高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)數(shù)列.doc

高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 數(shù)數(shù) 列列 一 知識點再回顧一 知識點再回顧 1 等差數(shù)列等差數(shù)列 an 中 中 an a1 n 1 d an am n m d d an am n m 若 m n p q 2t 則 am an ap aq 2at Sn na1 d n n 1 2 n a1 an 2 Sn S2n Sn S3n S2n S4n S3n 組成等差數(shù)列 新公差為 2 dn d 11 22 n nn nSnaSaSaSSa 中奇中中奇中偶偶 為奇數(shù)時 2 nd nSS 奇偶 為偶數(shù)時 n S n 為等差數(shù)列 00 0 dd d 單調(diào)性 為遞增數(shù)列 為遞減數(shù)列 為常數(shù)列 2 等比數(shù)列等比數(shù)列 an 中 中 an a1qn 1 an am qn m 若 m n p q 2t 則 am an ap aq a 2 t Sn Error 要注意 q 單調(diào)性 當(dāng)或時 為遞增數(shù)列 當(dāng) 或時 為遞減數(shù)列 當(dāng) 1 0 01 a q 1 0 1 a q 1 0 1 a q 1 0 01 a q 時 為擺動數(shù)列 當(dāng)時 為常數(shù)列 0q 1q 3 3 an與與 Sn的關(guān)系式的關(guān)系式 an Error 4 4 等差數(shù)列的判定方法主要有以下幾種 等差數(shù)列的判定方法主要有以下幾種 1 1 2 nnn aad nda 為常數(shù)是等差數(shù)列 2 2an an 1 an 1 n 2 an 是等差數(shù)列 3 an kn b k b 為常數(shù) an 是等差數(shù)列 4 Sn An2 Bn A B 為常數(shù) an 是等差數(shù)列 5 等比數(shù)列的判定方法主要有以下幾種 等比數(shù)列的判定方法主要有以下幾種 1 利用定義常數(shù) 1 n n a a 2 利用等比中項 2 11 2 nnn aaannN 且 3 an kqn k q 是不為 0 的常數(shù) an 是等比數(shù)列 4 Sn A Aqn 是不為 0 的常數(shù) an 是等比數(shù)列 1 1 a A q 0 1qq 6 求數(shù)列通項公式的常用方法求數(shù)列通項公式的常用方法 公式法 利用 累加法 累乘法 構(gòu)造等比 迭代法 1 2 1 1 nn SSn S n n a 1nn apaq 7 7 求數(shù)列前求數(shù)列前 n n 項和的常用方法項和的常用方法 1 錯位相減法 2 倒序相加法 3 裂項相消發(fā) 4 分組求和法 二 考點分析二 考點分析 考點一 等差等比數(shù)列的性質(zhì)及運算考點一 等差等比數(shù)列的性質(zhì)及運算 例例 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn 已知 a2 6 6a1 a3 30 求 an和 Sn 例例 2 設(shè) Sn為等差數(shù)列 an 的前 n 項和 若 a1 1 公差 d 2 Sk 2 Sk 24 則 k 例例 3 若等比數(shù)列 an 滿足 anan 1 16n 則公比為 例例 4 4 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 的前n項和為 Sn 若 Sn 2 S3n 14 則 S4n等于 考點二 由遞推關(guān)系求數(shù)列通項考點二 由遞推關(guān)系求數(shù)列通項 1 對 Sn求 an或 Tn a1 a2 a3 an求 an一定要注意分 n 1 n 2 兩步 2 對于由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列通項 an的問題 一般有以下幾種模型 1 遞推模型 an 1 can d 可以通過待定系數(shù)法 an 1 c an 化為等比數(shù)列 2 遞推模型 an 1 an f n 與 an 1 f n an 可以分別通過疊加 疊乘方法求得通項 3 遞推模型 可以通過取倒數(shù) 化為等差數(shù)列 1 1 n n n a a c a 1 11 nn c aa 例例 1 已知數(shù)列 an 的前 n 項和 Sn 