初一數(shù)學一元一次方程專題講解.docx

3.1 從算式到方程3.1.1一元一次方程知識點1定義1：含有未知數(shù)的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一個未知數(shù)(元)x，未知數(shù)x的指數(shù)都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程.例如： 1700+50x=1800， 2（x+1.5x）=5等都是一元一次方程. 1、 如果(m-1)x|m| +5=0是一元一次方程，那么m2、下列各式：3x+2y=1m-3=6x/2+2/3=0.5x2+1=2z/3-6=5z(3x-3)/3=45/x+2=1x+5中，一元一次方程的個數(shù)是（）、1 、2 、3 、43、若(a1)x|a|36是關于x的一元一次方程，則a；x。 4、下列各式中是一元一次方程的是( )。A、 B、 C、 D、5、根據(jù)“x的3倍與5的和比x的多2”可列方程( )。A、 B、 C、 D、6、下列方程 2（x+1）+3= 3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有( )個.A.1B.2C.3D.4知識點2方程的解：使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解. 注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實質上是求得的結果，它是一個數(shù)值(或幾個數(shù)值)，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無解的過程. 方程的解的檢驗方法，首先把未知數(shù)的值分別代入方程的左、右兩邊計算它們的值，其次比較兩邊的值是否相等從而得出結論.1、若x=1是方程k（x-2）=2的解，則k= 2、已知3是關于x的方程mx+1=0的根，那么m= 3、一個一元一次方程的解為2，請寫出這個一元一次方程 .4、若關于的一元一次方程的解是,則的值是（ ）A B1 C D05、（2009蕪湖）已知方程3x-9x+m=0的一個根是1，則m的值是 。 解：把x=1代入原方程，得3-91+m=0， 解得m=6 答案：66、方程的解為-1時，k的值為( )。A、10 B、-4 C、-6 D、-87、如果方程與方程是同解方程，則k= 。8、方程的解與關于x的方程的解互為倒數(shù)，求k的值。9、已知x=-1是關于x的方程的一個解，求5的值。10、y=1是方程的解，求關于x的方程的解。11、（2004青海）關于x的方程ax-3=0的根是2，則a=_。12、（2004吉林）已知m是方程-x-2=0的一個根，則代數(shù)式的值等于_.3.1.2 等式的性質等式的性質(1)：等式兩邊都加上(或減去)同個數(shù)(或式子)，結果仍相等.等式的性質(1)用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc(2)等式的性質(2)：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等，等式的性質(2)用式子形式表示為：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c0)，那么=1、列結論正確的是（ ）A若x+3=y-7,則x+7=y-11;B若7y-6=5-2y,則7y+6=17-2y;C若0.25x=-4,則x=-1;D若7x=-7x,則7=-7.2、列說法錯誤的是（ ）.A若,則x=y; B若x2=y2,則-4x2=-4y2;C若-x=6,則x=-;D若6=-x,則x=-6.3、知等式ax=ay,下列變形不正確的是（ ）.Ax=yBax+1= ay+1Cay=axD3-ax=3-ay4、列說法正確的是（ ）A等式兩邊都加上一個數(shù)或一個整式，所得結果仍是等式；B等式兩邊都乘以一個數(shù)，所得結果仍是等式；C等式兩邊都除以同一個數(shù)，所以結果仍是等式；D一個等式的左、右兩邊分別與另一個等式的左、右兩邊分別相加，所得結果仍是等式；5、等式2-=1變形，應得（ ）A6-x+1=3B6-x-1=3C2-x+1=3D2-x-1=33.2 解一元一次方程（一）五、解方程的一般步驟1. 去分母(方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù))2. 去括號(按去括號法則和分配律)3. 移項(把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其他項都移到方程的另一邊，移項要變號)4. 合并(把方程化成ax = b (a0)形式)5. 