高中物理解題(微元法)

高中奧林匹克物理競賽解題方法 微元法 方法簡介方法簡介 微元法是分析 解決物理問題中的常用方法 也是從部分到整體的思維方法 用該方 法可以使一些復雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決 使所求的問題簡單 化 在使用微元法處理問題時 需將其分解為眾多微小的 元過程 而且每個 元過程 所遵循的規(guī)律是相同的 這樣 我們只需分析這些 元過程 然后再將 元過程 進行必 要的數(shù)學方法或物理思想處理 進而使問題求解 使用此方法會加強我們對已知規(guī)律的再 思考 從而引起鞏固知識 加深認識和提高能力的作用 賽題精講賽題精講 例 1 如圖 3 1 所示 一個身高為 h 的人在燈以悟空速度 v 沿水平直線行走 設燈距地面 高為 H 求證人影的頂端 C 點是做勻速直線運動 解析解析 該題不能用速度分解求解 考慮采用 微元法 設某一時間人經(jīng)過 AB 處 再經(jīng)過一微小過程 t t 0 則人由 AB 到達 A B 人影頂端 C 點到達 C 點 由于 SAA v t 則人影頂端的 移動速度 hH Hv t S hH H t S v AA t CC t C 00 limlim 可見 vc與所取時間 t 的長短無關 所以人影的頂 端 C 點做勻速直線運動 例例 2 如圖 3 2 所示 一個半徑為 R 的四分之一光滑球 面放在水平桌面上 球面上放置一光滑均勻鐵鏈 其 A 端固定在球面的頂點 B 端恰與桌面不接觸 鐵鏈單位 長度的質(zhì)量為 試求鐵鏈 A 端受的拉力 T 解析解析 以鐵鏈為研究對象 由由于整條鐵鏈的長度不能 忽略不計 所以整條鐵鏈不能看成質(zhì)點 要分析鐵鏈的受 力情況 須考慮將鐵鏈分割 使每一小段鐵鏈可以看成質(zhì) 點 分析每一小段鐵邊的受力 根據(jù)物體的平衡條件得出 整條鐵鏈的受力情況 在鐵鏈上任取長為 L 的一小段 微元 為研究對象 其受力分析如圖 3 2 甲所示 由于該元處于靜止狀態(tài) 所以受力平衡 在切線方向上應滿足 TGTT cos coscosLgGT 由于每段鐵鏈沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大 T 所以整個鐵鏈對 A 端的拉力是各段上 T 的和 即 coscosLgLgTT 觀察 的意義 見圖 3 2 乙 由于 很小 cosL 所以 CD OC OCE Lcos 表示 L 在豎直方向上的投影 R 所以 可得鐵鏈 A 端受的拉力 RL cos gRLgT cos 例例 3 某行星圍繞太陽 C 沿圓弧軌道運行 它的近日點 A 離太陽的距離為 a 行星經(jīng)過近日點 A 時的速度為 A v 行星的遠日點 B 離開太陽的距離為 b 如圖 3 3 所示 求它經(jīng)過遠日點 B 時的速度的大小 B v 解析 解析 此題可根據(jù)萬有引力提供行星的向心力求解 也 可根據(jù)開普勒第二定律 用微元法求解 設行星在近日點 A 時又向前運動了極短的時間 t 由于時間極短可以認為行星在 t 時間 內(nèi)做勻速圓周運動 線速度為 半徑為 a 可以得到行星在 t 時間內(nèi)掃過的面積 A v 同理 設行星在經(jīng)過遠日點 B 時也運動了相同的極短時間 t atvS Aa 2 1 則也有 由開普勒第二定律可知 Sa Sb btvS Bb 2 1 即得 此題也可用對稱法求解 AB v b a v 例例 4 如圖 3 4 所示 長為 L 的船靜止在平靜的水面上 立于船頭的人質(zhì)量為 m 船的質(zhì)量為 M 不計水的阻力 人從船頭走到船尾的過程中 問 船的位移為多大 解析 解析 取人和船整體作為研究系統(tǒng) 人在走動過程中 系統(tǒng)所受合外力為零 可知系統(tǒng)動量守恒 設人在走動過 程中的 t 時間內(nèi)為勻速運動 則可計算出船的位移 設 v1 v2分別是人和船在任何一時刻的速率 則有 兩邊同時乘以一個極短的時間 t 有 21 Mvmv tMvtmv 21 由于時間極短 可以認為在這極短的時間內(nèi)人和船的速率是不變的 所以人和船位移大小分別為 tvs 11 tvs 22 由此將 式化為 21 sMsm 把所有的元位移分別相加有 21 sMsm 即 ms1 Ms2 此式即為質(zhì)心不變原理 其中 s1 s2分別為全過程中人和船對地位移的 大小 又因為 L s1 s2 由 兩式得船的位移 L mM m s 2 例例 5 半徑為 R 的光滑球固定在水平桌面上 有一質(zhì)量 為 M 的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈 原長為 R 且彈性繩圈 的勁度系數(shù)為 k 