2 求通項公式 an n 3 例例 2 已知數(shù)列中 n a 11 2 21 nnn aaaa 求 例例 3 已知數(shù)列中 n a 11 1 1 nnn n aaaa n 求通項 考點三 數(shù)列求和考點三 數(shù)列求和 例例 1 已知等差數(shù)列 an 滿足 a2 0 a6 a8 10 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 求數(shù)列 的前 n 項和 an 2n 1 例例 2 等比數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) 且 2a1 3a2 1 a 9a2a6 2 3 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 設(shè)bn log3a1 log3a2 log3an 求數(shù)列 的前n項和 1 bn 練習(xí)題練習(xí)題 一 選擇題一 選擇題 1 設(shè) n S為等比數(shù)列 n a的前n項和 25 80aa 則 5 2 S S A 11 B 5 C 8 D 11 2 如果等差數(shù)列 n a中 345 12aaa 那么 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 3 設(shè) n S為等比數(shù)列 n a的前n項和 已知 34 32Sa 23 32Sa 則公比q A 3 B 4 C 5 D 6 4 設(shè) an 是有正數(shù)組成的等比數(shù)列 n S為其前 n 項和 已知 a2a4 1 3 7S 則 5 S A 15 2 B 31 4 C 33 4 D 17 2 5 如果等差數(shù)列 n a中 3 a 4 a 5 a 12 那么 1 a 2 a 7 a A 14 B 21 C 28 D 35 6 等比數(shù)列 n a中 1 2a 8 a 4 函數(shù) 128 f xx xaxaxa 則 0f A 6 2 B 9 2 C 12 2 D 15 2 7 A B C 2 D 不存在 8 設(shè)數(shù)列 n a的前 n 項和 2 n Sn 則 8 a的值為 A 15 B 16 C 49 D 64 9 在等差數(shù)列 n a中 19 10aa 則 5 a的值為 A 5 B 6 C 8 D 10 10 設(shè) n s為等比數(shù)列 n a的前 n 項和 25 80aa 則 5 2 S S A 11 B 8 C 5 D 11 11 在等比數(shù)列 n a中 20102007 8aa 則公比 q 的值為 A 2 B 3 C 4 D 8 12 在等比數(shù)列 n a中 1 1a 公比1q 若 12345m aa a a a a 則 m A 9 B 10 C 11 D 12 13 已知數(shù)列 n a的首項 1 0a 其前n項的和為 n S 且 11 2 nn SSa 則lim n n n a S A 0 B 1 2 C 1 D 2 2 111 lim 1 333n x 5 3 3 2 14 已知 n a是首項為 1 的等比數(shù)列 n s是 n a的前 n 項和 且 36 9ss 則數(shù)列 1 n a 的前 5 項和為 A 15 8 或 5 B 31 16 或 5 C 31 16 D 15 8 15 已知 n a為等比數(shù)列 Sn是它的前 n 項和 若 231 2aaa 且 4 a與 2 7 a的等差中項為 5 4 則 5 S A 35 B 33 C 31 D 29 16 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 n a 123 a a a 5 789 a a a 10 則 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 17 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 n a 中 123 a a a 5 789 a a a 10 則 456 a a a A 5 2 B 7 C 6 D 4 2 18 設(shè) n a是任意等比數(shù)列 它的前n項和 前2n項和與前3n項和分別為 X Y Z 則下列等式中恒成立的 是 A 2XZY B Y YXZ ZX C 2 YXZ D Y YXX ZX 19 設(shè)等差數(shù)列 n a的前 n 項和為 n S 若 1 11a 46 6aa 則當(dāng) n S取最小值時 n 等于 A 6 B 7 