高次方程等比較復(fù)雜的方程基本思想。那么，如何實現(xiàn)轉(zhuǎn)化呢？這就要求我們根據(jù)提供的分式方程的式結(jié)構(gòu)進行觀察和分析，尋求出比較恰當?shù)那蠼夥椒ā⒎质椒匠剔D(zhuǎn)化為整式方程的方法是“去分母法”，實施這一方法的操作流程是將原方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)。但是，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的方程有時會是一個高次方程，到目前為止，我們還沒有找到解高次方程的一般方法，因此，可根據(jù)分式方程的“式結(jié)構(gòu)”特征，選用特殊的解法換元法。在使用換元法解分式方程時，要注意有些方程換元的特征比較明顯，有些卻不明顯，需要做適當?shù)淖冃?，方可顯露出換元的特征，如下列方程： 2(x2+)-9(x+)+14=0分析：上述方程中，和具備直接換元的條件，其中設(shè)y=可轉(zhuǎn)化為y2-y-2=0；設(shè) y=，可轉(zhuǎn)化為y+；要將方程中3x2+9x轉(zhuǎn)化為3(x2+3x)，設(shè)y=x2+3x，則原方程可變?yōu)?y-；要注意把握x2+與x+的關(guān)系，若設(shè)y=x+，則y2=x2+，x2+，則原方程變?yōu)椋?(y2-2)+y+14=0.(3)解二元二次方程組的觀察與分析我們所學習的二元二次方程組可分為兩種類型：第一類型即“”型，指的是由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，這類方程組的一般解法是“代入消元法”，第二類型即“”型，指的是由兩個二元二次方程組成的方程組，這類方程組的一般解法是“分解降次法”，通過分解降次，可將第二類型轉(zhuǎn)化為第一類型，再用代入消元法來解。因此，我們在解二元二次方程組時，一定要認真觀察和分析方程組中每個方程的類型和特征，采用“對癥下藥”的解題策略，尋求最適宜的求解方法。例如下列方程組： 分析：屬“”自然用代入消元法來解；屬“”則可用代入消元法來解，但是中的第1個方程可進行因式分解，則又可用“分解降次”法來解(要注意“”型有時也可用“分解降次”法來求解；屬“”型，則可用“分解降次”，當然也可用兩邊開平方法將之“裂變”為四個二元一次方程組來解；屬“”型，但只有第一個方程能用因式分解，則只可用“分解降次”法，將之“裂變”為兩個“”來解。2、分析與構(gòu)造的思維方法對于形如 的方程組，可用“韋達定理法”來解，即把x、y看作一元二次方程z2-az+b=0的兩個根，解這個一元二次方程就可求得方程組的解。其策略是根據(jù)“式結(jié)構(gòu)”巧妙地構(gòu)造出一個一元二次方程，然后通過解這個一元二次方程的方法達到解方程組的目的。利用韋達定理解某些具有上述特殊形式的二元二次方程組，能夠使問題化難為易，化繁為簡，觀察下列方程組： 這些方程組都可以用韋達定理法求解，有的可直接構(gòu)造方程，有的需要做適當?shù)淖冃魏?，再?gòu)造出一元二次方程。如，方程組可直接構(gòu)造以x、y為根的一元二次方程z2-7z+12=0；方程組先變形為 然后構(gòu)造出以x和-y為根的一元二次方程z2-11z+18=0；方程組，先變形為再構(gòu)造以x、y為根的方程z2-17z+60=0；方程組，先變形為 再構(gòu)造以x2、y2 為根的方程z2-5z+4=0,或者變形為或然后分別構(gòu)造以x、y為根的方程z2-3z+2=0.或z2+3z+2=0.3、分析與綜合的思維方法“分析”和“綜合”是兩種基本的思維方法，在數(shù)學中有著特別重要的作用。“分析”就是把事物的整體分解成若干個組成部分，并對各個部分分別進行考察；“綜合”就是把事物的各個部分聯(lián)結(jié)成一個整體，并從整體上加以研究，“先分析后綜合”這是人們認識事物的一條基本途徑，也是解數(shù)學題的一種常用的手段。數(shù)學綜合題，可以看成是由幾個互聯(lián)相關(guān)的“小題目”組成的一個“大題目”。解數(shù)學綜合題時，應(yīng)當先對綜合題進行“分析”把它分解成幾個互相關(guān)聯(lián)的“小題目”，并逐一解答這些“小題目”，再把“分析”所得的結(jié)果“綜合”起來，從而求得綜合題的答案。例如：(2003濟南中考)已知方程組 的兩個解為且x1,x2是兩個不相等的正數(shù)。求a的取值范圍;(2)若x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求a的值。分析：這是一道既涉及到方程組，又涉及到一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系的綜合題，它可以分解成如下3個“小題目”：方程組可轉(zhuǎn)化為一個什么樣的一元二次方程？