數(shù)學中的變形技巧及其應用VIP

學 號2009211218 分類號O12 本科生本科生畢業(yè)論畢業(yè)論文 文 設計設計 題目 數(shù)學中的變形技巧及其應用 院 系 數(shù)學與統(tǒng)計系 專 業(yè) 班 級 數(shù)學與應用數(shù)學 XX 級 X 班 學 生 姓 名 XXX 指導教師 職稱 XXX 提 交 時 間 二二 一三年五一三年五月 I I 數(shù)學中的變形技巧及其應用數(shù)學中的變形技巧及其應用 XXX 安康學院數(shù)學與統(tǒng)計系 陜西安康 725000 摘摘 要要 許多數(shù)學問題都有一定難度 解決他們往往需要一定的技巧 為了 在有限的時間內(nèi)快速而準確地解決數(shù)學題 我們就必須采取一些方法與技巧 這 就要求我們在平時的學習過程中細心觀察 認真積累一些經(jīng)驗與方法 本文主要 介紹數(shù)學中一些常用的變形技巧 給出了這些技巧在解數(shù)學問題中的應用 關鍵詞關鍵詞 數(shù)學 變形 技巧 應用 II II Deformation technique and its application in mathematics Xxx xxx WANG Department of mathematics and statistics Ankang University Ankang Shaanxi 725000 AbstractAbstract Many mathematical problems are difficult to solve they often need certain skills In order to solve math problems in the limited time quickly and accurately we must adopt some methods and skills Then we must observe carefully and accumulate some experience and methods in the usual learning process This paper mainly introduces some deformation techniques commonly used in mathematics KeywordsKeywords mathematics deformation technique application 目 錄 摘 要 I Abstract II 前 言 1 1 數(shù)學中的一般變形技巧 2 1 1 一元二次方程的變形技巧 2 1 2 三角函數(shù)的變形技巧 4 1 3 0 的變形技巧 7 1 4 1 的變形技巧 9 2 最值問題的常用變形技巧 11 2 1 配方法 12 2 2 換元法 13 2 3 判別式法 13 2 4 不等式法 14 3 運用均值不等式解題的變形技巧 15 3 1 拆項 15 3 2 拆冪 15 3 3 升冪 16 3 4 整體代換 16 3 5 平衡系數(shù) 17 3 6 分離取倒數(shù) 17 結(jié)束語 19 參考文獻 20 致 謝 21 1 前前 言言 數(shù)學是一個有機整體 各個部分之間相互聯(lián)系 相互依存 相互滲透 從 而構(gòu)成了一個個相互交錯的立體空間 因此為了培養(yǎng)學生在數(shù)學學習中的運算能 力 邏輯能力 推理能力 空間想象能力以及綜合應用數(shù)學知識分析 解決實 際問題的能力 我們應該對常用的數(shù)學方法和重要的數(shù)學思想引起重視 并且 有意識地運用一些數(shù)學方法去解決問題 這樣才能夠使學生的數(shù)學學習提高到 一個新的層次 新的高度 數(shù)學方法 是針對不同的數(shù)學知識而定的一種策略 數(shù)學中的變形與數(shù)學知識一樣 是數(shù)學發(fā)展過程中積累起來的寶貴精神財富 近幾年來 中學數(shù)學考試中的考題越來越新穎 尤其是在中考 高考的試 題中 要使考生在短短的兩個小時之內(nèi)完成所有的試題 這對大部分考生來說 是非常困難的 而且有些試題的技巧性非常強 做起來有一定的難度 考生如 果用常規(guī)的方法解決 這不僅會浪費很多時間 而且最后還可能得不到正確答 案 所以我們有必要針對一些題采取正確的解題技巧 即對它們作一些變形 這不僅能使試題變得簡單明了 而且還能使我們做起題來得心應手 同時增加 了我們解題的信心 還提高了我們對數(shù)學學習的興趣 針對以上問題 本文主要總結(jié)歸納了數(shù)學中的一些變形技巧 通過例題的 方式給出這些變形技巧及具體應用 2 1 1 