人教版八年級(jí)下第十七章勾股定理經(jīng)典例題（含答案解析）

1 經(jīng)典例題透析 類型一：勾股定理的直接用法 1、在 ， C=90 (1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40， b=9，求 c； (3)已知 c=25， b=15，求 a. 思路點(diǎn)撥 : 寫解的過(guò)程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。 解析： (1) 在 ， C=90， a=6， c=10,b= (2) 在 ， C=90， a=40， b=9,c= (3) 在 ， C=90， c=25， b=15,a= 舉一反三 【變式】 :如圖 B= 0 , 3,2, ,則 長(zhǎng)是多少 ? 【答案】 0 3, 2 132 122 =25 又 0且 由勾股定理可得 52 32 =16 4 長(zhǎng)是 4. 類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 2、如圖，已知：在 中， ， ， . 求： 思路點(diǎn)撥 ：由條件 ，想到構(gòu)造含 角的直角三角形，為此作 于 D，則有 ， ，再由勾股定理計(jì)算出 而求出 解析 ：作 于 D，則因 ， （ 的兩個(gè)銳角互余） （在 中，如果一個(gè)銳角等于 ， 那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半） . 根據(jù)勾股定理，在 中， . 根據(jù)勾股定理，在 中， 2 . . 舉一反三 【變式 1】如圖，已知： ， ， 于 P. 求證： . 解析 ：連結(jié) 據(jù)勾股定理，在 中， . 而在 中，則根據(jù) 勾股定理有 . 又 （已知）， . 在 中，根據(jù)勾股定理有 ， . 【變式 2】已知：如圖， B= D=90， A=60， ， 。求：四邊形 面積。 分析 ：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié) 延長(zhǎng) 于 F，或延長(zhǎng) 于點(diǎn) E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。 解析 ：延長(zhǎng) 于 E。 A= 60， B=90， E=30。 ， ， 28， = 。 22， = 。 S 四邊形 D 類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用 （一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題 3、如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地 A 點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東 60方向走了到達(dá) B 點(diǎn)，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到達(dá)目的 地 C 點(diǎn)。 （ 1） 3 求 A、 C 兩點(diǎn)之間的距離。 （ 2）確定目的地 C 在營(yíng)地 A 的什么方向。 解析 ：（ 1）過(guò) B 點(diǎn)作 0 30 + 80 0 即 直角三角形 由已知可得： 00m， 由勾股定理可得： 所以 （ 2）在 ， 00m， 000m 0 0 0 即點(diǎn) C 在點(diǎn) A 的北偏東 30的方向 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 ，寬 ，要開(kāi)進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門 ? 【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過(guò)，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于 圖所示，點(diǎn) D 在離廠門中線 處，且 ， 與地面交于 H 解： 1 米 (大門寬 度一半 )， （卡車寬度一半） 在 ，由勾股定理得： ） ） 因此高度上有 的余量，所以卡車能通過(guò)廠門 4 （ 二）用勾股定理求最短問(wèn)題 4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過(guò)高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊 A、B、 C、 D，且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 思路點(diǎn)撥 ：解答本題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過(guò)利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論 解析 ：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 1，則圖（ 1）、圖（ 2）中的總線路長(zhǎng)分別為 C+3， C+3 圖（ 3）中，在 同理 圖（ 3）中的路線長(zhǎng)為 圖（ 4）中，延長(zhǎng) H，則 及勾股定理得： 1 21 此圖中總線路的長(zhǎng)為 4F 3 圖（ 4）的連接線路最短，即圖（ 4）的架設(shè)方案最省電線 舉一反三 【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為 20為 4是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A 出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C，試求出爬行的最短路程 5 解： 如圖，在 中，底面周長(zhǎng)的一半 根據(jù) 勾股定理得 （提問(wèn)：勾股定理） （ 勾股定理） 答：最短路程約為 類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為 的線段 5、作長(zhǎng)為 、 、 的線段。 思路點(diǎn)撥： 由勾股定理得，直角邊為 1 的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于 ，直角邊為 和 1 的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是 ，類似地可作 。 作法 ：如圖所示 （ 1）作直角邊為 1（單位長(zhǎng)）的等腰直角 斜邊； （ 2）以 一條直角邊，作另一直角邊為 1 的直角 。斜邊為 ； （ 3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形 ，這樣斜邊 、 、 、 的長(zhǎng)度就是 、 、 、 。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示 的點(diǎn)。 解析： 可以把 看作是直角三角形的斜邊， ， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)， 而 10 又是 9 和 1 這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是 3 和 1。 作法 ：如圖所示在數(shù)軸上找到 A 點(diǎn)，使 ，作 截取 ，以 半徑， 以 O 為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B 即為 。 類型五：逆命題與勾股定理逆定理 6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 6 1原命題：貓有四只腳（正確） 2原命題：對(duì)頂角相等（正確） 3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確） 4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等（正確） 思路點(diǎn)撥： 掌握原命題與逆命題的關(guān)系。 解析： 1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確） 2. 逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確） 3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 （正確） 4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上（正確） 總結(jié)升華： 本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。 7、如果 三邊分別為 a、 b、 c，且滿足 a2+b2+0=6a+8b+10c，判斷 形狀。 思路點(diǎn)撥 ：要判斷 形狀，需要找到 a、 b、 c 的關(guān)系，而題目中只有條件 a2+b2+0=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問(wèn)題。 解析 ：由 a2+b2+0=6a+8b+10c，得 ： +6+5=0, (+(+(=0。 ( 0, ( 0, ( 0。 a=3， b=4， c=5。 32+42=52, a2+b2= 由勾股定理的逆定理，得 直角三角形。 總結(jié)升華 ：勾股定理的逆定理是通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的 ,在證明中也常要用到。 舉一反三 【變式 1】四邊形 ， B=90， ， ， 2， 3，求四邊形 面積。 