系數(shù)化為1(在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=).1、要解方程4.5(x+0.7)=9x ,最簡便的方法應該首先（）、去括號、移項、方程兩邊同時乘以、方程兩邊同時除以4.5分析：由于是4.5的倍，所以選擇最簡便2、解方程解：去括號xx x移項xxx合并x系數(shù)化為x3、如果,那么等于（ ）(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45分析與解：移項，得2005-200.5+20.05=x，解得：x=1824.55.答案為A.4、 (x-1)-3-3=3解：去大括號，得 (x-1)-3-2=3去中括號，得(x-1)-3-2=3去小括號，得x-3-2=3移項，得x=+3+2+3合并，得x=系數(shù)化為1，得：x = 175、（2008江蘇）解方程： 解：去括號，得 移項、合并同類項，得-x=6， 系數(shù)化為1，得x=-66、已知關于x的方程無解，則a的值是（ ） A.1 B.-1 C.1 D.不等于1的數(shù) 解：去分母，得2x+6a=3x-x+6， 即0x=6-6a 因為原方程無解，所以有6-6a0，即a1，7、（2003黃州）解方程：.8、已知y=1是方程2-(m-y)=2y的解，求關于x的方程m(x-3)-2=m(2x-5)的解。9、解方程（1） （ 2）（3） （4）（5） （6）10、方程中有未知字母，根據(jù)方程的解，求未知字母（1）已知是方程的解，求的值.（2）已知時，代數(shù)式的值是14，求時代數(shù)式的值3.4 實際問題與一元一次方程（1）用方程思想解決實際問題的一般步驟1. 審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間的關系2. 設：設未知數(shù)(可分直接設法，間接設法)3. 列：根據(jù)題意列方程4. 解：解出所列方程5. 檢：檢驗所求的解是否符合題意6. 答：寫出答案(有單位要注明答案)（2）有關常用應用類型題及各量之間的關系1. 和、差、倍、分問題： （1）倍數(shù)關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率”來體現(xiàn). （2）多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn).2. 等積變形問題： “等積變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?常用等量關系為： 形狀面積變了，周長沒變；原料體積成品體積.3.調配問題： 這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有： （1）既有調入又有調出； （2）只有調入沒有調出，調入部分變化，其余不變；（3）只有調出沒有調入，調出部分變化，其余不變（1）有兩個工程隊，甲工程隊有32人，乙工程隊有28人，如果是甲工程隊的人數(shù)是工程隊人數(shù)的2倍，需從乙工程隊抽調多少人到甲工程隊？（2）某班同學利用假期參加夏令營活動，分成幾個小組，若每組7人還余1人，若每組8人還缺6人，問該班分成幾個小組，共有多少名同學？4. 數(shù)字問題 （1）要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù)，且1a9， 0b9， 0c9）則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c.（2）數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n2表示；奇數(shù)用2n+1或2n1表示.（1）已知三個連續(xù)偶數(shù)的和是2004，求這三個偶數(shù)各是多少？（2）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小5，若此兩位數(shù)的兩個數(shù)字位置交換，得一新兩位數(shù)，那么新兩位數(shù)與原兩位數(shù)大45，求新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的積是多少？5. 工程問題： 工程問題中的三個量及其關系為：工作總量=工作效率工作時間 工程問題有三個基本量：工作量、工作時間、工作效率，其基本關系為：工作量=工作效率工作時間； 一般情況下把全部工作量看作1（1）一個水池安有甲乙丙三個水管，甲單獨開12h注滿水池，乙單獨開8h注滿,丙單獨開24h可排掉滿池的水，如果三管同開，多少小時后剛好把水池注滿水？