第二章-導(dǎo)數(shù)與微分教案

數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 教案標(biāo)題2.1導(dǎo)數(shù)的概念編號(hào)【教學(xué)目的要求】掌握和理解導(dǎo)數(shù)的定義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【教學(xué)重點(diǎn)】可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)幾何意義【教學(xué)難點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義【教學(xué)方法】講授【教學(xué)時(shí)數(shù)】實(shí)施步驟教學(xué)內(nèi)容提要時(shí)間【課外作業(yè)】 教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時(shí) 數(shù)： ）一、 導(dǎo)數(shù)概念的引例在實(shí)際問題中，經(jīng)常需要討論自變量的增量與相應(yīng)的函數(shù)的增量之間的關(guān)系，例如，它們的比以及時(shí)的極限下面討論曲線的切線問題這個(gè)問題在歷史上都與導(dǎo)數(shù)概念的形成有密切的關(guān)系曲線的切線的斜率圖2-1首先介紹曲線在一點(diǎn)處的切線，如圖2-1所示在曲線上取與鄰近的一點(diǎn)，作割線，當(dāng)沿著曲線逐漸向點(diǎn)接近時(shí)，割線將繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近時(shí)，割線的極限位置就叫做曲線在點(diǎn)處的切線下面求曲線在點(diǎn)處切線的斜率，設(shè)割線的傾斜角為，則割線的斜率為又設(shè)切線的傾斜角為，那么當(dāng)時(shí)，割線的斜率的極限就是切線的斜率，即 （）二、導(dǎo)數(shù)的定義 定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)函數(shù)取得增量備注：；如果當(dāng)時(shí)與之比的極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即 也可記作，或.如果在區(qū)間（）中的每一個(gè)確定的值，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣就確定了一個(gè)新的函數(shù)，此函數(shù)成為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。即= ，也可記作，或.在不致發(fā)生混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù).三、求導(dǎo)數(shù)由導(dǎo)數(shù)的定義，可以求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟：（1） 求函數(shù)的增量： （2） 求比值：=（3） 求極限：例1求函數(shù)(為正整數(shù))在的導(dǎo)數(shù).解: =即 例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解: = =即，類似地，可求得用導(dǎo)數(shù)的定義還可求得 當(dāng)時(shí)，有四、左、右導(dǎo)數(shù)既然導(dǎo)數(shù)是比值當(dāng)?shù)臉O限，那么，下面兩個(gè)極限 ，分別叫做函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，且分別記為和.根據(jù)左、右極限的性質(zhì)，我們有下面定理：定理1函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等例3 求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)解: 函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)=-1及右導(dǎo)數(shù)=1雖然都存在，但不相等，故在處不可導(dǎo)(如圖2-2)圖2-2五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由本節(jié)中切線問題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知：導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即 = （其中是切線的傾角）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并且應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程，曲線在點(diǎn)處的切線方程為 如果，那么曲線在點(diǎn)處的法線方程為 例4 求曲線的通過點(diǎn)（1，4）的切線方程解: 因?yàn)?，由?dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn) （1，4）處切線斜率為，所求的切線方程為： 即 六、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理2 如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)例5 討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。解: 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有，其極限值不存在，所以函數(shù)在處不可導(dǎo)。由以上討論可知，函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件. 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 教案標(biāo)題2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則編號(hào)【教學(xué)目的要求】掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，四則運(yùn)算求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 了解反函數(shù)求導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù) 【教學(xué)重點(diǎn)】四則運(yùn)算求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【教學(xué)難點(diǎn)】，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則【教學(xué)方法】講授【教學(xué)時(shí)數(shù)】實(shí)施步驟教學(xué)內(nèi)容提要時(shí)間【課外作業(yè)】 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 教案教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時(shí) 數(shù)：）一、 函數(shù)求導(dǎo)法則定理1 如果函數(shù)在處都可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且 。