自動控制原理復習總結(jié)(精辟)

1 2009 年秋季 自動控制理論 一 復習指南和要求 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型復習指南與要點解析 要求 根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖應用結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化或者應用信號流圖與梅森公式求傳 遞函數(shù) 方法不同 但同一系統(tǒng)兩者結(jié)果必須相同 一 控制系統(tǒng) 3 種模型 即時域模型 微分方程 復域模型 傳遞函數(shù) 頻域模型 頻率特性 其中重點為傳遞函數(shù) 在傳遞函數(shù)中 需要理解傳遞函數(shù)定義 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是在零初始條件下 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比 和性質(zhì) 零初始條件下 如要求傳遞函數(shù)需拉氏變換 這句話必須的 二 結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化 實際上 也就是消去中間變量求取系統(tǒng)總傳遞函數(shù)的過程 1 等效原則 變換前后變量關(guān)系保持等效 簡化的前后要保持一致 P45 2 結(jié)構(gòu)圖基本連接方式只有串聯(lián) 并聯(lián)和反饋連接三種 如果結(jié)構(gòu)圖彼此交叉 看不出 3 種基本連接方式 就應用移出引出點或比較點先解套 再畫簡 其中 引出點前移在移動支路中乘以 注意 只須記住此 其他根據(jù)倒數(shù)關(guān)系導出即可 G s 引出點后移在移動支路中乘以 1 G s 相加點前移在移動支路中乘以 1 G s 相加點后移在移動支路中乘以 G s 注 乘以或者除以 到底在系統(tǒng)中指什么 關(guān)鍵看引出點或者相加點在誰的前后移動 在 G s G s 誰的前后移動 就是誰 G s 例 1 利用結(jié)構(gòu)圖化簡規(guī)則 求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) C s R s 解法 1 1 前面的引出點后移到的后面 注 這句話可不寫 但是必須繪制出下面的結(jié)構(gòu)圖 3 G s 3 G s 表示你如何把結(jié)構(gòu)圖解套的 2 消除反饋連接 2 3 消除反饋連接 4 得出傳遞函數(shù) 123 121232123 1 G s G s G sC s R sG s G s H sG s G s HsG s G s G s 注 可以不寫你是怎么做的 但是相應的解套的那步結(jié)構(gòu)圖必須繪制出來 一般 考慮到考試時間 限制 化簡結(jié)構(gòu)圖只須在紙上繪制出 2 3 個簡化的結(jié)構(gòu)圖步驟即可 最后給出傳遞函數(shù) C s R s 解法 2 后面的相加點前移到前面 并與原來左數(shù)第二個相加點交換位置 即可解套 1 G s 1 G s 自己試一下 注 條條大路通羅馬 但是其最終傳遞函數(shù)一定相同 C s R s 注 比較點和引出點相鄰 一般不交換位置 切忌 否則要引線 三 應用信號流圖與梅森公式求傳遞函數(shù) 梅森公式 n k kk PP 1 1 式中 P 總增益 n 前向通道總數(shù) Pk 第 k 條前向通道增益 系統(tǒng)特征式 即 fedcba LLLLLL1 Li 回路增益 La 所有回路增益之和 LbLc 所有兩個不接觸回路增益乘積之和 LdLeLf 所有三個不接觸回路增益乘積之和 k 第 k 條前向通道的余因子式 在 計算式中刪除與第 k 條前向通道接觸的回路 注 一般給出的是結(jié)構(gòu)圖 若用梅森公式求傳遞函數(shù) 則必須先畫出信號流圖 注意 2 在應用梅森公式時 一定要注意不要漏項 前向通道總數(shù)不要少 各個回路不要漏 例 2 已知系統(tǒng)的方框圖如圖所示 試求閉環(huán)傳遞函數(shù)C s R s 提示 應用信號流圖及梅森公式 解 1 繪制信號流圖 G5 H1 H3 G3G2G1 H2 G4 R s C s G1G2G3 H1 G5 H3 H2 G4 R s C s 3 注 別忘了標注箭頭表示信號流向 2 應用梅森公式求閉環(huán)傳遞函數(shù) 前向通道增益 3211 GGGP 342 GGP 回路增益 221 HGL 133212 HHGGGL 53 GL 43431 LG G H H 特征式 221231353431252 1 G HGG G H HGG G H HG G H 余因子式 對應各個前項通道的 經(jīng)驗 一般余因子式不會直接等于 1 不然太簡單了 51 1G 52 1G 閉環(huán)傳遞函數(shù) 12435 22123135252 1 1 GGG GGC s R sG HGG G H HGG G H 四 知道開環(huán)傳遞函數(shù)的定義 并會求閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 1 開環(huán)傳遞函數(shù) 如圖 12 G s H s B s G s G s H s s 若 則 B s G s ssGHssH 若 則 常見 G s H sG s 2 四個閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 特點分母相同 即特征方程相同 通常說的輸出對輸入的傳遞函數(shù) 12 12 1 G s G sC s s R sG s G s H s 2 12 1 n G sC s s N sG s G s H s 12 1 1 s s R sG s G s H s 2 12 1 n G s H ss s N sG s G s H s 注 后面求穩(wěn)態(tài)誤差需要 4 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析 要求 1 會分析系統(tǒng)的時域響應 包括動態(tài)性能指標 c t 2 