2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅱ）（含解析版）.pdf

關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 1頁(yè) 共 12頁(yè) 2013 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 新課標(biāo) 一一 選擇題選擇題 本大題共本大題共 12 小題小題 每小題每小題 5 分分 共共 60 分分 在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是只有一項(xiàng)是 符合題目要求的 符合題目要求的 1 5 分 已知集合 M x x 1 2 4 x R N 1 0 1 2 3 則 M N A 0 1 2 B 1 0 1 2 C 1 0 2 3 D 0 1 2 3 2 5 分 設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 1 i z 2i 則 z A 1 iB 1 iC 1 iD 1 i 3 5 分 等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 已知 S3 a2 10a1 a5 9 則 a1 A B C D 4 5 分 已知 m n 為異面直線 m 平面 n 平面 直線 l 滿足 l m l n l l 則 A 且 l B 且 l C 與 相交 且交線垂直于 lD 與 相交 且交線平行于 l 5 5 分 已知 1 ax 1 x 5的展開式中 x2的系數(shù)為 5 則 a A 4B 3 C 2D 1 6 5 分 執(zhí)行右面的程序框圖 如果輸入的 N 10 那么輸出的 S A B C D 7 5 分 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 O xyz 中的坐標(biāo)分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí) 以 zOx 平面為投影面 則得到正視圖可以為 A B C D 8 5 分 設(shè) a log36 b log510 c log714 則 A c b aB b c aC a c bD a b c 9 5 分 已知 a 0 實(shí)數(shù) x y 滿足 若 z 2x y 的最小值為 1 則 a A 2B 1C D 10 5 分 已知函數(shù) f x x3 ax2 bx c 下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A x0 R f x0 0 B 函數(shù) y f x 的圖象是中心對(duì)稱圖形 C 若 x0是 f x 的極小值點(diǎn) 則 f x 在區(qū)間 x0 單調(diào)遞減 D 若 x0是 f x 的極值點(diǎn) 則 f x0 0 11 5 分 設(shè)拋物線 C y2 2px p 0 的焦點(diǎn)為 F 點(diǎn) M 在 C 上 MF 5 若以 MF 為直徑的圓過(guò) 點(diǎn) 0 2 則 C 的方程為 A y2 4x 或 y2 8xB y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16xD y2 2x 或 y2 16x 12 5 分 已知點(diǎn) A 1 0 B 1 0 C 0 1 直線 y ax b a 0 將 ABC 分割為面積相 等的兩部分 則 b 的取值范圍是 A 0 1 B C D 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 分 13 5 分 已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2 E 為 CD 的中點(diǎn) 則 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 2頁(yè) 共 12頁(yè) 14 5 分 從 n 個(gè)正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個(gè)不同的數(shù) 若取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為 則 n 15 5 分 設(shè) 為第二象限角 若 tan 則 sin cos 16 5 分 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 已知 S10 0 S15 25 則 nSn的最小值為 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 17 12 分 ABC 在內(nèi)角 A B C 的對(duì)邊分別為 a b c 已知 a bcosC csinB 求 B 若 b 2 求 ABC 面積的最大值 18 12 分 如圖 直棱柱 ABC A1B1C1中 D E 分別是 AB BB1的中點(diǎn) AA1 AC CB AB 證明 BC1 平面 A1CD 求二面角 D A1C E 的正弦值 19 12 分 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品 在一個(gè)銷售季度內(nèi) 每售出 1t 該產(chǎn)品獲利潤(rùn) 500 元 未售出的 產(chǎn)品 每 1t 虧損 300 元 根據(jù)歷史資料 得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖 如圖所 示 經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了 130t 該農(nóng)產(chǎn)品 以 x 單位 t 100 x 150 表示下一個(gè)銷 售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量 T 單位 元 表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn) 將 T 表示為 x 的函數(shù) 根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn) T 不少于 57000 元的概率 在直方圖的需求量分組中 