C 8 D 9 2 填空題填空題 1 設(shè) 11 2 2 3 23 nn nnNxx 2 012 n n aa xa xa x 將 0 k akn 的最小值記為 n T 則 2345 3355 1111 0 0 2323 n TTTTT 其中 n T 2 觀察下列等式 13 23 1 2 2 13 23 33 1 2 3 2 13 23 33 43 1 2 3 4 2 根據(jù)上述規(guī)律 第四個等式為 3 設(shè) n S為等差數(shù)列 n a的前n項和 若 36 324SS 則 9 a 4 已知數(shù)列 n a滿足 11 33 2 nn aaan 則 n a n 的最小值為 5 設(shè) an 是等比數(shù)列 公比2q Sn為 an 的前 n 項和 記 2 1 17 nn n n SS TnN a 設(shè) 0 n T為數(shù)列 n T 的 最大項 則 0 n 6 若數(shù)列 n a滿足 對任意的nN 只有有限個正整數(shù)m使得 m an 成立 記這樣的m的個數(shù)為 n a 則得到一個新數(shù)列 n a 例如 若數(shù)列 n a是1 2 3 n 則數(shù)列 n a 是0 1 2 1 n 已 知對任意的Nn 2 n an 則 5 a n a 7 在等比數(shù)列 n a中 若公比q 4 且前 3 項之和等于 21 則該數(shù)列的通項公式 n a 8 函數(shù) y x2 x 0 的圖像在點 ak ak2 處的切線與 x 軸交點的橫坐標(biāo)為 ak 1 k 為正整數(shù) a1 16 則 a1 a3 a5 3 3 問答題問答題 1 已知點 1 3 1 是函數(shù) 0 aaxf x 且1 a 的圖象上一點 等比數(shù)列 n a的前n項和為cnf 數(shù) 列 n b 0 n b的首項為c 且前n項和 n S滿足 n S 1 n S n S 1 n S 2n 1 求數(shù)列 n a和 n b的通項公式 2 若數(shù)列 1 1 nnb b 前n項和為 n T 問 n T 2009 1000 的最小正整數(shù)n是多少 2 在數(shù)列 n a中 11 11 1 1 2 nn n n aaa n I 設(shè) n n a b n 求數(shù)列 n b的通項公式 II 求數(shù)列 n a的前n項和 n S 3 設(shè)數(shù)列 n a的前n項和為 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa I 設(shè) 1 2 nnn baa 證明數(shù)列 n b是等比數(shù)列 II 求數(shù)列 n a的通項公式 4 已知數(shù)列 n a滿足 1 12 12 2 nn n aa aaanN 2 令 1nnn baa 證明 n b是等比數(shù)列 求 n a的通項公式 5 設(shè)數(shù)列的前項和為 已知 n an n S 1 aa 1 3n nn aS n N 設(shè) 求數(shù)列的通項公式 3n nn bS n b 若 求的取值范圍 1nn aa n Na 6 設(shè)數(shù)列的前項和為 已知 n an n S 21 n nn babS 證明 當(dāng)時 是等比數(shù)列 2b 1 2n n an 求的通項公式 n a 7 在數(shù)列中 且 n a 1 1a 2 2a 11 1 nnn aq aqa 2 0nq 設(shè) 證明是等比數(shù)列 1nnn baa nN n b 求數(shù)列的通項公式 n a 若是與的等差中項 求的值 并證明 對任意的 是與的等差中項 3 a 6 a 9 aq nN n a 3n a 6n a 8 設(shè)數(shù)列滿足 n a 21 123 333 3 n n n aaaa a N 求數(shù)列的通項 n a 設(shè) 求數(shù)列的前項和 n n n b a n bn n S 9 在數(shù)列中 n a 1 1a 1 22n nn aa 設(shè) 證明 數(shù)列是等差數(shù)列 1 2 n n n a b n b 求數(shù)列的前項和 n an n S 10 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列 的前 n 項和滿足 且 n a1 n S 2 1 6NnaaS nnn 1 求 的通項公式 n a 2 設(shè)數(shù)列 滿足 并記為 的前 n 項和 求證 n b1 12 n b n a n T n b 2 3 log13NnaT