（2）某工程，甲單獨完成續(xù)20天，乙單獨完成續(xù)12天，甲乙合干6天后，再由乙繼續(xù)完成，乙再做幾天可以完成全部工程?6.行程問題： （1）行程問題中的三個基本量及其關系： 路程=速度時間. （2）基本類型有 相遇問題； 追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題.水上（空中）問題此類問題主要涉及四個量：靜水船速、水速、逆水船速、順水船速基本關系為：順水船速=靜水船速+水速；逆水船速=靜水船速水速（1）甲乙兩個人在400米的環(huán)形跑道上同時同點出發(fā)，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，乙跑幾圈后，甲可超過乙一圈？（2）甲乙兩站相距300km，一列慢車從甲站開往乙站，每小時行40km，一列快車從乙站開往甲站，每小時行80km，已知慢車先行1.5h，快車7. 商品銷售問題有關關系式： 商品利潤=商品售價商品進價=商品標價折扣率商品進價商品利潤率=商品利潤/商品進價 商品售價=商品標價折扣率再開出，問快車開出多少小時后與慢車相遇？（1）某產品按原價提高40%后打八折銷售，每件商品賺270元，問該商品原標價多少元？現(xiàn)銷售價是多少？（2）甲乙兩件衣服的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將家服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價，在實際銷售時，應顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲乙兩件服裝成本各是多少元？8. 儲蓄問題 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅 利息=本金利率期數(shù) 本息和=本金+利息 利息稅=利息稅率（20%）9、增長率問題（降低率）增長率問題有三個基本量：凈增量、基礎量、增長率， 基本關系 ；1、（2009福州）某班學生為希望工程共捐款131元，比每人平均2 元還多35元，設這個班的學生有x人，根據(jù)題意列方程為_。 解題思路：本題的相等關系是捐款總數(shù)相等，解決此題的關鍵是用學生人數(shù)、平均數(shù)與余數(shù)35元表示出捐款總數(shù)（2x+35）元。 答案：2x+35=1312、王老師去集貿市場買雞蛋，小販稱好以后，王老師發(fā)現(xiàn)所買的10斤雞蛋好象比原來少了一些，于是王老師就把雞蛋拾進了自己的籃子已知籃子重一斤里又讓小販稱了一下，結果是11斤1兩，于是王老師就讓小販找回自己一斤雞蛋錢，你知道王老師是怎么知道小販少給自己一斤雞蛋的嗎？分析：解決問題的關鍵因素籃子：為什么不用籃子正好是10斤，而用了籃子就是11斤1兩呢？這就是說小販的稱出了問題：一斤的籃子被稱成了一斤一兩。從而可設小販稱的10斤雞蛋的實際質量是x斤，由題意分析可知：x:10=1:1.1, 所以x=10:119.09斤。也就是說小販稱的10斤雞蛋實際上約有9.09斤，所以王老師的做法是對的例2、某校初三年級學生參加社會實踐活動，原計劃租用30座客車若干輛，但還有15人無座位。 （1）設原計劃租用30座客車x輛，試用含x的代數(shù)式表示該校初三年級學生的總人數(shù)； （2）現(xiàn)決定租用40座客車，則可比原計劃租30座客車少一輛，且所租40座客車中有一輛沒有坐滿，只坐35人。請你求出該校初三年級學生的總人數(shù)。 分析：本題表示初三年級總人數(shù)有兩種方案，用30座客車的輛數(shù)表示總人數(shù)：30x+15用40座客車的輛數(shù)表示總人數(shù)：40（x2）+35。 解：（1）該校初三年級學生的總人數(shù)為：30x+15 （2）由題意得： 30x+1540（x2）+35 解得：x6 30x1530615195（人） 答：初三年級總共195人。3.某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳經(jīng)過測試：同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學生就餐（1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐；（2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐？請說明理由分析：可以先設1個小餐廳可供名學生就餐，這樣的話，2個小餐廳就可供2y個學生就餐，因此大餐廳就可共（1680-2y）名學生就餐.