以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值 并以需求量落入該區(qū)間的 頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率 例如 若 x 100 110 則取 x 105 且 x 105 的概率等 于需求量落入 100 110 的頻率 求 T 的數(shù)學(xué)期望 20 12 分 平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 過(guò)橢圓 M a b 0 右焦點(diǎn)的直線 x y 0 交 M 于 A B 兩點(diǎn) P 為 AB 的中點(diǎn) 且 OP 的斜率為 求 M 的方程 C D 為 M 上的兩點(diǎn) 若四邊形 ACBD 的對(duì)角線 CD AB 求四邊形 ACBD 面積的最大值 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 3頁(yè) 共 12頁(yè) 21 12 分 已知函數(shù) f x ex ln x m 設(shè) x 0 是 f x 的極值點(diǎn) 求 m 并討論 f x 的單調(diào)性 當(dāng) m 2 時(shí) 證明 f x 0 選考題選考題 第第 22 題題 第第 24 題為選考題題為選考題 考生根據(jù)要求作答考生根據(jù)要求作答 請(qǐng)考生在第請(qǐng)考生在第 22 23 24 題中任選擇一題題中任選擇一題 作答 如果多做 則按所做的第一部分評(píng)分 作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào) 作答 如果多做 則按所做的第一部分評(píng)分 作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào) 22 10 分 選修 4 1 幾何證明選講 如圖 CD 為 ABC 外接圓的切線 AB 的延長(zhǎng)線交直線 CD 于點(diǎn) D E F 分別為弦 AB 與弦 AC 上的點(diǎn) 且 BC AE DC AF B E F C 四點(diǎn)共圓 1 證明 CA 是 ABC 外接圓的直徑 2 若 DB BE EA 求過(guò) B E F C 四點(diǎn)的圓的面積與 ABC 外接圓面積的比值 23 已知?jiǎng)狱c(diǎn) P Q 都在曲線 為參數(shù) 上 對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為 與 2 0 2 M 為 PQ 的中點(diǎn) 1 求 M 的軌跡的參數(shù)方程 2 將 M 到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離 d 表示為 的函數(shù) 并判斷 M 的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) 24 選修 4 5 不等式選講 設(shè) a b c 均為正數(shù) 且 a b c 1 證明 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 4頁(yè) 共 12頁(yè) 2013 年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷 理科 新課標(biāo) 新課標(biāo) 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一一 選擇題選擇題 本大題共本大題共 12 小題小題 每小題每小題 5 分分 共共 60 分分 在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是只有一項(xiàng)是 符合題目要求的 符合題目要求的 1 考點(diǎn) 交集及其運(yùn)算 一元二次不等式及其應(yīng)用 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 求出集合 M 中不等式的解集 確定出 M 找出 M 與 N 的公共元素 即可確定出兩集合的交 集 解答 解 由 x 1 2 4 解得 1 x 3 即 M x 1 x 3 N 1 0 1 2 3 M N 0 1 2 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 此題考查了交集及其運(yùn)算 熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵 2 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)所給的等式兩邊同時(shí)除以 1 i 得到 z 的表示式 進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算 分子和分母同 乘以分母的共軛復(fù)數(shù) 整理成最簡(jiǎn)形式 得到結(jié)果 解答 解 復(fù)數(shù) z 滿足 z 1 i 2i z 1 i 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)形式的除法運(yùn)算 是一個(gè)基礎(chǔ)題 這種題目若出現(xiàn)一定是一個(gè)送分題目 注意 數(shù)字的運(yùn)算 3 考點(diǎn) 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分 析 設(shè) 等 比 數(shù) 列 an 的 公 比 為 q 利 用 已 知 和 等 比 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 即 可 得 到 解出即可 解答 解 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q S3 a2 10a1 a5 9 解得 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵 4 考點(diǎn) 平面的基本性質(zhì)及推論 平面與平面之間的位置關(guān)系 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由題目給出的已知條件 結(jié)合線面平行 線面垂直的判定與性質(zhì) 