數(shù)學中的數(shù)學中的一般變形技巧一般變形技巧 在數(shù)學中什么是變形 它是為了達到某種目的或需要而采取的一種手段 是化歸 轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準備階段 它屬于技能技巧性知識 既靈活又多變 一個 公式 一個法則 它的表述形式是多種多樣的 也就是說它存在著一定的技巧和 方法 只有我們在學習數(shù)學的實踐中反復操作才能掌握 以至于靈活運用 如勾 股定理可表述為也可表述等 222 cab 222222 acb bca 為 這顯然是一個不屑回答的問題 就成了最富靈活 1 8 8 若問1 但若問 性的問題 或 可11 1 例如 2222 sincos1 sectan1 tancot1 A 見 變形 確實是一個內(nèi)涵十分豐富的概念 在一些著名的數(shù)學問題解決中 變形技巧的巧妙運用也是非重要的一個環(huán)節(jié) 有時我們在數(shù)學解題中 為了完成 論證 求值 化簡等任務 常常要對某些式子進行恒等變形 但是恒等變形又 無固定的模式或規(guī)則 一個式子常常有多種可能的變形 因題而異 技巧性非 常強 現(xiàn)在我們來看一下一元二次方程 三角函數(shù) 0 1 等的變形應用 希望這幾方面的變形應用的介紹 對其他題的變形能起到拋磚引玉的作用 下面 我們就來談談這幾種變形技巧的應用 1 1 一元二次方程的變形技巧一元二次方程的變形技巧 對有些含有 或可轉(zhuǎn)化 一元二次方程的代數(shù)問題 如能對方程進行適當 變形并施以代換 則常常可使問題 化繁為簡 下面舉例說明 例 1 24 31033 xx 已知是方程的兩根 求的值 解 222 31031031xx 是方程的根 即 422 31 9619 31 613310 則 4 3333103333 10 所以 2 3103xx 又是方程的兩根 4 33109 分析 如果 那么就很復雜 而且容易出錯 在這里通過 要求出的值 3 變形的技巧先從結(jié)論出發(fā) 這樣可以提高解題的效率 以至于節(jié)省時間 例 2 2 30070m nxx 若是一元二次方程的兩個根 求 22 2996 3018 mmnn 的值 解 由題意得 22 30070 30070mmnn 300 56mnmn 而且 韋達定理 22 2996 3018 mmnn 22 30071 30071 mmmnnn 1 1 156300 1243mnmnmn 分析 通過觀察要求的結(jié)論可知 只要對要求的結(jié)論作一下變形 則這道題 目便可以輕易解決 mn不必求出和的值 例 3 設實數(shù)分別滿足mn 22 19991099190mmnn 并且 1mn 41 mnm n 求的值 解 由題設可得 22 99 191 99 19 mmnn 2 2 191 19 mm nn 兩式相除 得 22 1919mnmm nn 由比例的基本性質(zhì) 得 22 191919 1 1 m nmmnnm mnn mn 整理得 即 119mnnm 因為 所以 2 411941 191 499495 5 19191919 mnmmmmmmmmm nmmmm 分析 通過仔細的觀察可知只要對已知條件 4 22 199910 99190 mmnn 進行變形 再利用比例的基本性質(zhì)即可解決這道題 總結(jié) 在解決一元二次方程的代數(shù)問題時 首先要認真仔細地觀察題目的已 知 條件和所求的式子 觀察他們之間有什么特點與聯(lián)系 然后再充分利用已知條 件來解決所求的問題 特別是要靈活運用韋達定理 為一元二次方程 12 x x即若 在解這類題目時 可以 2 0 0 axbxca 的兩個根 1212 bc xxxx aa 則 先從已知條件出發(fā) 也可以從結(jié)論入手 關鍵是要善于觀察所求式子的特點進 而合理適當?shù)刈冃?使所求問題得到解決 以上三道題都是由問題入手 對已知 條件做適當?shù)淖冃?進而應用韋達定理來解決所求問題 1 2 三角函數(shù)的變形技巧三角函數(shù)的變形技巧 三角函數(shù)是初等函數(shù)的重要組成部分 其與二次函數(shù) 初等幾何的關系十 分密切 特別是 給出已知條件 求三角函數(shù)的值 的問題 求三角函數(shù)的值的 關鍵即合理地進行三角恒等變形 其最基本的思路是 三看 即一看角 二 看函數(shù)名稱 三看結(jié)構(gòu)特征 除此之外 我們還常常應用代數(shù)的變形技巧和構(gòu)造 法 為三角恒等變形創(chuàng)造條件 例 4 22 tan56sin8sincos7cos 已知 求的值 22 22 6sin8sincos7cos