nn 11 設(shè)數(shù)列的首項 n a 1 1 3 01 2 3 4 2 n n a aan 1 求的通項公式 n a 2 設(shè) 證明 其中為正整數(shù) 32 nnn baa 1nn bb n 12 數(shù)列 an 的前 n 項和記為 Sn 11 1 211 nn aaSn 1 求 an 的通項公式 2 等差數(shù)列 bn 的各項為正 其前 n 項和為 Tn 且 又成等比數(shù)列 3 15T 112233 ab ab ab 求 Tn 參考答案參考答案 1 1 選擇題選擇題 1 解析 解析 通過 25 80aa 設(shè)公比為q 將該式轉(zhuǎn)化為08 3 22 qaa 解得q 2 代入所求式可知 答案選 D 2 解析 17 345441274 7 312 4 728 2 aa aaaaaaaaa 3 解析 兩式相減得 343 3aaa 4 43 3 4 4 a aaq a 4 解析 由 a2a4 1 可得 24 1 1a q 因此 1 2 1 a q 又因為 2 31 1 7Saqq 聯(lián)力兩式有 11 3 2 0 qq 所以 q 1 2 所以 5 5 1 4 1 31 2 1 4 1 2 S 故選 B 5 345 12aaa 4 4a 127174 1 7 728 2 aaaaaa 6 解析 考慮到求導(dǎo)中 含有 x 項均取 0 則 0f只與函數(shù) f x的一次項有關(guān) 得 412 123818 2a aaaa a 7 解析 考查等比數(shù)列求和與極限知識 解法一 先求和 然后對和取極限 1 1 3 3 lim 1 2 1 3 n n 8 解析 887 644915aSS 9 解析 由角標(biāo)性質(zhì)得 195 2aaa 所以 5 a 5 10 解析 通過 25 80aa 設(shè)公比為q 將該式轉(zhuǎn)化為08 3 22 qaa 解得q 2 帶入所求式可知答案 選 A 11 解析 8 3 2007 2010 q a a 2 q 12 答案 C 13 解析 由 11 2 nn SSa 且 211 2 nn SSa 作差得 an 2 2an 1 又 S2 2S1 a1 即 a2 a1 2a1 a1 a2 2a1 故 an 是公比為 2 的等比數(shù)列 Sn a1 2a1 22a1 2n 1a1 2n 1 a1則 1 1 1 21 limlim 21 2 n n n nn n aa Sa 14 顯然 q 1 所以 36 3 9 1 q 1 12 1 q1 q qq q 所以 1 n a 是首項為 1 公比為 1 2 的等比數(shù)列 前 5 項和 5 5 1 1 31 2 1 16 1 2 T 15 C 設(shè) n a 的公比為q 則由等比數(shù)列的性質(zhì)知 23141 2aaa aa 即 4 2a 由 4 a與 2 7 a的等差中 項為 5 4 知 47 5 22 4 aa 即 74 15151 2 22 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a 即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa 即 1 16a 16 解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)知 3 1231322 5a a aa aaa A 3 7897988 a a aa aaa A10 所以 1 3 28 50a a 所以 1 333 6 456465528 50 5 2a a aa aaaa a A 17 18 分析 取等比數(shù)列1 2 4 令1n 得1 3 7XYZ 代入驗算 只有選項 D 滿足 方法技巧 對于含有較多字母的客觀題 可以取滿足條件的數(shù)字代替字母 代入驗證 若能排除 3 個選項 剩下唯一正確的就一定正確 若不能完全排除 可以取其他數(shù)字驗證繼續(xù)排除 本題也可以首項 公比即項數(shù) n 表示代入驗證得結(jié)論 19 解析 設(shè)該數(shù)列的公差為d 則 461 282 11 86aaadd 解得2d 所以 22 1 11212 6 36 2 n n n Snnnn 所以當(dāng)6n 時 n S取最小值 2 2 填空題填空題 2 解析 第 i 個等式左邊為 1 到 i 1 的立方和 右邊為 1 到 i 1 和的完全平方 所以第四個等式為 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 或 152 3 解析 填 15 