將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上 使彈性繩圈水平停留在平衡位置上 如圖 3 5 所示 若 平衡時彈性繩圈長為 求彈性繩圈的勁度系數(shù) k R 2 解析 解析 由于整個彈性繩圈的大小不能忽略不計 彈性繩圈 不能看成質(zhì)點 所以應將彈性繩圈分割成許多小段 其中 每一小段 m 兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力 F 在 彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為 m 作為研究對象 進行受力分析 但是 m 受的力不在同一 平面內(nèi) 可以從一個合適的角度觀察 選取一個合適的平面進行受力分析 這樣可以看清楚 各個力之間的關系 從正面和上面觀察 分別畫出正視圖的俯視圖 如圖 3 5 甲和 2 3 5 乙 先看俯視圖 3 5 甲 設在彈性繩圈的平面上 m 所對的圓心角是 則每一小段的 質(zhì)量 m 在該平面上受拉力 F 的作用 合力為Mm 2 2 sin2 2 cos 2 FFT 因為當 很小時 所以 sin FFT 2 2 再看正視圖 3 5 乙 m 受重力 mg 支持力 N 二力的合力與 T 平衡 即 tan mgT 現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為 R R r 2 2 2 2 所以 45 2 2 sin R r 1tan 因此 T 聯(lián)立 Mgmg 2 FMg 2 解得彈性繩圈的張力為 2 Mg F 設彈性繩圈的伸長量為 x 則 RRRx 12 2 所以繩圈的勁度系數(shù)為 R Mg R Mg x F k 2 2 2 12 12 2 例例 6 一質(zhì)量為 M 均勻分布的圓環(huán) 其半徑為 r 幾何軸與水平面垂直 若它能經(jīng)受的最 大張力為 T 求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度 解析解析 因為向心力 F mr 2 當 一定時 r 越大 向心力越大 所以要想求最大張力 T 所對應的角速度 r 應取最大值 如圖 3 6 所示 在圓環(huán)上取一小段 L 對應的圓心角 為 其質(zhì)量可表示為 受圓環(huán)對它的張Mm 2 力為 T 則同上例分析可得 2 2 sin2 mrT 因為 很小 所以 即 22 sin 解得最大角速度 2 22 2 MrT Mr T 2 例例 7 一根質(zhì)量為 M 長度為 L 的鐵鏈條 被豎直地懸掛起來 其最低端剛好與水平接觸 今將鏈條由靜止釋放 讓它落到地面上 如圖 3 7 所示 求鏈條下落了長度 x 時 鏈條對 地面的壓力為多大 解析 解析 在下落過程中鏈條作用于地面的壓力實質(zhì)就是鏈條對地面的 沖力 加上落在地面 上那部分鏈條的重力 根據(jù)牛頓第三定律 這個沖力也就等于同一時刻地面對鏈條的反作用 力 這個力的沖量 使得鏈條落至地面時的動量發(fā)生變化 由于各質(zhì)元原來的高度不同 落 到地面的速度不同 動量改變也不相同 我們?nèi)∧骋粫r刻一小段鏈條 微元 作為研究對象 就可以將變速沖擊變?yōu)楹闼贈_擊 設開始下落的時刻 t 0 在 t 時刻落在地面上的鏈條長為 x 未到達地面部分鏈條的速度為 v 并設鏈條的線密度為 由題意可知 鏈條落至地面后 速度立即變?yōu)榱?從 t 時刻起取 很小一段時間 t 在 t 內(nèi)又有 M x 落到地面上靜止 地面對 M 作用的沖量為 因為 ItMgF 0 tMg 所以 解得沖力 xvvMtF 0 其中就是 t 時刻鏈條的速度 v t x vF t x 故 鏈條在 t 時刻的速度 v 即為鏈條下落 2 vF 長為 x 時的即時速度 即 v2 2gx 代入 F 的表達式中 得 gxF 2 此即 t 時刻鏈對地面的作用力 也就是 t 時刻鏈條對地面的沖力 所以在 t 時刻鏈條對地面的總壓力為 3 32 L Mgx gxgxgxN 例例 8 一根均勻柔軟的繩長為 L 質(zhì)量為 m 對折后兩端固定在一個釘子上 其中一端突然 從釘子上滑落 試求滑落的繩端點離釘子的距離為 x 時 釘子對繩子另一端的作用力是多大 解析 解析 釘子對繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化 由此可用微元法求解 如圖 3 8 所示 當左邊繩端離釘子 的距離為 x 時 左邊繩長為 速度 2 1 xl gxv2 右邊繩長為 又經(jīng)過一段很短的時間 t 以后 2 1 xl 左邊繩子又有長度的一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了 我們就分tV 2 1 