sincos 解 原式 22 222 22 22 6sin8sincos7cos coscoscos sincos coscos 2 2 6tan8tan7 tan1 2 2 6 58 57103 5126 5 分析 除了這里的 還有以下等式也經(jīng)常用到 22 1sincos 外 靈 2222 1tancot 1sectan 1csccot 1tan 1sin 1cos 42 活運用這些等式 能使許多三角函數(shù)問題得到簡化 例 5 ABC 在中 已知角A B C 成等差數(shù)列 3tantan3tantan 2222 ACAC 求的值 180ABCABC 解 因為角 成等差數(shù)列且 120 60tan3 22 ACAC AC tantan 22 3 1tantan 22 AC AC 由兩角和的正切公式 得 tantan33tantan 2222 ACAC tantan3tantan3 2222 ACAC 即 3tantan3tantan 2222 ACAC 3 tantan3tantan 3 2222 ACAC 分析 本例題是正切公式變形的應用 在歷年高考題中 曾多次出現(xiàn)兩角和 與差的正切公式的變形應用 希望讀者在學習中一定要總結(jié) 體會以至于靈活 運用 例 6 4 AB 已知 1tan 1tan AB 求的值 1tan 1tan 1tantantantanABABAB 解 1tan 1tantan tantanABABAB 1tan 1tantan tantan 4 ABAB 1 1tantantantanABAB 1 1 2 分析 對于正切和角可正用也可逆用 則其 tantan tan 1tantan 公式 6 可變形 這 tantan 1tantan tantantan 1tantan tan 為 里公式的變形應用 tantantan 1tantan A B ABABABT 是 例 7 22 cos 10cos 50sin40 sin80 試求的值 解 注意到 可變形為 2222 cossin1 cossincos2 coscossinsincos 我們可以通過構(gòu)造對偶式 以減少三角變換的難度 再觀察所求三角函數(shù)式 很容易發(fā)現(xiàn)它與余弦定理非常相似 所以我們還可以通過構(gòu)造三角形 使問題 得到解決 22 cos 10cos 50sin40 sin80 x 方法一 設 22 sin 10sin 50cos40 cos80y 從而2cos40 xy 則 cos20cos100cos120 1 2cos60 cos40 2 1 cos40 2 xy 33 2 24 xx 兩式相加得 即 22 3 cos 10cos 50sin40 sin80 4 方法二 原式構(gòu)造 22 sin 80sin 402sin40 sin80cos60 ABC 則由正玄定理得 80 40 6021ABCR 使 外接圓直徑 3 sin80 sin40 sin60 2 abc 又由余弦定理得 222 2cos60cabab 7 222 3 sin 80sin 402sin40 sin80cos60 2 即 22 3 sin 80sin 40sin40 sin80 4 22 3 cos 10cos 50sin40 sin80 4 故 說明 這里通過構(gòu)造對偶式和三角形來求三角函數(shù)式的值是一種較高的變形 技巧 總結(jié) 三角函數(shù)式的恒等變形是學習三角函數(shù)和其他數(shù)學知識不可缺少的知 識 它包括 化簡三角函數(shù)式 求三角函數(shù)式的值 證明三角恒等式 三角函數(shù)式恒等變形的理論依據(jù)是代數(shù)恒等變形的一般方法和法則 三角函數(shù) 的變形公式在變形中要注意三角函數(shù)的定義域和值域的要求 以及符號的變化 1 3 0 的變形技巧的變形技巧 曾有人指出 零不只是一個非常確定的數(shù) 而且它本身比其他一切被所 限定的數(shù)都更重要 事實上 零比其他一切數(shù)都有著更豐富的內(nèi)容 零乘以任 何一個數(shù) 會把這個數(shù)變?yōu)榱?