可以直接得到正確的結(jié)論 解答 解 由 m 平面 直線 l 滿足 l m 且 l 所以 l 又 n 平面 l n l 所以 l 由直線 m n 為異面直線 且 m 平面 n 平面 則 與 相交 否則 若 則推出 m n 與 m n 異面矛盾 故 與 相交 且交線平行于 l 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面與平面之間的位置關(guān)系 考查了平面的基本性質(zhì)及推論 考查了線面平行 線面垂直的判定與性質(zhì) 考查了學(xué)生的空間想象和思維能力 是中檔題 5 考點(diǎn) 二項(xiàng)式定理 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中 x2的系數(shù)為 a 5 由此解得 a 的值 解答 解 已知 1 ax 1 x 5 1 ax 1 x x2 x3 x4 x5 展開式中 x2的系數(shù)為 a 5 解得 a 1 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式 求展開式中某項(xiàng)的系數(shù) 屬于 中檔題 6 考點(diǎn) 程序框圖 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 從賦值框給出的兩個(gè)變量的值開始 逐漸分析寫出程序運(yùn)行的每一步 便可得到程序框圖表 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 5頁(yè) 共 12頁(yè) 示的算法的功能 解答 解 框圖首先給累加變量 S 和循環(huán)變量 i 賦值 S 0 1 1 k 1 1 2 判斷 k 10 不成立 執(zhí)行 S 1 k 2 1 3 判斷 k 10 不成立 執(zhí)行 S 1 k 3 1 4 判斷 k 10 不成立 執(zhí)行 S 1 k 4 1 5 判斷 i 10 不成立 執(zhí)行 S k 10 1 11 判斷 i 10 成立 輸出 S 算法結(jié)束 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí) 常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果 找規(guī)律 7 考點(diǎn) 簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 由題意畫出幾何體的直觀圖 然后判斷以 zOx 平面為投影面 則得到正視圖即可 解答 解 因?yàn)橐粋€(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系 O xyz 中的坐標(biāo)分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 幾何體的直觀圖如圖 是正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的一個(gè)正四面體 所以 以 zOx 平面為投影面 則得到正視圖為 故選 故選 A 點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的三視圖的判斷 根據(jù)題意畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵 考查空間想 象能力 8 考點(diǎn) 對(duì)數(shù)值大小的比較 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 利用 loga xy logax logay x y 0 化簡(jiǎn) a b c 然后比較 log32 log52 log72 大小即可 解答 解 因?yàn)?a log36 1 log32 b log510 1 log52 c log714 1 log72 因?yàn)?y log2x 是增函數(shù) 所以 log27 log25 log23 所以 log32 log52 log72 所以 a b c 故選 故選 D 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式與不等關(guān)系 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用 不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用 屬 于基礎(chǔ)題 9 考點(diǎn) 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域 利用線性規(guī)劃的知識(shí) 通過(guò)平移即先確定 z 的最優(yōu)解 然后確 定 a 的值即可 解答 解 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域 陰影部分 由 z 2x y 得 y 2x z 平移直線 y 2x z 由圖象可知當(dāng)直線 y 2x z 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C 時(shí) 直線 y 2x z 的截距最小 此時(shí) z 最 小 即 2x y 1 由 解得 即 C 1 1 點(diǎn) C 也在直線 y a x 3 上 1 2a 解得 a 故選 故選 C 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 6頁(yè) 共 12頁(yè) 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用 利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法 10 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則得出 f x 分 0 與 0 討論 列出表格 即可得出 解答 解 f x 3x2 2ax b 1 當(dāng) 4a2 12b 0 時(shí) f x 0 有兩解 不妨設(shè)為 x1 x2 列表如下 x x1 x1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 由表格可知 x2是函數(shù) f x 的極小值點(diǎn) 但是 