定理2 如果函數(shù)在點(diǎn)處都可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且函數(shù)積的求導(dǎo)法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)與第二個(gè)因子的乘積，加上第一個(gè)因子與第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)的乘積這個(gè)法則也可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)之積的情形. 特別地，若（為常數(shù)），那么這就是說(shuō)常數(shù)因子與函數(shù)乘積時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)的外面.定理3 如果函數(shù)在點(diǎn)處都可導(dǎo)且，則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且例1 ，求.解: =例2 ，求.解: =例3設(shè) ，求.解: 備注：常見基本求導(dǎo)公式表如下：1、，2、，3、4、，5、，6、7、，8、，9、10、，11、，12、，13、，14、，15、，16、。二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)定理4 如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，而在點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為例4 求的導(dǎo)數(shù).解： 函數(shù)可以看作由函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得=例5 求的導(dǎo)數(shù).解： 例6 求的導(dǎo)數(shù).解： 先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)： 三、反函數(shù)求導(dǎo)法則 若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)、單調(diào)且，則它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且或例7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）例8 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解： 因?yàn)槭堑姆春瘮?shù)，所以 即 =類似地，可推得 =例9 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）。解：（1）（2）四、高階導(dǎo)數(shù)1.定義：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為的函數(shù)，我們把的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作或或即 相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做的一階導(dǎo)數(shù)。類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)。一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù),分別記作：或或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。2.注：由高階導(dǎo)數(shù)定義可見，求高階導(dǎo)數(shù)就是多次接連求導(dǎo)，用前面學(xué)過的求導(dǎo)方法來(lái)計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)即可。例2：求下列函數(shù)的階導(dǎo)數(shù) （1） （2）解：（1） （2） 時(shí) 例3：求的階導(dǎo)數(shù)。解： 備注： 忠信篤行 自強(qiáng)不息 南昌工學(xué)院教學(xué)檔案 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 教案標(biāo)題2.3隱函數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)編號(hào)【教學(xué)目的要求】會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求相關(guān)變化率?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【教學(xué)難點(diǎn)】參數(shù)方程求導(dǎo)【教學(xué)方法】講授【教學(xué)時(shí)數(shù)】實(shí)施步驟教學(xué)內(nèi)容提要時(shí)間【課外作業(yè)】 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 教案教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時(shí) 數(shù)： ）一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 我們?cè)谇懊嫠龅降暮瘮?shù)，都可以表示為的形式，如，等，這樣的函數(shù)叫做顯函數(shù). 有時(shí)，我們會(huì)遇到用另外一種形式表示的函數(shù)，就是與的函數(shù)關(guān)系是由一個(gè)含和的方程所確定，例如中，如果當(dāng)變量在某一范圍內(nèi)取值時(shí)，總有相應(yīng)的變量與之對(duì)應(yīng)以滿足方程，則稱方程在該區(qū)域內(nèi)確定是的隱函數(shù).稱)是方程確定的隱函數(shù)的顯式.例如方程確定的隱函數(shù)的顯式是.將方程確定的隱函數(shù)表達(dá)為初等函數(shù)形式的顯式稱為隱函數(shù)的顯化.但有時(shí)顯化是困難的，有時(shí)是不可能的（如隱函數(shù)不是初等函數(shù)）.如.在實(shí)際問題中，求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并不需要先將隱函數(shù)顯化，而是可以利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，并注意到其中變量是的函數(shù)，就可以直接求出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例1 求方程確定的隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解： 等式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得， ，（在等式的左端對(duì)求導(dǎo)過程中，視為復(fù)合函數(shù)的中間變量，因?yàn)榧从?）解得 .一般地，設(shè)方程確定了隱函數(shù)，并設(shè)這隱函數(shù)已代入，則方程是恒等式（即），在恒等式兩端對(duì)求導(dǎo)（左端的求導(dǎo)過程中，視為復(fù)合函數(shù)的中間變量），得，從中解出，即是隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=.例2求由方程確定的隱函數(shù)在點(diǎn) = 0處的導(dǎo)數(shù).解： 將= 0代入方程，得= 0. 方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得將= 0， = 0代入上式，解之得 .