若x1，x2為轉(zhuǎn)化成的一元二次方程的兩根，且x1x2，求待定參數(shù)a的范圍；若x1，x2為轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩根，且 x12+x22-3x1x2=8a2-6a-11，求待定參數(shù)a的值。從上例可以看出，解數(shù)學綜合題的過程，通常也是一個“先分析后綜合”的過程。 五、綜合題例分析例1 (2003北京市中考題)已知：關(guān)于x的方程x2-2mx+3m=0的兩個實數(shù)根是x1,x2,且(x1-x2)2=16,如果關(guān)于x的另一個方程x2-2mx+6m-9=0的兩個實數(shù)根都在x1和x2之間，求m的值。分析：首先根據(jù)x2-2mx+3m=0的兩根x1，x2滿足(x1-x2)2=16的條件，將參數(shù)m的值求出 ,然后根據(jù)m的值，將兩方程的根分別求出來，最后作出判斷。解 x1， x2是方程x2-2mx+3m=0的兩個實數(shù)根，x1+x2=2m，x1x2=3m(x1-x2)2=16 (x1+x2)2-4x1x2=164m2-12m=16解得m1=-1,m2=4當m=-1時，方程x2-2mx+3m=0為x2+2x-3=0，則x1=-3，x2=1，方程x2-2mx+6m-9=0為x2+2x-15=0，則x1= -5,x2=3-5，3不在-3和1之間 m=-1不合題意，舍去。當m=4時，方程x2-2mx+3m=0為x2-8x+12=0則x1=2，x2=6方程x2-2mx+6m-9=0為x2-8x+15=0則x1=3 x2=52356即x1x1x2x2 m=4 滿足題意綜合(1)和(2)，m=4評注 本題事實上就是根據(jù)題中給出的一個條件，運用根與系數(shù)的關(guān)系，求參數(shù)值的問題，不過本題已將該題型拓展延伸為判斷兩個方程根的大小范圍問題了。因此，我們在審題中，一定要有“慧眼識真金”的本領(lǐng)，善于將提供的“新”問題，通過分析、類比、綜合等思維方式，轉(zhuǎn)化到我們已經(jīng)會解決的“老”問題上來。例2 已知關(guān)于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-)=0 （1）求證：無論k取什么實數(shù)時，這個方程總有兩個實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=4，另外兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長。分析 （1）要證一個一元二次方程有兩個實根，只需要證明判別式0即可；（2）有關(guān)等腰三角形問題，若未指明腰和底邊時，要進行討論，因此，本題對a是等腰三角形的底邊還是等腰三角形的一腰要進行分類討論。解 （1）=-(2k+1)2-44(k-) =(2k-3)2 不論k取何值時，(2k-3)20，即0。不論k取何值時，這個方程有兩個實數(shù)根 當a是等腰三角形底邊時，這時b、c即為等腰三角形兩腰，則b=c方程有兩個相等的實數(shù)根。則=(2k-3)2=0 k=原方程即為x2-4x+4=0 . b=c=2當b=c=2時，b+c=2+2=4=a 這與“三角形中兩邊之和大于第三邊”相矛盾，故a不可能是此等腰三角形的底邊當a是等腰三角形的腰時，這時，b、c中至少有一個值為4，把x=4代入原方程中，16-4(2k+1)+4(k-)=0 k=，則原方程為x2-6x+8=0 兩根為x1=2，x2=4，即b、c兩邊一邊為2，另一邊為4，符合三角形三邊之周關(guān)系，這時ABC的周長為a+b+c=4+(2+4)=10評注 要判斷二次三項式的值的正負性，通常采用配方法，利用完全平方式的非負性來確定。由于本題中的a、b、c的值是三角形三邊的長，必須滿面足“兩邊之和大于第三邊”否則就不能構(gòu)成三角形的三邊。在遇有等腰三角形的問題時，若未指明誰是腰，誰是底邊時，一般要用分類討論法解決問題。例3 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2px-p2-1=0的兩個實數(shù)根為x1，x2.若此方程的兩根之和不大于兩根之積，求p的值。若p=-1，求x13+2x22+2x2的值。分析 利用根與系數(shù)關(guān)系建立關(guān)于p的不等式，由完全平方式的非負性，求出p的值。注意，最后一定要注意判別式的值為非負數(shù)。首先利用根的定義，對x13進行降次處理，把所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化成關(guān)于兩根對稱式的代數(shù)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出值來。