會用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性并求使得系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)條件 3 會根據(jù)給出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 求出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 并減小或消除之 一 時域分析方法和思路 已知系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)模型 求時域響應 r t s c t 例 1 求一階系統(tǒng)的單位階躍響應 1 輸入 則其拉氏變換為 則 1 ttr s sR 1 2 11111 111 T C ss R s TsssTsssT 3 對上式取拉氏反變換 得其響應單位階躍信號的響應為 1 e 0 t T ssts c tcct 注 1 為穩(wěn)態(tài)分量 它的變化由輸入信號的形式 上例中 決定 ss c 1 ttr 上例中 為暫態(tài)分量 由閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點 上例中 決定 ts c e t T ts c 1 s T 二 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)特征根均需具有負實部或者說的極點都在在 s 平 s 面 左 半部分 系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)本來的固有特性 與外輸入信號無關(guān) 1 只有當系統(tǒng)的特征根全部具有負實部時 系統(tǒng)達到穩(wěn)定 2 如果特征根中有一個或一個以上具有正實部 則這表明系統(tǒng)不穩(wěn)定 3 如果特征根中具有一個或一個以上的零實部根 而其余的特征根均具有負實部 則脈沖響應函數(shù)趨于常數(shù) 或者趨于等幅正弦 余弦 振蕩 稱為臨界穩(wěn)定 注 2 根據(jù)如果極點都在 s 平面左半部分 則暫態(tài)分量隨時間增大而衰減為 0 s ts c 如果極點有一個都在 s 平面右半部分 則暫態(tài)分量隨時間增大而發(fā)散 s ts c 三 二階系統(tǒng)單位階躍響應及其欠阻尼情況下指標計算 1 熟悉二階系統(tǒng)單位階躍響應的 3 個對應關(guān)系 即 不同阻尼比類型 不同單位階躍的時間響應波形圖 不同系統(tǒng)穩(wěn)定性 c t 2 二階系統(tǒng)欠阻尼單位階躍響應的指標計算 欠阻尼二階系統(tǒng)上升時間 峰值時間 調(diào) 節(jié)時間 超調(diào)量計算 公式必須牢記 2 1 p d n t 2 1 r d n t 2 1 100 e100 p p c tc c 43 0 02 0 05 ss nn tt 或 其中 阻尼角 阻尼振蕩頻率 2 1 arctan 2 1 dn 5 例 2 2004 年考題已知控制系統(tǒng)如圖所示 1 確定使閉環(huán)系統(tǒng)具有及的7 0 6srad n 值和值 k 2 計算系統(tǒng)響應階躍輸入時的超調(diào)量和峰值時間 p p t 解 1 22 2 2 2 6 nn n ssksks k s 則 2 36 26 n n k k 36 0 067 k 2 21 2 exp 1 4 6 st dp 733 0 例 3 2006 年考題 已知控制系統(tǒng)如圖所示 R s C s Gbr G H E s 6 ss k sG ssH 在時 閉環(huán)系統(tǒng)響應階躍輸入時的超調(diào)量 峰值時間秒 確0 br sG 6 4 p 733 0 p t 定系統(tǒng)的值和值 k 解 1 2 222 6 2 n nn k s skskss 則則 4 6 0 7 0 7336 pn t 2 62 n n k k 36 0 067 k 四 附加閉環(huán)負實零點對系統(tǒng)影響 具有閉環(huán)負實零點時的二階系統(tǒng)分析對系統(tǒng)的作用表現(xiàn)為 1 僅在過渡過程開始階段有較大影響 2 附加合適的閉環(huán)負實零點可使系統(tǒng)響應速度加快 但系統(tǒng)的超調(diào)量略有增大 3 負實零點越接近虛軸 作用越強 五 高階系統(tǒng)的時域分析 利用閉環(huán)主導極點降階 如果在系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點中 距離虛軸最近的閉環(huán)極點周圍沒有閉環(huán)零點 而其他 閉環(huán)極點又遠離虛軸 且滿足 1 Re 5 Re i ss 式中 為主導極點 1 s 為非主導極點 i s 則距離虛軸最近的閉環(huán)極點所對應的響應分量隨著時間的推移衰減得最慢 從而在系統(tǒng)的 響應過程中起主導作用 一般閉環(huán)主導極點為共軛閉環(huán)主導極點或者一個實閉環(huán)主導極點 六 利用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性并求使得系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)條件 1 根據(jù)特征方程 則線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 1 110 0 nn nn D sa sasa sa 6 勞斯表首列元素均大于零 首列系數(shù)符號改變次數(shù)與分布在 s 平面右半部的極點個數(shù)相同 2 勞斯表特殊情況時 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定或者不穩(wěn)定 3 如果系統(tǒng)穩(wěn)定 則特征方程系數(shù)同號且不缺項 1 110 0 nn nn D sa sasa sa 4 利用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)穩(wěn)定性 例 4 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 k 的取值范圍 解 整理 2 1 2 k s s sssk 從高到低排列特征方程系數(shù) 