高中數(shù)學(xué)第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.1數(shù)學(xué)歸納法達(dá)標(biāo)訓(xùn)練新人教選修.docx

4.1 數(shù)學(xué)歸納法更上一層樓基礎(chǔ)鞏固1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+an+1=(nN,a1)，在驗證n=1成立時，左邊所得的項為（ ）A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3思路分析：如果不注意左邊的最后一項an+1的指數(shù)，就會錯誤地選擇A.答案：C2.某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n=k(kN+)時命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得（ ）A.當(dāng)n=6時該命題不成立B.當(dāng)n=6時該命題成立C.當(dāng)n=4時該命題不成立D.當(dāng)n=4時該命題成立思路分析：當(dāng)n=k時,左邊是(k+1)(k+2)(k+k),當(dāng)n=k+1時,左邊應(yīng)是(k+1)(k+2)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1),應(yīng)增添的因式是=2(2k+1).答案：D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+=時，由n=k的假設(shè)證明n=k+1時，如果從等式左邊證明右邊，則必須證得右邊為（ ）A.B.C.D.思路分析：把右邊的n全部換成k+1，就是應(yīng)該得到的形式.答案：D4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”時，第二步的歸納假設(shè)應(yīng)寫成（ ）A.假設(shè)n=2k+1(kN)時正確，再推證n=2k+3時正確B.假設(shè)n=2k-1(kN)時正確，再推證n=2k+1時正確C.假設(shè)n=k(kN)時正確，再推證n=k+1時正確D.假設(shè)nk(k1)時正確，再推證n=k+2時正確思路分析：如果n=2k+1(kN)，則k=1時，第一個奇數(shù)就不是1而是3，明顯錯誤.如果n=2k-1(kN)，那么k=1時，第一個奇數(shù)就是1，再推證就應(yīng)該是n=2（k+1）-1=2k+1.答案：B5.已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+=2()時，若已假設(shè)n=k(k2為偶數(shù)）時命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（ ）A.n=k+1時等式成立 B.n=k+2時等式成立C.n=2k+2時等式成立 D.n=2(k+2)時等式成立思路分析：因為已假設(shè)n=k(k2為偶數(shù)）時命題為真，接下來應(yīng)該證明n=2（ +1）成立，即n=k+2，而n=k+1為奇數(shù)，n=2k+2和n=2(k+2)均不滿足遞推關(guān)系，所以只有n=k+2滿足條件.答案：B6.凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k+1邊形的內(nèi)角和為f(k+1)=f(k)+_思路分析：f(k+1)=（k+1-2）.答案：7.平面上有n條直線，它們?nèi)魏蝺蓷l不平行，任何三條不共點，設(shè)k條這樣的直線把平面分成f(k)個區(qū)域，則k+1條直線把平面分成的區(qū)域數(shù)f(k+1)=f(k)+_.思路分析：我們不妨大膽嘗試考慮k=1時，f(1)=2，k=2時，f（2）=4，k=3時，f（3）=7，說明了f（k+1）在f（k）的基礎(chǔ)上又增加了k+1個區(qū)域.答案：k+1綜合應(yīng)用8.用數(shù)學(xué)歸納法證明：.思路分析：在由假設(shè)n=k成立時，再推證n=k+1時，左邊應(yīng)添加.證明：當(dāng)n=k+1時，左邊=k.9.用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）72n-42n-297能被264整除；（2）an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除（其中n，a為正整數(shù)）思路分析：（1）當(dāng)n=k+1時，左邊應(yīng)該想辦法分別提取公因數(shù)49和264.（2）n=k+1時，要通過湊項配形的方法來達(dá)到提取公因式的目的.證明：(1)當(dāng)n=k+1時，72(k+1)-42(k+1)-297=49(72k-42k-297)+3342k+48297=49(72k-42k-297)+338(24k-3+489)=49(72k-42k-297)+264(24k-3+489).能被264整除，命題正確.(2)n=k+1時，ak+2+(a+1)2k+1=(a+1)2ak+1+(a+1)2k-1+ak+2-ak+1(a+1)2=(a+12)ak+1+(a+1)2k-1-ak+1(a2+a+1).能被a2+a+1整除.10.求證：1-+-+.思路分析：在第（）步的證明中，必須清楚n=k時，n=k+1時所列等式的左右兩邊分別如何表達(dá)，并能正確使用歸納假設(shè)，尤其是代數(shù)變形能力（如因式分解、通分等）的運用要熟練.證明：（）當(dāng)n=1時，左式=1-=，右式=.左式=右式.當(dāng)n=1時，命題成立.（）假設(shè)當(dāng)n=k(1)時，命題成立，即1-+-+=.則當(dāng)n=k+1時,左式=1-+-+=()+=右式.當(dāng)n=k+1時，命題也成立.由（）（）可知，對一切自然數(shù)n，命題都成立.回顧展望11.已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=.（1）計算a2,a3,a4；（2）猜測an的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.思路分析：首先通過計算a2，a3，a4，然后猜想an的表達(dá)式，最后通過數(shù)學(xué)歸納法來證明.(1)解：由an+1=及a1=1，得a2=,進(jìn)而a3=,a4=.(2)證明：猜想an=,面用數(shù)學(xué)歸納