解 x1，x2為方程兩根x1+x2=-2p x1x2=-p2-1據(jù)題意，得x1+x2x1x2即-2p-p2-1p2-2p+10(p-1)20 ，則p=1當p=1時，原方程為x2+2x-2=0 =120所求p的值為1.當p=-1時，方程x2+2px-p2-1=0。為x2-2x-2=0，x1、x2為方程兩負數(shù)根。由方程根的意義有：x12-2x1-2=0 即x12=2x1+2由根與系數(shù)關(guān)系有：x1+x2=2, x1x2=-2則x13+2x22+2x2=x1x12+2x22+2x2=x1(2x1+2)+2x22+2x2=2x21+2x1+2x22+2x2=2(x12+x22+x1+x2)=2(x1+x2)2-2x1x2+(x1+x2)=2(4+4+2)=20 評注 求關(guān)于一元二次方程的兩根的代數(shù)式的值，如果代數(shù)式是關(guān)于兩根的對稱式，先把這個代數(shù)式通過變形化成兩根之和及兩根之積的形式，再把由根與系數(shù)的關(guān)系所得的兩根之和及兩根之積的值代入即可；如果代數(shù)式不是兩根的對稱式，則由根的定義，通過對其中的次數(shù)為二次或二次以上的根用代入法進行降次，直到化為兩根的對稱式為止。一句話，就是用根的定義，將非輪換對稱式轉(zhuǎn)化成換對稱式來解決，這也體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化解”的數(shù)學思想方法。例4 已知a、b、c是ABC的三邊，a、b的值是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的兩個實根，且滿足25asinA=9c(1)求證ABC是直角三角形；(2)求a、b、c三邊的長。分析 (1)題中只給出了a、b的長是已知方程的兩根。因此，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，通過探求出三角形三邊a、b、c的關(guān)系，故可運用勾股定理的逆定理來證明ABC為直角三角形。(2)在(1)已證明了ABC為直角三角形的前提下，則SinA只可以用三角函數(shù)來表示邊間的關(guān)系，根據(jù)邊間關(guān)系及根與系數(shù)的關(guān)系，可求出a、b、c的值。解 (1)a、b是方程x2-(4+c)x+4c+8=0的兩根a+b=4+c ab=4C+8a2+b2=(a+b)2-2ab=(4+c)2-2(4c+8)=c2即 a2+b2=c2 ABC為直角三角形(2)25aSinA=9c 且SinA=25a=9c ， =設(shè)a=3k c=5k，則b=將a=3k ， b=4k ， c=5k代入a+b=4+ck 3k+4k=4+5k k=2a=6 ， b=8 ， c=10。評注 (1)確定一個三角形為直角三角形一般從邊和角這兩個方面去判斷，本題由于沒有提供角的關(guān)系，雖然提供了三角函數(shù)，但三角函數(shù)關(guān)系式也只能在直角三角形中使用(本題本身就是要我們證明此三角形為直角三角形)，故本題若選擇從角的方面來判斷該三角形是行不通的，而本題已知邊與方程根的關(guān)系，若運用根與系數(shù)的關(guān)系式，故可從邊的角度來判斷該三角形為直角三角形。(2)在直角三角形中，要注意用三角函數(shù)把問題轉(zhuǎn)化成純邊(或純角)的關(guān)系式來解決問題，本題(2)要求的是三角形的三邊，則我們可以通過三角函數(shù)的關(guān)系式，將問題轉(zhuǎn)化純邊來解決。在解題過程中，遇有邊邊之比的問題，則可引進比例系數(shù)k這個參數(shù)，要求三邊，則即求比例系數(shù)k。例5 若a、b是實數(shù)，關(guān)于x的方程|x2+ax+b|=2有三個不相等的實根。(1)求證：a2-4b-8=0(2)若該方程三個不相等實根恰好為一個三角形內(nèi)角的度數(shù)， 求證該三角形必有一內(nèi)角是60。(3)若該方程三個根恰為一直角三角形三邊，求a、b。分析 (1)由絕對值概念可得兩個一元二次方程，有三個不相等的實數(shù)根，說明得到的兩個方程中其中有一個方程有兩個相等的實數(shù)根，或得到的兩個方程中，必有一個公共的實根。(2)由三角形內(nèi)角之和為180和根與系數(shù)的關(guān)系可求得必有一根為60。(3)先判斷出直角三角形的斜邊是第哪一個方程的根，再由勾股定理建立方程來求解。解 (1)證明：|x2+ax+b|=2x2+ax+b-2=0 x2+ax+b+2=0 顯然方程和不可能有一公根，則方程和必有一個方程有兩個相等的實數(shù)根。1=a2