零除以任何一個不等于零的數(shù)都得零 由 于零具備許多特殊的性質(zhì) 因此 在解題過程中我們?nèi)裟艹浞值乩眠@些特性 那么我們將會很快地解出所求的題 下面我們看幾個關于 的特性在解題 0 中的應用 例 8 1122 0 0 nn ababab 在等差數(shù)列和等比數(shù)列中 3 nn nab 求證 當時 分子上加 111 22211 111 111 nnn n baaaa baaa baa 證明 0 1 21 1 1 1 n aa a a 8 0122 2121 1111 11 nnn aaaa a CCC aa 21 1121 1 1 1 1 n aa ananaaa a 再利用不 11 2211 11 11 nn aaaa aa aa 分析 本題主要在變形 即分子加上0 等式和等差數(shù)列的有關知識即可 例 9 114 abc abbcac 若 求證 所以 0 0 0abcabbcac 證明 因為 11 ac abbc 11 abbc abbc 11 abbc bcab 224 bc ab ab bc 114 0ac abbcac 又因為 所以 acabbcac 分析 通過觀察可發(fā)現(xiàn)可以變形為 即給式子加了個0 也就是再利用不等式的性質(zhì)可方便解決此題 0 bb 則 例 10 求在數(shù)列 1 1 111 23 3 n nn aan aa 中 12 nn aS 通項 前項的和 解 1 令為的前 n 項和 則是首相為 5 公差為 1 11 nn nn b S aa n b n b 2 的等差數(shù)列 因為 11222211 1111111111 nnnnnn aaaaaaaaaa 11232211 111111111 nnnn aaaaaaaaa 9 1 1 1 1 1024 3 2 2 n nn Sn n a 1 2 n a n n 所以 11 111 2 22 nn ni ii Sa ii 1 11111 2112 n i iiii 1111 1 2212nn 1 311 2 212nn 112211 111111 0 00 nnnn aaaaaa 分析 本題主要應用了一直到 然后再利用等差數(shù)列的知識便可解決這道題目 一個很有用的數(shù)字 在數(shù)學解題中若能靈活應用它 則會幫總結(jié) 0 是 助我們順利地解題 如果有些題目可以借助 的有關特性去解決 這樣可以很快確定解題 0 0 來解決 我們應該充分利用 方向 提高解題效率 1 4 1 的變形技巧的變形技巧 眾所周知 1 的變形表述形式是非常多的 在數(shù)學問題的求解過程中 如果我們善于捕捉 1 并且恰當?shù)赜?1 來解決數(shù)學問題 會使問題顯得 簡潔明了 那么下面我們來看一看它的應用 例 11 11 1 1 mn m nN mn mn 若 求證 1 12 12 n n nnn aaa GAa aa n 分析 由均值不等式有 1 n nAnm 式左邊是個正數(shù)之積 右邊是的次乘方 而求證式左邊是個正數(shù)的積 但任何數(shù)乘以 1 其值不變 因此 我們可以在求證式的左邊乘以 1nm 個 將其視為 n個正數(shù)之積 10 11 1 1 1 11 mm mm 證明 1 1 n mnm m n 1 1 n n 1 1 nm 說明 這里的 1有個 例 12 2 2 2cos1 1 2sin 化簡 2222 2222 2cos12cos sincos 1 2sin sincos 2sin 解 原式 22 22 cossin 1 cossin 使問題巧妙解決 本題也可以用三角函 22 1cossin 說明 本題充分利用 數(shù)的知識來解答 但是比較麻煩 例 13 1 1 1 1 00 lim n nnn x i ii aadSS a a 在等差數(shù)列中 公差設則 1 1111 111111 ii iiiiiiii aad a ad a ada ad aa 解 因為 11 1 1111 1 11111 n n nn aa S a daada a ad n 所以 1 1 lim n x S a d 故 說明 這里巧妙的運用 1 使問題得以解決 即 而這里 11 11 iiii d a ad a a 式子變形為1 d d 的 例 14 a b cRabcabc bca cab 設 求證 1 0 abc bca cababc 解 若中有兩個或三個為負 不妨設 00 0 bcaabcbcababc bca cab 則即矛盾 因而 11 中至多有一個為負 2 abc bca cab 中只有一個為負時 不等式顯然成立 均為非零時 3abc 當 bca cab 222 2 22 aabccab aa abccab bbcaabc 同理 ccabbca abcabc bca cab 故 說明 這道題如果不認真去思考 那么將很容易遺漏 1 和 2 這兩種情 況 這三個數(shù)的正負情況 而第三種情況用到 abc bca cab 即要討論 了 1 和 0 的變形技巧 用到了 1 的變形技巧 而 22 2 2 a a 即 變形技巧 然后再利用不等式的性 22 2 0 22 aabccab 用到了的 質(zhì)便可解決這道題 總結(jié) 通過以上的例子可以看出 如果借助 1 來解決有關的數(shù)學問題 