432 332 k s ssssk 列勞斯表 S413k S3320 S27 3k S1 14 9 k 70 S0k 如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值 因此 且 所以 149 0 14 9 7 k k 0k 014 9k 七 穩(wěn)態(tài)誤差以及減小或者消除穩(wěn)態(tài)誤差 1 穩(wěn)態(tài)誤差定義 11 lim lim lim sse ttt ee tLE sLs R s 其中 誤差傳遞函數(shù) 1 1 1 e E s sH s R sH sG s H s 1 1 1 e E s sH s R sG s 2 終值定理法求穩(wěn)態(tài)誤差 如果有理函數(shù)除了在原點有唯一的極點外 在 s 右半平面及虛軸解析 即的極點均位 ssE ssE 于 s 左半平面 包括坐標原點 則根據(jù)終值定理可求穩(wěn)態(tài)誤差 00 lim lim sssse ss eesE sss R s 注 一般當輸入是為階躍 速度 加速度信號及其組合信號時 且系統(tǒng)穩(wěn)定時 可應用終值定理求穩(wěn) 態(tài)誤差 3 系統(tǒng)型別 定義為開環(huán)傳遞函數(shù)在 s 平面的積分環(huán)節(jié)個數(shù) 1 1 1 1 m i i n j j Ks G s H snm sT s 其中 K 系統(tǒng)的開環(huán)增益 放大倍數(shù) 為型別 4 基于靜態(tài)誤差系數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差 當 輸入為階躍 速度 加速度信號及其組合信號時 7 靜態(tài)位置誤差系數(shù) 00 lim lim p ss K KG s s 1 ss p R e K 靜態(tài)速度誤差系數(shù) 1 00 lim lim v ss K KsG s s ss v R e K 靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 2 2 00 lim lim a ss K Ks G s s ss a R e K 要求 根據(jù)給出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和輸入 能用靜態(tài)誤差系數(shù)能夠求出穩(wěn)態(tài)誤差 例 5 如圖 求系統(tǒng)當 k 10 輸入為 r t 1 5t 時的穩(wěn)態(tài)誤差 解 開環(huán)傳遞函數(shù) 105 2 0 51 G s s sss 1 因為 r t 1 5t 則 因此 1 00 lim lim5 v ss K KsG s s 1 5 0 3 5 ss v R e K 5 減小或者消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法 a 增大開環(huán)放大倍數(shù) 開環(huán)增益 在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下 b 提高系統(tǒng)的型別 在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下 c 采用復合控制方法 要知道其原理 包括輸入補償和擾動補償兩種 都可以消除 穩(wěn)態(tài)誤差而不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性 注 若零點包含輸入信號的全部極點 則系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài) 00 lim lim sse ss esE sss R s e s 誤差 同理 若零點包含輸入信號的全部極 00 lim lim ssnnen ss esE sss N s en s N s 點 則系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差 例6 2007 一復合控制系統(tǒng)如圖所示 圖中 2 2 112 12 1 1 bc Kasbs G sKG sGs sTsT s K1 K2 T1 T2均為已知正值 當輸入量 r t t2 2 時 要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零 試確定參數(shù) a 和 b 解 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 代入 212 12 1 bc G GG GC s s R sGG 2 2 112 12 1 1 bc Kasbs G sKG sGs sTsT s 則 只適應于單位 32 21 21222 32 121 21212212 1 1 1 1 1 bc e G GTT sTTK a sK b sE s ss R sGGTT sTT sK K T sK K 負反饋系統(tǒng) 欲使系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)響應速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為 0 即 3 1 ssR 8 應 32 1 21222 323 000 1 21212212 1 1 lim lim lim 1 sse sss TT sTTK a sK b s esE sss R ss TT sTT sK K T sK Ks e s 該包含的全部極點 3 1 ssR 則 122 2 1 TTK a K b 22 21 1 K b K TT a 注 要求會求誤差傳遞函數(shù) 包括擾動下的誤差傳遞函數(shù) 一般單位反饋 第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法 要求 根據(jù)給出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 求開環(huán)傳遞函數(shù) 得出根軌跡方程 化成標準形式 判斷 根軌跡類型 繪制根軌跡 完成對穩(wěn)定性 動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能的分析 