然后在根據(jù)開放2個大餐廳、1個小餐廳可以就餐的人數(shù)列出方程2（1680-2y）+y=2280解：（1）設1個小餐廳可供名學生就餐，則1個大餐廳可供（1680-2y）名學生就餐，根據(jù)題意，得2（1680-2y）+y=2280解得：y=360（名）所以1680-2y=960（名）答：（略）（2）因為，所以如果同時開放7個餐廳，能夠供全校的5300名學生就餐【點撥】第問屬于直接列方程解應用題，而第問屬于說理題，關鍵是求出這7個餐廳共能容納多少人就餐，然后比較即可.4、工藝商場按標價銷售某種工藝品時，每件可獲利45元；按標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.該工藝品每件的進價、標價分別是多少元？分析：根據(jù)利潤=售價-進價與售價=標價折扣率這兩個等量關系以及按標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等，就可以列出一元一次方程.解：設該工藝品每件的進價是元,標價是（45+x）元.依題意，得: 8（45+x）0.85-8x=（45+x-35）12-12x解得：x=155（元）所以45+x=200（元） 答：（略）. 【點撥】這是銷售問題，在解答銷售問題時把握下列關系即可：商品售價=商品標價折扣率商品利潤=商品售價商品進價=商品標價折數(shù)商品進價商品利潤率=100%5、（2006益陽市）八年級三班在召開期末總結表彰會前，班主任安排班長李小波去商店買獎品，下面是李小波與售貨員的對話：李小波：阿姨，您好！售貨員：同學，你好，想買點什么？李小波：我只有100元，請幫我安排買10支鋼筆和15本筆記本.售貨員：好，每支鋼筆比每本筆記本貴2元，退你5元，請清點好，再見.根據(jù)這段對話，你能算出鋼筆和筆記本的單價各是多少嗎？分析：這是一道情景對話問題，具有一定的新穎性.解答這類問題的關鍵是要從對話中捕捉等量關系.從對話中可以知道每支鋼筆比每本筆記本貴2元，同時還可以發(fā)現(xiàn)買10支鋼筆和15本筆記本共消費（100-5）=95元.根據(jù)上述等量關系可以得到相應的方程.解：設筆記本每本x元，則鋼筆每支為（x+2）元，據(jù)題意得10（x+2）+15x=100-5解得，x=3（元）所以x+2=5（元）答：（略）6、某工廠計劃26小時生產一批零件，后因每小時多生產5件，用24小時，不但完成了任務，而且還比原計劃多生產了60件，問原計劃生產多少零件？7、甲、乙兩種商品的單價之和為100元，因為季節(jié)變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調價后，甲、乙兩商品的單價之和比原計劃之和提高2%，求甲、乙兩種商品的原來單價？8、甲、已兩個團體共120人去某風景區(qū)旅游。風景區(qū)規(guī)定超過80人的團體可購買團體票，已知每張團體比個人票優(yōu)惠20%，而甲、已兩團體人數(shù)均不足80人，兩團體決定合起來買團體票，共優(yōu)惠了 480元，則團體票每張多少張？9、（2004陜西）足球比賽的記分規(guī)則為：勝一場得3分。平一場得1分，輸一場得0分，一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽了8場，輸了1場， 得17分，請問： （1）前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？ （2）這支球隊打滿14場比賽，最高能得多少分？ （3）通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，得分不低于29分， 就可以達到預期的目標，請你分析一下，在后面的6場比賽中， 這支球隊至少要勝幾場，才能達到預期目標？本章綜合練習1、在梯形面積公式S=（a+b）h中，如果a=5cm,b=3cm,S=16cm2,那么h=（ ）A2cmB5cmC4cmD1cm2、若關于x的方程3(x-1)+a=b(x+1)是一元一次方程，則（ ）.Aa,b為任意有理數(shù)Ba0Cb0Db33、方程=4x+5的解是（ ）.Ax=-3或x=-Bx=3或x=Cx=-Dx=-34、若關于x的方程10-與方程8-2x=3x-2的解相同，則k的值為( )A.0B.2C.3D.45、當a= 時，方程的解是x=0.6、若（1-3x）2+=0,，則6+m2= .7、a+b=0，可得a=；由a-b=0,可得a= ;由ab=1,可得a= 8、若與互為相反數(shù)，則a等于 9、是方程的解，則 10、方程，則 11、已知方程(m+1)xm+3=0是關于x的一元一次方程，則m的值是 12、在等式中，已知，則 13、甲、乙兩人在相距10千米的A、B兩地相向而行，甲每小時走x千米，乙每小時走2x千米，兩人同時出發(fā)1.5小時后相遇，列方程可得 14、將1000元人民幣存入銀行2年，年利息為5，到期后，扣除20的