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad 解得 1 1 2 a d 91 815 aad 4 解析 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 1 2 n 1 33 33 n2 n 所以 33 1 n a n nn 設(shè) f n 33 1n n 令 f n 2 33 10 n 則 f n在 33 上是單調(diào)遞增 在 0 33 上是遞減的 因為 n N 所以當(dāng) n 5 或 6 時 f n有最小值 又因為 5 53 55 a 6 6321 662 a 所以 n a n 的最小值為 6 21 62 a 5 解析 本題主要考查了等比數(shù)列的前 n 項和公式與通項及平均值不等式的應(yīng)用 2 11 2 1 17 1 2 1 2 1 2 17 2 16 1212 2 12 2 nn nn n nn aa T a 116 2 17 12 2 n n 因 為 16 2 2 n n 8 當(dāng)且僅當(dāng) 2 n 4 即 n 4 時取等號 所以當(dāng) n0 4 時 Tn有最大值 6 7 解析 由題意知 111 41621aaa 解得 1 1a 所以通項 n a n 1 4 8 解析 在點 ak ak2 處的切線方程為 2 2 kkk yaaxa 當(dāng)0y 時 解得 2 k a x 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 3 3 問答題問答題 4 1 解 解 1 1 1 3 fa Q 1 3 x f x 1 1 1 3 afcc 2 21afcfc 2 9 3 2 32 27 afcfc 又?jǐn)?shù)列 n a成等比數(shù)列 2 2 1 3 4 21 81 2 33 27 a ac a 所以 1c 又公比 2 1 1 3 a q a 所以 1 2 11 2 3 33 nn n a nN 1111nnnnnnnn SSSSSSSS Q 2n 又0 n b 0 n S 1 1 nn SS 數(shù)列 n S構(gòu)成一個首相為 1 公差為 1 的等差數(shù)列 111 n Snn 2 n Sn 當(dāng)2n 2 2 1 121 nnn bSSnnn 21 n bn nN 2 1 22 33 41 1111 n nn T bbb bb bb b L 1111 1 33 55 7 21 21nn K 111 111 11111 1 232 352 572 2121nn K 11 1 22121 n nn 由 1000 212009 n n T n 得 1000 9 n 滿足 1000 2009 n T 的最小正整數(shù)為 112 2 解 解 I 由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出數(shù)列 n b的通項公式 1 1 2 2 n n b nN II 由 I 知 1 2 2 n n n an n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 1 2 1 n k kn n 又 1 12 n k k k 是一個典型的錯位相減法模型 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 3 解 I 由 1 1 a 及 1 42 nn Sa 有 121 42 aaa 21121 325 23aabaa 由 1 42 nn Sa 則當(dāng)2n 時 有 1 42 nn Sa 得 1111 44 22 2 nnnnnnn aaaaaaa 又 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 是首項 1 3b 公比為 的等比數(shù)列 II 由 I 可得 1 1 23 2n nnn baa 1 1 3 224 nn nn aa 數(shù)列 2 n n a 是首項為 1 2 公差為 3 4 的等比數(shù) 列 1331 1 22444 n n a nn 2 31 2n n an 4 解 解 1 證 121 1 baa 當(dāng)2n 時 1 111 11 222 nn nnnnnnn aa baaaaab 所以 n b是以 1 為首項 1 2 為公比的等比數(shù)列 2 由 1 知 1 1 1 2 n nnn baa 當(dāng)2n 時 121321 nnn aaaaaaaa 2 11 1 1 22 n 1 1 1 2 1 1 1 2 n 2 21 