一 根軌跡定義 開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從 時 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根 閉環(huán)0 極點 在 s 平面變化的軌跡 注 根軌跡是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根的軌跡 二 根軌跡法中開環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式 零極點形式 稱為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 1 1 m j j n i i ksz G s H snm sp k 注 變化的參數(shù)以規(guī)范形式出現(xiàn)在分子上 k 開環(huán)系統(tǒng)零極點形式表示 s 項的系數(shù)為 1 三 根軌跡方程從哪里來 根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程 四 根軌跡繪制的基本規(guī)則 180 度和 0 度 前 8 條 注 180 度和 0 度的差別主要是相角條件有關(guān)的不同 注 相角逆時針為正 注 注意繪制的主要步驟必須有 因有步驟分 而且要標注上前頭方向 例 1 某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡 2 2 23 k s G s H s ss 解 要判斷是 180 根軌跡還是 0 根軌跡 根據(jù)根軌跡方程 標準型 180 根軌跡 2 2 1 23 k s G s H s ss 1 根軌跡的起點和終點 起點 有復極點有起始角 1 12pj 2 12pj 2n 終點 1 2z 1m 2 根軌跡的分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù) 開環(huán)極點數(shù) 可以省略此步2n 3 根軌跡的對稱性和連續(xù)性 根軌跡連續(xù)且對稱于實軸 可以省略此步 9 4 根軌跡的漸近線 與實軸的交點和夾角 與實軸的夾角 負實軸 1nm 0 180 a 如圖 5 根軌跡在實軸上的分布 是根軌跡 2 6 根軌跡的起始角和終止角 只有開環(huán)復極點 因此只有出射角 00 11112 180 180 122 1212 p pzppjjj 0000 1 18054 790144 7 p 利用對稱性 則 0 2 144 7 p 7 根軌跡與實軸的交點 根軌跡在實軸上的分離點與分離角 則 2 23 2 ss k s 2 23 0 2 dkdss dsdss 因此 所以 2 410ss 求出 舍 12 3 72 0 268 xx ss 8 根軌跡與虛軸的交點 若將代入特征方程sj 2 2 10 23 k s ss 2 23 2 0ssk s 所以令實部 虛部分別等于 0 得 與虛軸沒有交點 2 20 320 k k 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性 都穩(wěn)定 五 根據(jù)根軌跡分析系統(tǒng)性能 根據(jù)根軌跡判斷穩(wěn)定性 求 k 值范圍 超 調(diào)量 系統(tǒng)型別 看根軌跡原點處開環(huán)極點的個數(shù) 等 例 2 2008 考題 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下 要求 1 繪制參數(shù)的根軌跡 要有主要步驟 10 分 0a 2 確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)的范圍 2 分 a 3 確定使系統(tǒng)階躍響應無超調(diào)的參數(shù)的范圍 2 分 a 10 4 確定使系統(tǒng)出現(xiàn)階躍響應出現(xiàn)等幅振蕩時的頻率 1 分 5 確定使系統(tǒng)出現(xiàn)階躍響應出現(xiàn)衰減振蕩時的參數(shù)的范圍 1 分 a 解 1 由題意得 系統(tǒng)特征方程為 32 0 250 250D ssssa 則 2 0 25 0 25 as ss 則根軌跡方程為 2 分 2 0 25 1 0 25 a s ss 繪制參數(shù)的繪制根軌跡如下 0a 0 180 1 根軌跡的起點 1 分 無開環(huán)有限零點 1 0p 23 0 5pp 2 根軌跡的分支數(shù) 3n 3 根軌跡的漸近線 1 分 0m 3nm 與實軸的交點 11 00 50 51 33 nm ij ij a pz nm 與實軸的夾角 0 3 21 0 1 1 1 3 a l l ll nm l 4 實軸上的根軌跡 1 分 0 5 根軌跡與實軸的分離點 1 分 2 4 0 25 0 dad s ss dsds 求出與實軸交點 2 12810ss 1 0 5s 2 1 6s 6 根軌跡與虛軸的交點 1 分 應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊形式 列勞斯表 3 2 1 0 10 25 10 25 0 25 1 0 0 25 s sa sa sa 當 為全零行 此時構(gòu)筑輔助方程 則 1a 1 s 2 0 250s 0 5sj 則根軌跡如下 3 分 2 系統(tǒng)穩(wěn)定 2 分 01a 3 當根軌跡在分離點處 對應的 2 1 6s 2 1 6 2 4 0 25 27 s as ss 則當階躍響應無超調(diào) 2 分 2 0 27 a 4 則系統(tǒng)出現(xiàn)等幅振蕩時的振蕩頻率 1 分 sj 0 5 0 p1p2 3 j j0 5 0 5 1 6 j0 5 11 5 1 分 2 0 5 27 a 注 如果是參數(shù)根軌跡 根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程得出根軌跡方程 并將其化成標準形 式 第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法 第六章的基礎(chǔ) 要求 1 繪制出頻率響應曲線開環(huán)幅相曲線或開環(huán)對數(shù)漸近幅頻特性曲線 Bode 圖 補線 應用奈 奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性及系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍 2 利用開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 一 頻域分析法中開環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式為 時間常數(shù)形式 1 1 1 1 m j j n i i Ks G s H snm sTs 二 最小相位系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線的繪制 1 1 1 0 0 0 1 m j j ij n i i Ks G s H snm KT sTs 1 極坐標圖的起點 0 lim 2 KK G j j 0 0 90 2 極坐標圖的終點 當時 10 1 1 lim 0 90 1 m j j n i i Kj G jnm jjT 3 與實軸交點 Im 0G jH j Re G jH j 4 從起點到終點的相角及與實軸交點位置共同決定曲線所在象限 K 值變化僅改變幅相 曲線的幅值及與實軸交點的位置 不改變其形狀 注 用箭頭表示頻率增大的方向 例 1 P198 I 型單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 12 1 1 K G s s TsT s 12 0K T T 繪制開環(huán)幅相曲線 12 解 頻率響應 2 121 2 2222 1212 1 1 1 1 1 KTTjTTK G jH j jjTjTTT 1 起點 0 A 2 2 終點 因為 說明整個幅相曲線在 II III 象 0A 3 2 3nm 限 3 與負實軸的交點 令 則 則 2 1 2 1 Im0 TT 121 2 2222 1212 Re 1 1 K TTKTT TTTT 可見 K 值變化僅改變幅相曲線的幅值及與負實軸交點的位置 不改變幅相曲線的形狀 三 最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)漸近幅頻特性曲線 Bode 圖 的繪制 1 將開環(huán)傳遞函數(shù)分解成典型環(huán)節(jié)乘積的形式 尾 1 型 1 1 1 0 0 0 1 m j j ij n i i Kj G jH jnm KT jjT 2 將各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率由低到高從左向右依次標注在橫軸上 不妨設(shè)為 1234 將 最小轉(zhuǎn)折頻率 的頻率范圍設(shè)為低頻段 1 3 在低頻段 開環(huán)對數(shù)漸近幅頻特性 20lg20lg20 lg a v K LKv 可見 其直線斜率為 20 但是要畫出這低頻段漸近特性直線 還必須確定該直線或其延長線上一點v P202 法 1 在小于第一個轉(zhuǎn)折頻率內(nèi)任選一點 計算 常用 01 00 20lg20 lg a LKv 法 2 取特定頻率 計算 0 1 0 20lg a LK 法 3 取為特殊值 0 則 則計算出 0 a L 0 1 K 1 0 K 4 從低頻以后 沿頻率增大的方向 每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率就改變直線斜率 變化規(guī)律取決于該轉(zhuǎn)折 頻率對應的典型環(huán)節(jié)種類 如果典型環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié) 在交接頻率之后 斜率要減小 20dB dec 或 40 db dec 如果 典型環(huán)節(jié)為一階微分環(huán)節(jié)或二階微分環(huán)節(jié) 在交接頻率之后 斜率要增加 20db dec 或 40 db dec 即一 階 20dB dec 的整數(shù)倍 二階 40dB dec 的整數(shù)倍 5 繪出用漸近線表示的對數(shù)幅頻特性以后 如果需要 可以進行修正 通常只需修正轉(zhuǎn)折頻率處幅 13 值就可以了 對于一階項 在轉(zhuǎn)折頻率處的修正值為 3dB 對于二階項 在轉(zhuǎn)折頻率處的修正值可由 公式求出 一般不用修正 例 2 已知 繪制 Bode 圖 501 5001 51 1 Ks G s ssss 解 四 利用開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性確定最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 1 確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù) 利用低頻段低頻漸近線斜率為 20 dB dec 20lg20lg20 lg a v K LKv 2 確定系統(tǒng)其他環(huán)節(jié) 根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率前后斜率變化判斷對應的環(huán)節(jié)類型 利用轉(zhuǎn)折頻率倒數(shù)確定時間常 數(shù) 圖中每次遇到一個交接頻率改變一次分段直線的斜率 且斜率的變化對應這環(huán)節(jié)的類型 在交接頻率 之后 斜率要減小 20db dec 或 40 db de 為慣性環(huán)節(jié)或振蕩環(huán)節(jié) 斜率要增加 20db dec 或 40 db dec 對應 一階微分環(huán)節(jié)或二階微分環(huán)節(jié) 3 參數(shù) K 的確定 已知低頻段或其延長線上一點確定 20lg20lg20 lg a v K LKv 例 3 解 1 1 1 100 1 1 5 Ks G s ss 2 20lg20lg20lg0 K K 10K 3 1 10 1 100 1 1 5 s G s ss 特別指出 半對數(shù)坐標系中求斜率 14 21 21 lglg LL k 例 4 見幻燈片 已知最小相角系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線 求開環(huán)傳遞函數(shù) 解 1 