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初三幾何證明題經(jīng)典題(一)1、已知:如圖,O是半圓的圓心,C、E是圓上的兩點,CDAB,EFAB,EGCO求證:CDGF2、已知:如圖,P是正方形ABCD內(nèi)部的一點,PADPDA15。求證:PBC是正三角形(初二)3、已知:如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,M、N分別是AB、CD的中點,AD、BC的延長線交MN于E、F求證:DENF經(jīng)典題(二)1、已知:ABC中,H為垂心(各邊高線的交點),O為外心,且OMBC于M(1)求證:AH2OM;(2)若BAC600,求證:AHAO2、設(shè)MN是圓O外一條直線,過O作OAMN于A,自A引圓的兩條割線交圓O于B、C及D、E,連接CD并延長交MN于Q,連接EB并延長交MN于P.求證:APAQ3、如圖,分別以ABC的AB和AC為一邊,在ABC的外側(cè)作正方形ABFG和正方形ACDE,點O是DF的中點,OPBC求證:BC=2OP證明:分別過F、A、D作直線BC的垂線,垂足分別是L、M、NOF=OD,DNOPFLPN=PLOP是梯形DFLN的中位線DN+FL=2OPABFG是正方形ABM+FBL=90又BFL+FBL=90ABM=BFL又FLB=BMA=90,BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCCNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=2OP經(jīng)典題(三)1、如圖,四邊形ABCD為正方形,DEAC,AEAC,AE與CD相交于F求證:CECF證明:連接BD交AC于O。過點E作EGAC于GABCD是正方形BDAC又EGACBDEG又DEACODEG是平行四邊形又COD=90ODEG是矩形EG=OD=BD=AC=AEEAG=30AC=AEACE=AEC=75又AFD=90-15=75CFE=AFD=75=AECCE=CF2、如圖,四邊形ABCD為正方形,DEAC,且CECA,直線EC交DA延長線于F求證:AEAF證明:連接BD,過點E作EGAC于GABCD是正方形BDAC,又EGACCAE=CEA=GCE=15在AFC中F =180-FAC-ACF =180-FAC-GCE=180-135-30=15F=CEAAE=AFBDEG又DEACODEG是平行四邊形又COD=90ODEG是矩形EG =OD =BD=AC=CEGCE=30AC=EC3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點,PFAP,CF平分DCE求證:PAPF(初二)證明:過點F作FGCE于G,F(xiàn)HCD于HCDCGHCGF是矩形HCF=GCFFH=FGHCGF是正方形設(shè)AB=x,BP=y,CG=zz:y=(x-y+z):x化簡得(x-y)y=(x-y)zx-y0y=z即BP=FGABPPGFCG=GFAPFPAPB+FPG=90APB+BAP=90FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG:PB=PG:AB4、如圖,PC切圓O于C,AC為圓的直徑,PEF為圓的割線,AE、AF與直線PO相交于B、D求證:ABDC,BCAD(初三)證明:過點E作EKBD,分別交AC、AF于M、K,取EF的中點H,連接OH、MH、ECEH=FHEM=KMEKBDOB=OD又AO=CO四邊形ABCD的對角線互相平分ABCD是平行四邊形AB=DC,BC=ADOHEF,PHO=90又PCOC,POC=90P、C、H、O四點共圓HCO=HPO又EKBD,HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M四點共圓ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMACEH=FH經(jīng)典題(四)1、已知:ABC是正三角形,P是三角形內(nèi)一點,PA3,PB4,PC5求APB的度數(shù)(初二)解:將ABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60得BCQ,連接PQ則BPQ是正三角形BQP=60,PQ=PB=3在PQC中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5PQC是直角三角形PQC=90BQC=BQP+PQC=60+90=150APB=BQC=1502、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點,且PBAPDA求證:PABPCB(初二)證明:過點P作AD的平行線,過點A作PD的平行線,兩平行線相交于點E,連接BEPEAD,AEPDADPE是平行四邊形PE=AD,又ABCD是平行四邊形AD=BCPE=BC又ADP=ABPAEP=ABPA、E、B、P四點共圓BEP=PABPAB=PCB又PEAD,ADBCPEBCBCPE是平行四邊形BEP=PCBADPE是平行四邊形ADP=AEP3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形,求證:ABCDADBCACBD(初三)證明:在BD上去一點E,使BCE=ACD=CAD=CBDBECADCADBC=BEACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ACE即BCA=ECD+得ABCD+ADBC =DEAC+BEAC =(DE+BE)AC =BDAC=,BAC=BDCBACEDCABCD=DEAC4、平行四邊形ABCD中,設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點,AE與CF相交于P,且AECF求證:DPADPC(初二)證明:過點D作DGAE于G,作DHFC于H,連接DF、DESADE=AEDG,SFDC=FCDH又SADE=SFDC=SABCDAEDG=FCDH又AE=CFDG=DH點D在APC的角平分線上DPADPC經(jīng)典題(五)1、設(shè)P是邊長為1的正ABC內(nèi)任一點,LPAPBPC,求證:L2證明:(1)將BPC繞B點順時針旋轉(zhuǎn)60的BEF,連接PE,BP=BE,PBE=60PBE是正三角形。