析這一小段繩子 這一小段繩子受到兩力 上面繩子對它的拉 力 T 和它本身的重力為繩子的線密度 lmgtv 2 1 根據(jù)動量定理 設向上方向為正 2 1 0 2 1 vtvtgtvT 由于 t 取得很小 因此這一小段繩子的重力相對于 T 來說是很小的 可以忽略 所以有 因此釘子對右邊繩端的作用力為 gxvT 2 2 1 3 1 2 1 2 1 l x mgTgxlF 例例 9 圖 3 9 中 半徑為 R 的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動 細繩不可伸長 但質(zhì)量可忽略 繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為 M m 設圓盤與 繩間光滑接觸 試求盤對繩的法向支持力線密度 解析 解析 求盤對繩的法向支持力線密度也就是求盤對繩的法向單位 長度所受的支持力 因為盤與繩間光滑接觸 則任取一小段繩 其兩端受的張力大小相等 又因為繩上各點受的支持力方向不同 故不能以整條繩為研究對象 只能以一小段繩為研究對象分析求 解 在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元 L L 所對應的 圓心角為 如圖 3 9 甲所示 繩元 L 兩端的張力均為 T 繩元所受圓盤法向支持力為 N 因細繩質(zhì)量可忽略 法向合力為 零 則由平衡條件得 2 sin2 2 sin 2 sin TTTN 當 很小時 N T 22 sin 又因為 L R 則繩所受法向支持力線密度為 R T R T L N n 以 M m 分別為研究對象 根據(jù)牛頓定律有 Mg T Ma T mg ma 由 解得 mM Mmg T 2 將 式代入 式得 RmM Mmg n 2 例例 10 粗細均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為 R 和 r 的兩圓環(huán)相切 若在切點放一質(zhì)點 m 恰使兩邊圓環(huán)對 m 的萬有引力的合力為零 則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件 解析 解析 若要直接求整個圓對質(zhì)點 m 的萬有引力比較難 當若要用到圓的對稱性及要求所受 合力為零的條件 考慮大 小圓環(huán)上關于切點對稱的微元與質(zhì)量 m 的相互作用 然后推及 整個圓環(huán)即可求解 如圖 3 10 所示 過切點作直線交大小圓分別于 P Q 兩點 并設與水平線夾角為 當 有微小增量時 則大小圓環(huán)上對應微小線元 22 21 rLRL 其對應的質(zhì)量分別為 2 1111 Rlm 由于 很小 2 2222 rlm 故 m1 m2與 m 的距離可以認為分別是 cos2cos2 21 rrRr 所以 m1 m2與 m 的萬有引力分別為 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 cos2 2 cos2 2 r mRG r mGm F R mRG r mGm F 由于 具有任意性 若 F1與 F2的合力為零 則兩圓環(huán)對 m 的引力的合力也為零 即 2 2 2 1 cos2 2 cos2 2 r mrG R mRG 解得大小圓環(huán)的線密度之比為 r R 2 1 例例 11 一枚質(zhì)量為 M 的火箭 依靠向正下方噴氣在空中保持靜止 如果噴出氣體的速度為 v 那么火箭發(fā)動機的功率是多少 解析解析 火箭噴氣時 要對氣體做功 取一個很短的時間 求出此時間內(nèi) 火箭對氣體做的 功 再代入功率的定義式即可求出火箭發(fā)動機的功率 選取在 t 時間內(nèi)噴出的氣體為研究對象 設火箭推氣體的力為 F 根據(jù)動量定理 有 F t m v 因為火箭靜止在空中 所以根據(jù)牛頓第三定律和平衡條件有 F Mg 即 Mg t m v t m v Mg 對同樣這一部分氣體用動能定理 火箭對它做的功為 2 2 1 mvW 所以發(fā)動機的功率 MgV MgmV mv t W P 2 1 2 1 2 例例 12 如圖 3 11 所示 小環(huán) O 和 O 分別套在不動的豎直 桿 AB 和 A B 上 一根不可伸長的繩子穿過環(huán) O 繩的 兩端分別系在 A 點和 O 環(huán)上 設環(huán) O 以恒定速度 v 向下 運動 求當 AOO 時 環(huán) O 的速度 解析解析 O O 之間的速度關系與 O O 的位置有關 即與 角有關 因此要用微元法找它們之間的速度關系 設經(jīng)歷一段極短時間 t O 環(huán)移到 C O 環(huán)移到 C 自 C 與 C 分別作為 O O 的垂線 C