備注：注： 對(duì)于求導(dǎo)函數(shù)利用三角公式、代數(shù)恒等式等先進(jìn)行整理再求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化運(yùn)算. 求多個(gè)因式連乘除或乘方的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，如用“商的求導(dǎo)法則”求導(dǎo)，必然帶來(lái)冗長(zhǎng)的運(yùn)算下面介紹一個(gè)較為簡(jiǎn)便的方法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.具體方法是先對(duì)等式兩端取對(duì)數(shù)，再按隱函數(shù)求導(dǎo)法則運(yùn)算通過下面的兩個(gè)例子介紹對(duì)數(shù)求導(dǎo)法： 例3 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解： 等式兩端取對(duì)數(shù),得 兩端對(duì)x求導(dǎo)，即得 對(duì)于冪指函數(shù)，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法也很有效.例4 求的導(dǎo)數(shù).解法1： 等式兩端取對(duì)數(shù)，得 ，兩端對(duì)求導(dǎo)，得，所以， 解法2： 因?yàn)?，按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有 =.二、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)有參數(shù)方程 它可以確定變量與之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，稱此函數(shù)為由參數(shù)方程確定的函數(shù)很多實(shí)際問題所確定的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程給出的.設(shè)其中有反函數(shù)，視是中間變量，由復(fù)合函數(shù)概念就建立了與的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有， 或 ；再根據(jù)反函數(shù)求導(dǎo)法則 （），代入上式，得到，或 這就是參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則.例5 已知橢圓的參數(shù)方程為 求橢圓在的相應(yīng)點(diǎn)處的切線方程.解： 由 得， 橢圓在點(diǎn)的切線方程的斜率為；所以，所求的切線方程為： ，即. 忠信篤行 自強(qiáng)不息 南昌工學(xué)院教學(xué)檔案 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) 教案標(biāo)題2.4 函數(shù)的微分編號(hào)【教學(xué)目的要求】掌握微分的定義，幾何意義，微分形式的不變性，微分公式與運(yùn)算法則【教學(xué)重點(diǎn)】 微分的定義，微分形式的不變性【教學(xué)難點(diǎn)】 微分的運(yùn)算【教學(xué)方法】講授【教學(xué)時(shí)數(shù)】實(shí)施步驟教學(xué)內(nèi)容提要時(shí)間【課外作業(yè)】 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 教案教 學(xué) 內(nèi) 容 （教 學(xué) 時(shí) 數(shù)： ）一、 微分的概念定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域U () 內(nèi)有定義，且+ U (). 如果函數(shù)的增量可以表示為的線性函數(shù)與一個(gè)比高階的無(wú)窮小的和，即 （A為與無(wú)關(guān)的常數(shù)）,稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，并稱A 為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記為 ，即 .由定義可見,所謂函數(shù)在點(diǎn)可微，即函數(shù)在點(diǎn)的改變量可以表示為兩項(xiàng)之和：第一項(xiàng)是的線性函數(shù)，它是便于計(jì)算的的線性函數(shù)，是表達(dá)的主要部分（可以證明它與在條件下是等價(jià)無(wú)窮?。?，故把第一項(xiàng)稱為的線性主部.第二項(xiàng)是比無(wú)窮小高階的無(wú)窮小，它的具體表達(dá)式往往是復(fù)雜的，但在相當(dāng)小時(shí)，在近似計(jì)算中可以忽略不計(jì)即有 .如果函數(shù)在點(diǎn)可微，如何求常數(shù)A？下面的定理不但解決了這個(gè)問題，而且還給出了可微與可導(dǎo)的關(guān)系.定理1 函數(shù)在點(diǎn)處可微的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).由微分的定義，比較兩者，即得 ，即自變量的微分等于自變量的改變量.于是，可以微分表達(dá)式 改為. (1)今后，以(1)作為函數(shù)的微分的表達(dá)式.實(shí)際上我們使用的導(dǎo)數(shù)的記法就是由(1)式得到，因此導(dǎo)數(shù)又稱作微商(微分之商).例1 分別計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)處，時(shí)的增量和微分.解：因?yàn)?=, ；所以時(shí)， ， ；時(shí)， ， .備注：由此題可見：若用代替可以簡(jiǎn)化計(jì)算，其誤差也較小，且越小，誤差就越小.為了更好的理解微分的概念，我們探討一下微分的幾何意義.二、 微分的幾何意義 設(shè)是函數(shù)的圖形曲線上的一定點(diǎn),給自變量有微小增量時(shí)，可得y Q P M dy 0 x0 x0+Dx x曲線上另一點(diǎn)，由圖2-4知： ，設(shè)曲線在點(diǎn)的切線的傾角為a ，則， 圖2-4 所以，當(dāng)是曲線上割線的增量，就是曲線切線的相應(yīng)增量.三、 微分公式與微分運(yùn)算法則由可知，要計(jì)算函數(shù)的微分,只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再乘以自變量的微分就可以了,所以我們從導(dǎo)數(shù)的基本公式就可以直接推出微分的基本公式和法則.1基本初等函數(shù)的微分公式由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以直接寫出基本初等函數(shù)的微分公式為了便于對(duì)照，上表所示。2 函數(shù)和、差、積、商的微分法則由于函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，可推得相應(yīng)的微分法則為了便于對(duì)照，列成下表（表中都可導(dǎo)）3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則（一階微分形式的不變性）一階微分形式不變性：設(shè)是可微函數(shù)，則無(wú)論是自變量，或是另一個(gè)變量的可微函數(shù)，都同樣有例2 求的微分.解：例3 求的微分.解： 例4 求有方程確定的隱函數(shù)的微分.解： 對(duì)所給方程的兩邊分別求微分,得 由于,故上式可化為 四、微分的應(yīng)用1、在近似計(jì)算中的應(yīng)用在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，且很小時(shí)，有即 （1）亦即 （2）令，