f x 在區(qū)間 x2 不具有單調(diào)性 故 C 不正確 f x x3 ax2 bx c 2c f x 點(diǎn) P為對(duì)稱中心 故 B 正確 由表格可知 x1 x2分別為極值點(diǎn) 則 故 D 正確 x 時(shí) f x x f x 函數(shù) f x 必然穿過(guò) x 軸 即 x R f x 0 故 A 正確 2 當(dāng) 0 時(shí) 故 f x 在 R 上單調(diào)遞增 此時(shí)不存在極值點(diǎn) 故 D 正 確 C 不正確 B 同 1 中 正確 x 時(shí) f x x f x 函數(shù) f x 必然穿過(guò) x 軸 即 x0 R f x0 0 故 A 正確 綜上可知 錯(cuò)誤的結(jié)論是 C 由于該題選擇錯(cuò)誤的 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 中心得出的定義 單調(diào)性與極值的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與方法 考查 了分類討論的思想方法等基本方法 11 考點(diǎn) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 根據(jù)拋物線方程算出 OF 設(shè)以 MF 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) A 0 2 在 Rt AOF 中利用勾股 定理算出 AF 再由直線 AO 與以 MF 為直徑的圓相切得到 OAF AMF Rt AMF 中利 用 AMF 的正弦建立關(guān)系式 從而得到關(guān)于 p 的方程 解之得到實(shí)數(shù) p 的值 進(jìn)而得到拋物線 C 的方程 解答 解 拋物線 C 方程為 y2 2px p 0 焦點(diǎn) F 坐標(biāo)為 0 可得 OF 以 MF 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) 0 2 設(shè) A 0 2 可得 AF AM Rt AOF 中 AF sin OAF 根據(jù)拋物線的定義 得直線 AO 切以 MF 為直徑的圓于 A 點(diǎn) OAF AMF 可得 Rt AMF 中 sin AMF MF 5 AF 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 7頁(yè) 共 12頁(yè) 整理得 4 解之可得 p 2 或 p 8 因此 拋物線 C 的方程為 y2 4x 或 y2 16x 故選 故選 C 方法二 拋物線 C 方程為 y2 2px p 0 焦點(diǎn) F 0 設(shè) M x y 由拋物線性質(zhì) MF x 5 可得 x 5 因?yàn)閳A心是 MF 的中點(diǎn) 所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 圓心橫坐標(biāo)為 由已知圓半徑也為 據(jù)此可知該圓與 y 軸相切于點(diǎn) 0 2 故圓心縱坐標(biāo)為 2 則 M 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 4 即 M 5 4 代入拋物線方程得 p2 10p 16 0 所以 p 2 或 p 8 所以拋物線 C 的方程為 y2 4x 或 y2 16x 故選 故選 C 點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線一條長(zhǎng)度為 5 的焦半徑 MF 以 MF 為直徑的圓交拋物線于點(diǎn) 0 2 求拋 物線的方程 著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 圓的性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí) 屬于中 檔題 12 考點(diǎn) 三角形的面積公式 確定直線位置的幾何要素 點(diǎn)到直線的距離公式 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 解法一 先求得直線 y ax b a 0 與 x 軸的交點(diǎn)為 M 0 由 0 可得點(diǎn) M 在 射線 OA 上 求出直線和 BC 的交點(diǎn) N 的坐標(biāo) 若點(diǎn) M 和點(diǎn) A 重合 求得 b 若點(diǎn) M 在點(diǎn) O 和點(diǎn) A 之間 求得 b 若點(diǎn) M 在點(diǎn) A 的左側(cè) 求得 b 1 再把以上得到的 三個(gè) b 的范圍取并集 可得結(jié)果 解法二 考查臨界位置時(shí)對(duì)應(yīng)的 b 值 綜合可得結(jié)論 解答 解 解法一 由題意可得 三角形 ABC 的面積為 1 由于直線 y ax b a 0 與 x 軸的交點(diǎn)為 M 0 由直線 y ax b a 0 將 ABC 分割為面積相等的兩部分 可得 b 0 故 0 故點(diǎn) M 在射線 OA 上 設(shè)直線 y ax b 和 BC 的交點(diǎn)為 N 則由可得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為 若點(diǎn) M 和點(diǎn) A 重合 則點(diǎn) N 為線段 BC 的中點(diǎn) 故 N 把 A N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線 y ax b 求得 a b 若點(diǎn) M 在點(diǎn) O 和點(diǎn) A 之間 此時(shí) b 點(diǎn) N 在點(diǎn) B 和點(diǎn) C 之間 由題意可得三角形 NMB 的面積等于 即 即 可得 a 0 求得 b 故有 b 若點(diǎn) M 在點(diǎn) A 的左側(cè) 則 b 由點(diǎn) M 的橫坐標(biāo) 1 求得 b a 設(shè)直線 y ax b 和 AC 的交點(diǎn)為 P 則由求得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 此時(shí) 由題意可得 三角形 CPN 的面積等于 即 1 b xN xP 即 1 b 化簡(jiǎn)可得 2 1 b 2 a2 1 