1 1 32 n 1 521 332 n 當(dāng)1n 時 1 1 1 521 1 332 a 所以 1 521 332 n n anN 5 解 依題意 即 11 3n nnnn SSaS 1 23n nn SS 由此得 因此 所求通項公式為 1 1 32 3 nn nn SS 1 3 3 2 nn nn bSa n N 由 知 于是 當(dāng)時 1 3 3 2 nn n Sa n N2n 1nnn aSS 112 3 3 23 3 2 nnnn aa 12 2 3 3 2 nn a 12 1 4 3 3 2 nn nn aaa 2 2 3 2123 2 n n a A 當(dāng)時 2n 2 1 3 1230 2 n nn aaa A 9a 又 211 3aaa 綜上 所求的的取值范圍是 a 9 6 解 解 由題意知 且 1 2a 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 兩式相減得 即 11 21 n nnn b aaba 1 2n nn aba 當(dāng)時 由 知2b 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 所以是首項為 1 公比為 2 的等比數(shù)列 1 1 1 210 n a 1 2n n an 當(dāng)時 由 知 即2b 11 22 nn n an 1 1 2n n an 當(dāng)時 由由 得2b 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 7 解 解 證明 由題設(shè) 得 即 11 1 nnn aq aqa 2n 11 nnnn aaq aa 1nn bqb 2n 又 所以是首項為 1 公比為的等比數(shù)列 121 1baa 0q n bq 由 21 1aa 32 aaq 2 1nn aaq 2n 將以上各式相加 得 2 1 1 n n aaqq 2n 所以當(dāng)時 2n 1 1 1 1 1 1 n n q q q a n q 上式對顯然成立 1n 由 當(dāng)時 顯然不是與的等差中項 故 1q 3 a 6 a 9 a1q 由可得 由得 3693 aaaa 5228 qqqq 0q 36 11qq 整理得 解得或 舍去 于是 3 23 20qq 3 2q 3 1q 3 2q 另一方面 211 3 3 1 11 nnn nn qqq aaq qq 151 6 6 1 11 nnn nn qqq aaq qq 由 可得 36nnnn aaaa nN 所以對任意的 是與的等差中項 nN n a 3n a 6n a 8 解 I 21 123 33 3 3 n n n aaaa 22 1231 1 33 3 2 3 n n n aaaan 1 11 3 2 333 n n nn an 1 2 3 n n an 驗證時也滿足上式 1n 1 3 n n anN II 3n n bn 23 1 32 33 3 3n n Sn 231 233333 nn n Sn 2341 31 32 33 3 3n n Sn 1 1 33 23 1 3 n n n Sn 11 13 33 244 nn n n S 9 解 1 1 22n nn aa 1 1 1 22 nn nn aa 1 1 nn bb 則為等差數(shù)列 n b 1 1b n bn 1 2n n an 2 12210 22 1 232221 nn n nnS nn n nnS22 1 2322212 1321 兩式相減 得 122222212 1210 nnnn n nnS 10 解 由 解得 a1 1 或 a1 2 由假設(shè) a1 S1 1 因此 a1 2 2 1 6 1 1111 aaSa 又由 an 1 Sn 1 Sn 2 1 6 1 2 1 6 1 11 nnnn aaaa 得 an 1 an 3 0 或 an 1 an 因 an 0 故 an 1 an不成立 舍去 因此 an 1 an 3 0 從而 an 是公差為 3 首項為 2 的等差數(shù)列 故 an 的通項為 an 3n 2 證法一 由可解得 1 12 b n a 13 3 log 1 1log n n a b z n zz 從而 13 3 5 6 2 3 log 21 n n bbbT znn 因此 23n 2 13 3 5 6 2 3 log 3 log13 3 n n aT znzn 令 則 23n 2 13 3 5 6 2 3 3 n n xf 2 3 3 23 53 33 23n 33n 53 23 1 nn n n n nf nf 因 故 079 23 53 33 22 nnnn