確定結(jié)構(gòu) 最左端直線的斜率為 40 db dec 故而有 2 個積分環(huán)節(jié) 因為從 1起 2040v 近似對數(shù)幅頻曲線斜率變化 20 db dec 和 40 db dec 故為 1 階微分環(huán)節(jié)和 2 階微分環(huán)節(jié) 于是系統(tǒng)的傳遞 函數(shù)為 2 2 3 1 1 K s G s ss 2 確定 K 法一 最左端直線的延長線和零分貝線的交點頻率為 0 則 00 20lg20 lg20lg40lg0KvK 2 0 K 斜率 則 則 02 0 40 lglg H 2 0 20 lglg c H 2 0 22 c 2 02c K 法二 已知 在處 直線 1 和 2 的縱坐標之和為 0 即 c c 12 0 ccc LLL 1 2 0 20 lglg c c L 2 0 0 40 lglg c c L 因此 則 則 02 40 lglg 20 lglg 0 cc 2 0 2 c 02c 五 頻率域穩(wěn)定判據(jù) 1 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是閉合曲線不穿越 1 j0 點 且逆時針 GH 圍繞點 P 次 記為 0 1 j 1 2 15 2 RPN 其中 N 為半閉合曲線 GH穿越點左側(cè)的的次數(shù)和 相角增大為正穿越 0 1 j GH 當 通常 只需繪制的半條 GH曲線 即開環(huán)幅相曲線 0 0 當 當 G s H s 有虛軸上的極點時 繪制的半條 GH曲線外 半閉合曲線還要從0 0 出發(fā) 以無窮大為半徑 逆時針轉(zhuǎn)過 2 后的虛線圓弧 箭頭指向 箭頭指向增大0 0 的方向 例 5 設(shè)某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 2 41 1 21 s G s H s sss 應用 Nyquist 判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 2 22 2222 1 10 1 8 41 1 21 1 2 9 jj G j jjj 1 繪制 Nyquist 曲線 起點 0 0 180 2 A 終點 0 0 270 3 Anm 幅相曲線與負實軸有交點 可令I(lǐng)mG j H j 0 得 2 1 8 0 354 此時 ReG j H j 10 67 即幅相曲線與負實軸的交點為 10 67 j0 2 補線 位由于有一個交點 因此 0 在實軸下面 開環(huán)系統(tǒng)有兩個極點在s平面的坐標 原點 因此幅相曲線應從 0 開始 以無窮大半徑逆時針補畫180度 箭頭指向 0 如 圖 0 1 2v j 10 67 0 3 由圖可見 N 1 即 R 2 系統(tǒng)無開環(huán)極點位于 s 平面的右半部 故 P 0 所以 Z 2 即系統(tǒng)不穩(wěn) 定 并有兩個閉環(huán)極點在 s 平面的右側(cè) 例5 2 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范 12 1 1 K G s H s s TsT s 圍 解 1 首先作Nyquist曲線圖 只求圖過點的K值范圍 0 1 j 2 代入 sj 2 121 2 2222 1212 1 1 1 1 1 KTTjTTK G j jjTjTTT 利用相頻條件與幅頻條件 則 1G jH j 0 180G jH j 因此 一定與與負實軸有交點 其交點坐標為 令 因為 所以 因此 2 1 2 1 Im0 TT 1A 1 2 12 Re 1 KTT G j TT 12 1 2 TT K TT 即此時滿足正好穿過點 0 1 j 16 3 分析 因為P 0 要使系統(tǒng)穩(wěn)定 則 因此 不包圍點 則幅相曲線0N GH 0 1 j 與實軸的交點在的右邊 0 1 j 當 正好穿過 當 正好在的右邊 此時 12 1 2 TT K TT 0 1 j 12 1 2 TT K TT 0 1 j 系統(tǒng)穩(wěn)定 因此系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為 0RN 12 1 2 0 TT K TT 2007 例 已知某系統(tǒng)當開環(huán)增益時的開環(huán)頻率特性 Nyquist 圖如下圖所示 該系統(tǒng)20K 在右半平面的極點數(shù) 試分析當開環(huán)增益變化時其取值對閉環(huán)穩(wěn)定性的影響 50P K 分 解 分析 求與負實軸的交點 令 代入 Im0 Re 因為 K 值變化僅改變幅相曲線的幅值及與負實軸交點的位置 不改變幅相曲線的形狀 所以 設(shè) A 點對應的頻率為 B 點對應的頻率為 則 1 2 A 點 20K 1 2OA 求 由此 1 分 幅相曲線與負實軸交于A 點 K 1 1OA 10K B 點 20K 2 0 5OB 求 由此 1 分 幅相曲線與負實軸交于B 點 K 2 1OB 40K 注意 表明與與負實軸的交點越負 即越往左邊 K 分析 因為所以0 P 當 Nyquist 曲線不包圍 1 j0 點 系統(tǒng)穩(wěn)定 1 分 010K 當 Nyquist 曲線順時針包圍 1 j0 點 系統(tǒng)不穩(wěn)定 1 分 1040K 當 Nyquist 曲線不包圍 1 j0 點 上下穿越抵銷 系統(tǒng)穩(wěn)定 1 分 40K 注意 求穩(wěn)定的范圍總是與臨界穩(wěn)定時的參數(shù)有關(guān) 所有域中的分析方法皆是如此 注意 自己看P211例5 8 判斷使得系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍 2 對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù) 極坐標圖 伯德圖 1 j0 點 0dB 線和 180 相角線 1 段 0dB 線以上區(qū)域 結(jié)論 Nyquist 曲線自上而下 自下而上 穿越 1 j0 點左側(cè)負實軸相當于 Bode 圖中當 L 0dB 時相頻特性曲線自下而上 自上而下 穿越 180 線 j 1 0 j G jH j 0 L dB 0 0 c 17 例6 一反饋控制系統(tǒng) 其開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù) 