由于此時(shí) b a 0 0 a 1 2 1 b 2 a2 1 1 a2 兩邊開方可得 1 b 1 1 b 化簡(jiǎn)可得 b 1 故有 1 b 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 8頁(yè) 共 12頁(yè) 再把以上得到的三個(gè) b 的范圍取并集 可得 b 的取值范圍應(yīng)是 故選 故選 B 解法二 當(dāng) a 0 時(shí) 直線 y ax b a 0 平行于 AB 邊 由題意根據(jù)三角形相似且面積比等于相似比的平方可得 b 1 趨于最小 由于 a 0 b 1 當(dāng) a 逐漸變大時(shí) b 也逐漸變大 當(dāng) b 時(shí) 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 0 再根據(jù)直線平分 ABC 的面積 故 a 不存在 故 b 綜上可得 1 b 故選 故選 B 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查確定直線的要素 點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用 還考察 運(yùn)算能力以及綜合分析能力 分類討論思想 屬于難題 二 填空題 本大題共二 填空題 本大題共 4 小題 每小題小題 每小題 5 分 分 13 2 考點(diǎn) 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 根據(jù)兩個(gè)向量的加減法的法則 以及其幾何意義 可得要求的式子為 再根據(jù)兩個(gè)向量垂直的性質(zhì) 運(yùn)算求得結(jié)果 解答 解 已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2 E 為 CD 的中點(diǎn) 則 0 故 4 0 0 2 故答案為 2 點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則 以及其幾何意義 兩個(gè)向量垂直的性質(zhì) 屬于中檔 題 14 8 考點(diǎn) 古典概型及其概率計(jì)算公式 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 列出從 n 個(gè)正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的所有取法種數(shù) 求出和等于 5 的 種數(shù) 根據(jù)取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為列式計(jì)算 n 的值 解答 解 從 n 個(gè)正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個(gè)不同的數(shù) 取出的兩數(shù)之和等于 5 的情況有 1 4 2 3 共 2 種情況 從 n 個(gè)正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的所有不同取法種數(shù)為 由古典概型概率計(jì)算 公式得 從 n 個(gè)正整數(shù) 1 2 n 中任意取出兩個(gè)不同的數(shù) 取出的兩數(shù)之和等于 5 的概率為 p 所以 即 解得 n 8 故答案為 8 點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式 考查了組合數(shù)公式 解答此題時(shí)既可以按有序取 也可以按無(wú)序取 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是一樣的 此題是基礎(chǔ)題 15 考點(diǎn) GG 同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系 GP 兩角和與差的三角函數(shù) 菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析 已知等式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn) 求出 tan 的值 再根 據(jù) 為第二象限角 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出 sin 與 cos 的值 即可求出 sin cos 的值 解答 解 tan tan 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 9頁(yè) 共 12頁(yè) 而 cos2 為第二象限角 cos sin 則 sin cos 故答案為 點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式 以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系 熟練掌握公式是 解本題的關(guān)鍵 16 49 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 等差數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有 分析 由等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)已知兩等式 聯(lián)立求出首項(xiàng) a1與公差 d 的值 結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出 nSn的最小值 解答 解 設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1 公差為 d S10 10a1 45d 0 S15 15a1 105d 25 a1 3 d Sn na1 d n2 n nSn n3 n2 令 nSn f n f n n2 n 當(dāng) n 時(shí) f n 取得極值 當(dāng) n 時(shí) f n 遞減 當(dāng) n 時(shí) f n 遞增 因此只需比較 f 6 和 f 7 的大小即可 f 6 48 f 7 49 故 nSn的最小值為 49 故答案為 49 點(diǎn)評(píng) 此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì) 