D 和 CD 從圖中看出 因此 OC O C cos cos DO CO OD OC cos DOOD 因 極小 所以 EC ED EC ED 從而 OD O D OO CC 由于繩子總長度不變 故 OO CC O C 由以上三式可得 OC O C 即 cos CO 1 cos 1 COOC 等式兩邊同除以 t 得環(huán) O 的速度為 1 cos 1 0 vv 例例 13 在水平位置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀 由于重力和 表面張力的影響 水銀近似呈現(xiàn)圓餅形狀 側(cè)面向外凸出 過圓 餅軸線的豎直截面如圖 3 12 所示 為了計算方便 水銀和玻璃的 接觸角可按 180 計算 已知水銀密度 水 33 10 6 13mkg 銀的表面張力系數(shù)當圓餅的半徑很大時 試估算其厚度 h 的數(shù)值大約為多少 49 0 mN 取 1 位有效數(shù)字即可 解析解析 若以整個圓餅狀水銀為研究對象 只受重力和玻璃板的支持力 在平衡方程中 液 體的體積不是 h 的簡單函數(shù) 而且支持力 N 和重力 mg 都是未知量 方程中又不可能出現(xiàn) 表面張力系數(shù) 因此不可能用整體分析列方程求解 h 現(xiàn)用微元法求解 在圓餅的側(cè)面取一個寬度為 x 高為 h 的體積元 如圖 3 12 甲所示 該體積元受重力 G 液體內(nèi)部作用在面 積 x h 上的壓力 F xghxhhgSPF 2 2 1 2 1 還有上表面分界線上的張力 F1 x 和下表面分界線上的 張力 F2 x 作用在前 后兩個側(cè)面上的液體壓力互相平衡 作用在體積元表面兩個彎曲 分界上的表面張力的合力 當體積元的寬度較小時 這兩個力也是平衡的 圖中都未畫出 由力的平衡條件有 0cos 21 FFF 即 0cos 2 1 2 xxxgh 解得 cos1107 2 cos1 2 3 g h 由于 故 2 7 10 3m h m 碰撞彈力 N g 球與車 之間的動摩擦因數(shù)為 則小球彈起后的水平速度可能是 A B 0C D v0gh2gh22 6 半徑為 R 的剛性球固定在水平桌面上 有一質(zhì)量為 M 的圓環(huán)狀均勻彈性細繩圈 原長 2 a a R 2 繩圈的彈性系數(shù)為 k 繩伸長 s 時 繩中彈性張力為 ks 將繩圈從球的 正 上方輕放到球上 并用手扶著繩圈使其保持水平 并最后停留在某個靜力平衡位置 考 慮重力 忽略摩擦 1 設平衡時彈性繩圈長 2 b b 求彈性系數(shù) k 用 M R g 表示 g 為重力a2 加速度 2 設 k Mg 2 2R 求繩圈的最后平衡位置及長度 7 一截面呈圓形的細管被彎成大圓環(huán) 并固定在豎直平面內(nèi) 在環(huán)內(nèi)的環(huán)底 A 處有一質(zhì)量為 m 直徑比管徑略小的小球 小球上連有一根穿過環(huán)頂 B 處管口的輕繩 在外力 F 作用 下小球以恒定速度 v 沿管壁做半徑為 R 的勻速圓周運動 如圖 3 23 所示 已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)外側(cè) 部分的動摩擦因數(shù)為 而大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的管內(nèi)壁是光滑 的 忽略大環(huán)內(nèi) 外側(cè)半徑的差別 認為均為 R 試求小 球從 A 點運動到 B 點過程中 F 做的功 WF 8 如圖 3 24 來自質(zhì)子源的質(zhì)子 初速度為零 經(jīng)一 加速電壓為 800kV 的直線加速器加速 形成電流為 1 0mA 的細柱形質(zhì)子流 已知質(zhì)子電荷 e 1 60 10 19C 這束質(zhì)子 流每秒打到靶上的質(zhì)子數(shù)為 假設分布在質(zhì)子源 到靶之間的加速電場是均勻的 在質(zhì)子束中與質(zhì)子源相距 l 和 4l 的兩處 各取一段極短的相等長度的質(zhì)子流 其中質(zhì) 子數(shù)分別為 n1和 n2 則 n1 n2 9 如圖 3 25 所示 電量 Q 均勻分布在一個半徑為 R 的 細圓環(huán)上 求圓環(huán)軸上與環(huán)心相距為 x 的點電荷 q 所受的 力的大小 10 如圖 3 26 所示 一根均勻帶電細線 總電量為 Q 彎成半徑為 R 的缺口圓環(huán) 在細線的兩端處留有很小的 長為 L 的空隙 求圓環(huán)中心處的場強 11 如圖 3 27 所示 兩根均勻帶電的半無窮長平行直導 線 它們的電荷線密度為 端點聯(lián)線 LN 垂直于這 兩直導線 如圖所示 LN 的長度為 2R 試求在 L