2 1 K G s H s s Ts 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 見幻燈片 解 系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖所示 由于G s H s 有兩個積分環(huán)節(jié) 故在對數(shù)相 頻曲線 很小處 由下而上補畫了 180 到0 的虛線 作為對數(shù)相頻曲線的一部分 顯見N 1 R 2 P 0 所以 說明閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 有2個閉環(huán)極點位于s平面右半部 五 穩(wěn)定裕度 后面校正設(shè)計用 1 相角裕度 1 ccc AG jH j 相角裕度 180 180 ccc G jH j 2 幅值裕度 180 xxx G jH j 1 20lg20lg xx xx h dBG jH j G jH j 工程上一般相角裕度 幅值裕度 30 70 20lg6dBh dBh 例 7 一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 0 0 21 0 051 K G sK sss 解 試求 K 1 時系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度 頻率特性 0 21 0 051 K G j jjj 1 c 22 ccc c 11 1 0 21 0 051 0 041 0 00251 cc G j jjj c 1 11 180 180 90tan0 2tan0 05 18010476 ccc 2 11 90tan0 2tan0 05180 xxx 18 11 tan0 2tan0 0590 xx 12 12 12 0 20 05tantan tan 1tantan1 0 20 05 xx xx 1 0 20 050 xx 10 x 1 20lg 10 12 10 5 20lg1020lg 1420lg 1 0 25207 128 h dB jjj dB 六 開環(huán)對數(shù)幅頻特性的 三頻段理論 后面校正設(shè)計用 1 低頻段決定了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度 低頻段通常是指的開環(huán)對數(shù)漸近曲線在第一個轉(zhuǎn)折頻率以前的區(qū)20lg G jH j 段 這一段的特性完全由積分環(huán)節(jié) v 和開環(huán)增益 K 決定 20lg20lg20lg a v K LKv 0 20lg20 lg0Kv 2 中頻段是指穿過 0dB 線 即附近 的頻段 其斜率及寬度 中頻段長度 集中反映 L c 了動態(tài)響應中的平穩(wěn)性和快速性 見幻燈片 一般的 中頻段在附近以斜率為 c 下降的直線 20 dB dec 3 高頻段指曲線在中頻段以后的區(qū)段 反映出系統(tǒng)的低通濾波特性 形成了系統(tǒng)對 L 高頻干擾信號的抑制能力 見幻燈片 19 第六章 線性系統(tǒng)的校正方法 要求 1 在三頻段理論基礎(chǔ)上 能夠熟練應用基于頻率法的串聯(lián)超前 滯后和滯后 超前校正設(shè)計需要的系統(tǒng) 2 至于根軌跡校正 要求掌握其基本原理 與基于頻率法的串聯(lián)超前 滯后和滯后 超前校正可以 相對應 但是由于計算起來太繁雜 一般不采用 一 基本控制規(guī)律 P PI 滯后 改善穩(wěn)態(tài)性能 PD 超前 改善動態(tài)性能 PID 的特點 二 掌握基于頻率法的串聯(lián)超前 滯后和滯后 超前校正原理和特點 1 原理 0 C G jGjGj R s C s G s sGc sH 串聯(lián)滯后校正 保證動態(tài)性能不變情況下 提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能 利用滯后校正裝置高頻幅值衰減特性 低頻區(qū) 串聯(lián)超前校正 提高相角裕度 改善系統(tǒng)動態(tài)性能 利用超前校正裝置相角超前特性 中頻區(qū) 兩者可以放在同一個系統(tǒng)中使用 組成滯后 超前校正 2 典型的頻率域指標是 K 等指標 一般選擇 K 主要驗證 c c 3 校正方法的選取 判斷方法要會 如果題目已經(jīng)明確要求采用何種校正裝置 就不 需要選擇方法 即跳過這部分 如果 超前校正 0cc 如果 且 滯后校正 0cc 0 c j 如果 且 滯后 超前校正 0cc 0 c j 注 要求串聯(lián)超前 滯后和滯后 超前校正的原理 4 校正步驟 只需要記住一種就是滯后 超前校正步驟 所有的都包括了 但是 20 注意 一定要驗證 注 一般無需指標間的轉(zhuǎn)換 一定要有步驟 因有步驟分 例 2007 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試采用滯后 超前 0 1 0 0071 k G s s ss 校正裝置進行串聯(lián)校正 要求 1 當輸入信號為時 穩(wěn)態(tài)誤差 r tt 0 001 ss e 2 截止頻率10 s c rad 3 相角裕度 0 35 解 因為 所以 取 k 作圖 0 001 ss e 1000 v K v K 0 Gj 注意 本題已經(jīng)給出具體裝置類型 不用判斷校正裝置 如果沒有明確 則 由圖可知 rad s 或者用求 0 27 c 0 1 c A 0 00 90270 007 27188 6 c Gjarctgarctg 00 180 8 645 c Gj 又因為 0cc 所以采用滯后 超前校正裝置進行校正 2 分 1 超前參數(shù)確定 5 分 0 0 90100 007 10178 3 c Gjarctgarctg 0 180 351 7 510 40 mc Gj 則 1 1 sin1 643 4 602 1 sin0 357 m m 取 則10 mc 1 1 11 0 047 4 602 10 m T 則超前校正為 1 1 1 1 10 21451 10 0471 c Tss Gs Tss 2 確定滯后校正參數(shù) 5 分 此時 滯后校正的原系統(tǒng)為 01 1000 0 21451 1 0 0071 0 0471 