則效率非常高 因為 1 的變形是多種多樣的 對不同的題目 1 的變形 是不同的 有些題目若能利用 1 來求解 那么我們應該靈活應用 1 去解決 2 2 最值問題的常用變形技巧最值問題的常用變形技巧 最值問題是在生產(chǎn)和日常生活中常會遇到的一類特殊的數(shù)學問題 它涉及 到初等數(shù)學知識的各個方面 解決這類問題往往需要綜合運用各種技巧 靈活 選擇解題的途徑和方法 對學生考查的角度來看 求最值問題是一個綜合能力的 考查 從內(nèi)容來看它涉及到 不等式的性質(zhì) 參數(shù)方程 函數(shù)的單調(diào)性等等 從方法上來說 它涉及到 代數(shù)式的變形與變換 數(shù)形結(jié)合 不等式法 換元 12 法 導數(shù)法 分類討論 內(nèi)容與方法上的轉(zhuǎn)換等 從能力角度來說 它要求學 生有一定的分析能力 解決問題的能力 下面對求最值問題的常用方法進行總結(jié)并舉例說明 利用各類型的典型例題 分析求最值問題的解題思路 以揭示其中的特征和規(guī)律 2 1 配方法配方法 2 0 yaxbxc abca 二次函數(shù)的一般式 為常數(shù)且 2 2 4 0 24 bacb ya xabca a 頂點式 為常數(shù)且 其性質(zhì)有 2 min 4 24 bacb axyy aa 若當 時 有最小值 2 max 4 0 24 bacb axyy aa 若當 時 有最大值 利用配方法將二次函數(shù)的一般式化為頂點式 利用二次函數(shù)的有關性質(zhì)解 決問題 它主要用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù) 在解題過程中要特別注 意自變量的取值范圍 例 15 取cos2cos 2 BC ABCABCAA 的三個內(nèi)角為 求當為何值時 得最大值 并求出最大值 從而 cossin 22222 BCABCA ABC 解 由 得 所以有 cos2coscos2sin 22 BCA AA 2 1 2sin2sin 22 AA 2 13 2 sin 222 A 13 sincos2cos 22322 ABC AA 當 即時 取得最大值 說明 此類題解法關鍵在于配方法 將二次函數(shù)一般式化為頂點式 同時 要考慮頂點的橫坐標的值是否落在定義域內(nèi) 否則考慮函數(shù)的單調(diào)性 13 2 2 換元法換元法 利用換元法解數(shù)學題的關鍵在于選擇適當?shù)妮o助元 引入適當?shù)拇鷵Q 這 樣不僅容易找到解題思路 而且常使問題簡單化 用換元法時 一定要注意相 關變量的取值范圍 例 16 達到最 2222 4545xyxxyyxyxy 設 滿足 當 各取什么值時 大值 并求出最大值 222 sin cos 02 txyxtyt 解 設 則 代入已知等式得 22 5 4sin25 02 2 tt 2 5 02 5 4sin2 2 t 要使大 則值最小 即需取最大值 2 t 最 5 4sin2 2 的 5 sin2 02 2 2 max 510 sin21 443 t 當 即或時 22 151510 333 xyxy 即 時 取得最大值 說明 本題通過換元變形為含正弦函數(shù)的解析式 再利用正弦函數(shù)的值域 來求最大值 2 3 判別式法判別式法 它是利用根的判別式的意義 通過變形得到系數(shù)是常數(shù)關于一元二y與x的 次方程后 得出系數(shù)取值范圍 主要適用于可化為關于二次方程的函數(shù) y的x的 當時 時 還需要xR的范圍是僅考慮根的判別式即可 xR當 的取值范圍非 結(jié)合圖像求最值 例 17 求函數(shù)的最值 2 24yxx 12 2 解法 函數(shù)的定義域為 時等號成立 2 24242yxxxx 當且僅當2x 所以當 min 4y 時 14 22 2 4 22 yxxx 另一方面 原式可化為 22 22 2 2 40 xyxy 即 2 4 8 2 02 222 22yy 由 所以 min 442 22yy 但 所以 42 22 即函數(shù)的最小值為 最大值為 說明 這是無理函數(shù)的最值問題 采用了平方法 通過自變0 求最值 量的范圍制約著最小值的求得 另外考慮到根號式子的特點 用換元法來解 可有如下更簡單的解法 22cos 0 x 解法 設 所以 2cos22sin2 2sin 2 0 4 y 則 max 2 22 4 y 當 min 4y 當時 2 4 不等式法不等式法 這一類型的基本不等式 3 23 ababc ababc 掌握和靈活運用 在求一些函數(shù)最值問題時通常十分便捷 在解題時務必注意 考慮利用不等式 