【答案】：連結(jié) B=90， ， 5（勾股定理） 69， 69 0（勾股定理逆定理） 【變式 2】已知 : mn,m2+n2(m,n 為正整數(shù) ,且 m n),判斷 否為直角三角形 . 分析 :本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明 :a2+b2=證明： 7 所以 【變式 3】如圖正方形 E 為 點(diǎn)， F 為 一點(diǎn)，且 請(qǐng)問(wèn) 否垂直 ?請(qǐng)說(shuō)明。 【答案】答： 證明：設(shè) BF=a，則 C=2a, a， a, E2= 60 連接 圖） 65 經(jīng)典例題精析 類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形兩直角邊的比是 3： 4，斜邊長(zhǎng)是 20，求此直角三角形的面積。 思路點(diǎn)撥： 在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過(guò)比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。 解析： 設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 3x， 4x，根據(jù)題意得： （ 3x） 2+（ 4x） 2 202 化簡(jiǎn)得 16； 直角三角形的面積 3x 4x 696 總結(jié)升華： 直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。 舉一反三 【 變式 1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2，求它的面積。 【 答案 】如圖，等邊 D 則： 腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合） 2（等邊三角形各邊都相等） 1 在直角三角形 ， ： 4 1 3 S 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為 a，則其面積為 a。 【 變式 2】直角三角形周長(zhǎng)為 12邊長(zhǎng)為 5直角三角形的面積。 【 答案 】設(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是 x， y，根據(jù)題意得： 8 由（ 1）得： x+y 7， （ x+y） 2 49， xy+49 (3) (3) (2)，得： 12 直角三角形的面積是 12 6（ 【 變式 3】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是 n+1， n+2， n+3，求 n。 思路點(diǎn)撥： 首先要確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng) n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 n+3，由勾股定理可得： （ n+1） 2+（ n+2） 2（ n+3） 2 化簡(jiǎn)得： 4 n 2，但當(dāng) n 2 時(shí)， n+1 10， n 2 總結(jié)升華： 注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒(méi)有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。 【 變式 4】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（ ） A、 8， 15， 17 B、 4， 5， 6 C、 5， 8， 10 D、 8， 39， 40 解析： 此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判斷， 對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用 a2+： c a）（ c+a）來(lái)判斷。 例如：對(duì)于選擇 D， 82（ 40+39）（ 40 39）， 以 8， 39， 40 為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。 同理可以判斷其它選項(xiàng)。 【答案】： A 【 變式 5】四邊形 ， B=90， ， ， 2， 3，求四邊形 面積。 解：連結(jié) B=90， ， 5（勾股定理） 69， 69 0（勾股定理逆定理） S 四邊形 6 類型二：勾股定理的應(yīng)用 2、如圖，公路 公路 點(diǎn) P 處交匯 ，且 30，點(diǎn) A 處有一所中學(xué)， 160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100m 以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路 沿 向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為 18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？ 思路點(diǎn)撥： （ 1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校 A，實(shí)質(zhì)上是看 A 到公路的距離是否小于 100m, 小于 100m 則受影響，大于 100m 則不受影響，故作垂線段 計(jì)算其長(zhǎng)度。（ 2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校 A 的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開(kāi)始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。 解析 ：作 垂足為 B。 在 ， 90， 30， 160， 80。 （在直角三角形中， 30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半） 點(diǎn) A 到直線 距離小于 100m, 這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。 如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路 沿 向行駛到點(diǎn) C 處學(xué)校開(kāi)始受到影響，那么 100(m)， 9 由勾股定理得： 10023600, 60。 同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn) D 處學(xué)校開(kāi)始脫離影響，那么， 100(m)， 60(m), 120(m)。 拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h 5m/s t 120m 5m/s 24s。 答：拖拉機(jī)在公路 沿 向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為 24 秒。 總結(jié)升華 :勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法 ,若圖形缺少直角條件 ,則可以通過(guò)作輔助垂線的方法 ,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。 舉一反三 【 變式 1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了 _步路（假設(shè) 2 步為 1m），卻踩傷了花草。 解析：他們?cè)瓉?lái)走的路為 3+4 7(m) 設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為 故少走的路長(zhǎng)為 7 5 2(m) 又因?yàn)?2 步為 1m，所以他們僅僅少走了 4 步路?！敬鸢浮?4 【 變式 2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 （ 1）直接寫出單位正三角形 的高與面積。 （ 2）圖中的平行四邊形 有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形 面積是多少？ （ 3）求出圖中線段 長(zhǎng)（可作輔助線）。 【答案】（ 1）單位正三角形的高為 ，面積是 。 （ 2）如圖可直接得出平行四邊形 有 24 個(gè)單位正三角形，因此其面積 。 （ 3）過(guò) A 作 點(diǎn) K（如圖所示），則在 ， ， ，故 類型三：數(shù)學(xué)思想方法 （一）轉(zhuǎn)化的思想方法 我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決 3、如圖所示， 等腰直角三角形， C， D 是斜邊 中點(diǎn)， E、 F 分別是 上的點(diǎn)，且 0 2， 求線段 長(zhǎng)。 思路點(diǎn)撥： 現(xiàn)已知 求 這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接 解 ：連接 因?yàn)?0， C 又因?yàn)?中線， 所以 C= 且 C=45 因?yàn)?0 又因?yàn)?0 所以 所以 所以 C=5 同理： E=12 在 ，根據(jù)勾股定理得： ，所以 3。 總結(jié)升華 ：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)。通過(guò)此題，我們可以了解：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時(shí)，應(yīng)通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的