c s G sG s Gs s sss 時 10 c 2 22 1000 2 1451 21 366 10 101 0 071 0 471 c Gj 2 11 0 047 21 366 c Gj 2 1 取 則 所以 22 11 1 10 c T 22 1T 2 21 366T 所以滯后校正為 22 2 2 11 121 3661 c T ss Gs T ss 0 1000 0 21451 0 0071 0 0471 21 3661 cccz s G sG s Gs Gs ssss 21 3 驗證 3 分 1 當輸入信號為時 穩(wěn)態(tài)誤差 1 1000 v Ks r tt 0 001 ss e 2 當時 10 c 1 c G j 3 0 900 245 100 007 100 047 1021 366 10 141 11 c G jarctgarctgarctgarctg 180 38 8935 c G j 所以 以為串聯(lián)校正裝置 符合系統(tǒng)設(shè)計指標要求 0 21451 1 0 0471 21 3661 c ss G s ss 第八章 非線性系統(tǒng)分析 要求 能用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性和出現(xiàn)自持振蕩時的振幅和頻率 能用相平面法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性和出現(xiàn)自持振蕩時的穩(wěn)態(tài)誤差及超調(diào)量 即振幅 注 一般描述函數(shù)法和相平面法二選其一即可分析非線性系統(tǒng)性能 一 描述函數(shù)法 熟練掌握運用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 判斷是否 產(chǎn)生自持振蕩 如果自持振蕩 正確計算產(chǎn)生自持振蕩的振幅和頻率 1 描述函數(shù)的物理意義 P411 用描述函數(shù)來代替系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié) 描述函數(shù) N A 更象一個放大器 其放大倍數(shù)是隨正弦輸入振幅的變化而改變的復數(shù) 故描述函數(shù) N A 又稱為復放大系數(shù) 設(shè)非線性控制系統(tǒng)經(jīng)化簡后其方塊圖如圖所示 假設(shè)系統(tǒng)具有應用描述函數(shù)的條件 故非線性特性用描述函數(shù)代替 設(shè)圖中 非線性的描述函數(shù) N A 系統(tǒng)線性部分的頻率特性 G j 則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1 N A G s s N A G s 非線性系統(tǒng)對應的閉環(huán)特征方程 這里為非線性特性描述函數(shù) 0 1 sGAN N A 用頻率響應可表示為 1 0N A G j 則 1 G j N A 非線性系統(tǒng)的 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)的特征方程 因曲線很難繪制 應用 Nyquist 穩(wěn)定1 jGAN jGAN 判據(jù)的特征方程等價于負倒描述函數(shù) 1 ANjG 2 運用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定規(guī)則 P 0 非線性的描述函數(shù) 箭頭表示 A 增大的方向 N A0A 系統(tǒng)線性部分的頻率特性 G j 0 要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 只要在復平面上同時繪出和曲線 然后根據(jù)它們的相 G j 1 N A 對位置來判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 這就是 Nguist 判據(jù)在非線性系統(tǒng)中的推廣應用 1 如果沿線性部分的頻率響應由向移動時 非線性的曲線 G j 0 1 N A r 0 x y c N A G s 22 始終處于的左側(cè) 即為曲線不包圍 曲線 則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定 對于 G j G j 1 N A 曲線來說 隨著增長方向的右側(cè)為不穩(wěn)定區(qū) 只要曲線不進入這個區(qū)域 1 N A 1 N A 整個非線性系統(tǒng)就穩(wěn)定 越遠離這個不穩(wěn)定區(qū)域 穩(wěn)定程度越高 2 如果沿線性部分的頻率響應由向移動時 非線性曲線始終處 G j 0 1 N A 于曲線的右側(cè) 即為曲線包圍曲線 則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定 G j G j 1 N A 3 如果曲線與曲線相交 非線性控制系統(tǒng)在交點處可能出現(xiàn)自持振蕩 判 G j 1 N A 斷原則 沿 方向 A 由穩(wěn)定區(qū)進入不穩(wěn)定區(qū) 不穩(wěn)定平衡點 1 N A 由不穩(wěn)定區(qū)進入穩(wěn)定區(qū) 穩(wěn)定平衡點 并產(chǎn)生自持振蕩 自持振蕩的頻率 1 N A 和振幅為交點處的 A 和 即滿足 或者用來求得 1 N AG j Re 1 Im 0 G jN A G jN A 注 判別工作點是否穩(wěn)定 一定要掌握軌跡上振幅 A 的增長方向 并把它標在 1 N A 軌跡上 否則容易得出錯誤的結(jié)論 注 一般 已知 讓你求出 然后判斷穩(wěn)定性 N A 1 N A 例 1 2007 非線性控制系統(tǒng)如下圖所示 1 試用描述函數(shù)法分析 a 1 b 2 k 10 時 系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2 若系統(tǒng)存在自持振蕩 計算自持振蕩的振幅和頻率 3 闡述消除自持振蕩的方法 注 非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)為 2 4 1 ba N A AA 解 1 由題意可知 線性部分的頻率特性及負倒描述函數(shù)如圖所示