PE=PB 又EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF當PA、PE、EF在一條直線上的時候,L=PA+PE+EF的值最小(如圖)在ABF中,ABP=120AF=L=PA+PB+PC(2)過點P作BC的平行線分別交AB、AC于D、G則ADG是正三角形ADP=AGP,AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又BD+PDPB CG+PGPC+得AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由(1)(2)可知:L22、已知:P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點,求PAPBPC的最小值解:將BCP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60得BEF,連接PE,則BPE是正三角形PE=PBPAPBPC=PA+PE+EF要使PAPBPC最小,則PA、PE、EF應(yīng)該在一條直線上(如圖)此時AF=PA+PE+EF過點F作FGAB的延長線于G則GBF=180-ABF=180-150=30GF=,BG=AF=PAPBPC的最小值是3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點,并且PAa,PB2a,PC3a,求正方形的邊長證明:將ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90得BCQ,連接PQ則BPQ是等腰直角三角形,PQ=PB=2a=2a又QC=AP=aQP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2PQC是直角三角形BQC=135BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC=PB2+PA2-2PBPAcos135 =4a2+a2-22aa(-)解得BC=正方形的邊長為4、如圖,ABC中,ABCACB80,D、E分別是AB、AC上的點,DCA30,EBA20,求BED的度數(shù)解:在AB上取一點F,使BCF=60,CF交BE于G,連接EF、DGABC=80,ABE=20,EBC=60,又BCG=60BCG是正三角形BG=BCACB=80,BCG=60FCA=20EBA=FCA又A=A,AB=ACABEACFAE=AFAFE=AEF=(180-A)=80又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60EFG是等邊三角形EF=EG,F(xiàn)EG=EGF=EFG=60ACB=80,DCA=30BCD=50BDC=180-BCD-ABC=180-50-80=50BCD=BDCBC=BD前已證BG=BCBD=BGBGD=BDG=(180-ABE)=80FGD=180-BGD-EGF=180-80-60=40又DFG=180-AFE-EFG=180-80-60=40FGD=DFGDF=DG又EF=EG,DE=DEEFDEGDBED=FED=FEG=60=305、如圖,ABC內(nèi)接于O,且AB為O的直徑,ACB的平分線交O于點D,過點D作O的切線PD交CA的延長線于點P,過點A作AECD于點E,過點B作BFCD于點F,若AC=6,BC=8,求線段PD的長。解:ACD=BCD =AD=BDAB為O的直徑ADB=90ABD是等腰直角三角形ACB=90,AC=6,BC=8 AB=10AD=ABcosDAB=10=5又AECD,ACD=45ACE是等腰直角三角形CE=AE=ACcosCAE=6=3在ADE中,DE2=AD2-AE2DE2=DE=CD=CE+DE=3+=PDA=PCD,P=P PDAPCD PC=PD,PA=PDPC=PA+ACPD=PD+6解得PD=1證明:過點G作GHAB于H,連接OEEGCO,EFABEGO=90,EFO=90EGO+EFO=180E、G、O、F四點共圓GEO=HFGEGO=FHG=90EGOFHG=GHAB,CDABGHCDEO=COCD=GF2證明:作正三角形ADM,連接MPMAD=60,PAD=15MAP=MAD+PAD=75BAD=90,PAD=15BAP=BAD-PAD=90-15=75BAP=MAPMA=BA,AP=APMAPBAPBPA=MPA,MP=BP同理CPD=MPD,MP=CPPADPDA15PA=PD,BAP=CDP=75BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA,CPD=MPDMPA=MPD=75BPC=360-754=60MP=BP,MP=CP BP=CP BPC是正三角形3證明:連接AC,取AC的中點G,連接NG、MGCN=DN,CG=DGGNAD,GN=ADDEN=GNMAM=BM,AG=CGGMBC,GM=BCF=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F1證明:(1)延長AD交圓于F,連接BF,過點O作OGAD于GOGAFAG=FG=F=ACB又ADBC,BEACBHD+DBH=90ACB+DBH=90ACB=BHDF=BHDBH=BF又ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH)=2GD又ADBC,OMBC,OGAD四邊形OMDG是矩形OM=GD AH=2OM(2)連接OB、OCBAC=60BOC=120OB=OC,OMBCBOM=BOC=60OBM=30BO=2OM由(1)知AH=2OMAH=BO=AO2證明:作
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