以及等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題 的關(guān)鍵 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 三 解答題 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟 17 解答 解 由已知及正弦定理得 sinA sinBcosC sinBsinC sinA sin B C sinBcosC cosBsinC sinB cosB 即 tanB 1 B 為三角形的內(nèi)角 B S ABC acsinB ac 由已知及余弦定理得 4 a2 c2 2accos 2ac 2ac 整理得 ac 當(dāng)且僅當(dāng) a c 時(shí) 等號(hào)成立 則 ABC 面積的最大值為 2 1 點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦 余弦定理 三角形的面積公式 兩角和與差的正弦函數(shù)公式 以及基本不 等式的運(yùn)用 熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵 18 解答 解 證明 連結(jié) AC1交 A1C 于點(diǎn) F 則 F 為 AC1的中點(diǎn) 又 D 是 AB 中點(diǎn) 連結(jié) DF 則 BC1 DF 因?yàn)?DF 平面 A1CD BC1 平面 A1CD 所以 BC1 平面 A1CD 因?yàn)橹崩庵?ABC A1B1C1 所以 AA1 CD 由已知 AC CB D 為 AB 的中點(diǎn) 所以 CD AB 又 AA1 AB A 于是 CD 平面 ABB1A1 設(shè) AB 2 則 AA1 AC CB 2 得 ACB 90 CD A1D DE A1E 3 故 A1D2 DE2 A1E2 即 DE A1D 所以 DE 平面 A1DC 又 A1C 2 過(guò) D 作 DF A1C 于 F DFE 為二面角 D A1C E 的平面角 在 A1DC 中 DF EF 所以二面角 D A1C E 的正弦值 sin DFE 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 10頁(yè) 共 12頁(yè) 點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用 二面角的平面角的求法 考查空間想象能力與 計(jì)算能力 19 解答 解 由題意得 當(dāng) x 100 130 時(shí) T 500 x 300 130 x 800 x 39000 當(dāng) x 130 150 時(shí) T 500 130 65000 T 由 知 利潤(rùn) T 不少于 57000 元 當(dāng)且僅當(dāng) 120 x 150 由直方圖知需求量 X 120 150 的頻率為 0 7 所以下一個(gè)銷售季度的利潤(rùn) T 不少于 57000 元的概率的估計(jì)值為 0 7 依題意可得 T 的分布列如圖 T45000530006100065000 p0 10 20 30 4 所以 ET 45000 0 1 53000 0 2 61000 0 3 65000 0 4 59400 點(diǎn)評(píng) 本題考查用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布及識(shí)圖的能力 求解的重點(diǎn)是對(duì)題設(shè)條件及直方圖 的理解 了解直方圖中每個(gè)小矩形的面積的意義 是中檔題 20 解答 解 把右焦點(diǎn) c 0 代入直線 x y 0 得 c 0 0 解得 c 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 線段 AB 的中點(diǎn) P x0 y0 則 相減得 又 即 a2 2b2 聯(lián)立得 解得 M 的方程為 CD AB 可設(shè)直線 CD 的方程為 y x t 聯(lián)立 消去 y 得到 3x2 4tx 2t2 6 0 直線 CD 與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 16t2 12 2t2 6 72 8t2 0 解 3 t 3 設(shè) C x3 y3 D x4 y4 CD 聯(lián)立得到 3x2 4x 0 解得 x 0 或 交點(diǎn)為 A 0 B AB S四邊形ACBD 當(dāng)且僅當(dāng) t 0 時(shí) 四邊形 ACBD 面積的最大值為 滿足 四邊形 ACBD 面積的最大值為 關(guān)注公眾號(hào) 麥田筆墨 獲取更多干貨 第 11頁(yè) 共 12頁(yè) 點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了橢圓的定義 標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 點(diǎn)差法 中點(diǎn)坐標(biāo)公式 直線與橢圓相 交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 弦長(zhǎng)公式 四邊形的面積計(jì)算 二次函 數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí) 考查了推理能力 數(shù)形結(jié)合的思想方法 計(jì)算能力 分析問(wèn)題和解決問(wèn)題 的能力 21 解答 解 x 0 是 f x 的極值點(diǎn) 解得 m 1 所以函數(shù) f x ex ln x 1 其定義域?yàn)?1 設(shè) g x ex x 1 1 則 g x ex x 1 ex 0 所以 g x 在 1 上為增函數(shù) 又 g 0 0 所以當(dāng) x 0 時(shí) g x 0 即 f x 0 當(dāng) 1 x 0 時(shí) g x 0 f x 0 所以 f x 在 1 0 上為減函數(shù) 在 0 上為增函數(shù) 證明 當(dāng) m 2 x m 時(shí) ln x m ln x 2 故只需證明當(dāng) m 2 時(shí) f x 0 當(dāng) m 2 時(shí) 函數(shù)在 2 上為增函數(shù)