求最值的三個條件限制時成立 abcRab abc 等號當且僅當 3 ababc 必須是一定值 例 18 14 01 1 xRx xx 若 且 求的最小值 141414 1 5 111 xx xx xxxxxx 解 則 14 01 0 0 1 xx x xx 由 1414 24 11 xxxx xxxx 141 13 xx x xx 當且僅當 即時取等號 15 114 9 31 xx x xx 故當時 取得最小值 說明 表面上看本題不能使用基本不等式 但只要稍留心便能從兩個分母 中發(fā)現(xiàn) 名堂 兩數(shù)之積正好為定 14 1 xx xx 一個分數(shù)是 另一個分數(shù)是 值 4 于是巧乘得 4 便可利用基本不等式 3 3 運用均值不等式解題的變形技巧運用均值不等式解題的變形技巧 均值不等利用均值不等 ab 2 ab a bRab 式當且僅當 時取 號 式解題的關鍵是湊 定和 和 定積 在解題過程中常常需要采用 拆項 補項 平衡系數(shù) 等變形技巧找到定值 再利用均值不等式來求解 使得復雜 問題簡單化 收到事半功倍的效果 3 1 拆項拆項 例 19 2 4 n03n n 已知 求證 n00 2 n 證明 3 222 444 n 33 n22n22n nnnn 則 n2 當且僅當時等號成立 3 2 拆冪拆冪 例 20 如果圓柱軸截面的周長 為定值 那么圓柱體積的最大值是 l 3333 1 B C D 6344 4 llll A 242 2 l rhhrlhr 解 設圓柱底面半徑為高為則即 33 2 36 A rrhl vr hr r h 故選 16 3 3 升冪升冪 例 21 設 2 0 y sincos 2 xxx 求的最大值 2 0 sincos0 2 xyxx A解 242222 11 sincos4 sinsincos 22 yxxxxx AA 222 3 11 sinsincos 4 22 4 327 xxx A 22 2 31 sincos 92 yxx 當且僅當 2 max 2 3 tan2 9 x 即時等號成立 故y 3 4 整體代換整體代換 例 22 11 51 62 5x yRxy xy 已知且求證 證明 x 5y 1x yR 11115y x 5y 6 yyx x xxy 5y 6262 5 x x y 5y x x y 當且僅當 時等號成立 注 在做題的過程中大家若細心觀察 可得此結(jié)論 所以 11 mx ny 1 m n 2 m n y x yR x A若則求證 1111ny mx ny m n yyx mx xxy 17 ny m n 2 m n 2 m n x mx y A ny x mx y 當且僅當 時等號成立 3 5 平衡系數(shù)平衡系數(shù) 平衡系數(shù)法就是想辦法使未知數(shù)前面的系數(shù)的代數(shù)和為 0 以便于在運用均 值不等式時能得到定值 例 23 用總長 14 8 米的鋼條制作一個長方體容器的框架 如果所制作容 器的底面的一邊比另一邊長 0 5 米 那么高為多少時容器的容積最大 并求出 它的最大容積 解 設容器底面短邊長為 則另一邊長為 并設容積為 x mx0 5 m 中容器的 3 y m 其 14 844 0 5 3 22 4 xx x 高為 3 0 5 3 22 0 x 1 x 5 x 2 求函數(shù)的最大值 2 111 4 5 2 1 5 1 4 x 1 5 x 1 xx y xxxx 解 18 所以 x 1 x 1 0因為 所以 即 144 1 52 1 59 y11 xx xx 1 9 y max 41 1 x 1 y 19 x x 當且僅當即時取等號故 總之 我們利用均值不等式求最值時 一定要注意 一正二定三等 即 當且僅當 a b 時取 號 一正 二定 2 ab a bRab a bR 定和或定積 三等 時還要注意一些變形技巧 靈活運用均值不等式 ab 同 19 結(jié)束語結(jié)束語 由于中學數(shù)學的改革及社會發(fā)展的需求 以及提高我們的應試能力和解決 實際問題的能力 數(shù)學變形技巧作為一種解題的手段越來越被人們所喜愛 但 是它沒有固定的形式 所以這就需要我們在平時的學習中加以運用和積累 本文 對中學數(shù)學中的初等數(shù)學和代數(shù)中的一些變形技巧加以整理 歸類 利用大量 的例子來闡述說明 這將會對我未來的中學教師生活起著指導性的作用 在中學 數(shù)學中熟練掌握了基本的變形技巧 這會使你在解題時得心應手 甚至會提高 你對數(shù)學的興趣同時增強你對數(shù)學學習的信心 我們在解數(shù)學題的過程中難免會遇到這樣那樣的問題 那么我們應該如何 去做才能使問題變得簡單易懂呢 從波利亞的 怎樣解題