拋物線習題精選精講.doc

中學數(shù)學免費網(wǎng) 拋物線（1）拋物線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線上任一點，F(xiàn)為焦點，則以PF為直徑的圓與y軸（ ）相交 相切 相離 位置由P確定【解析】如圖，拋物線的焦點為，準線是.作PH于H，交y軸于Q，那么，且.作MNy軸于N則MN是梯形PQOF的中位線，.故以PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結論則分別是相離或相交的.（2）焦點弦常考常新的亮點弦有關拋物線的試題，許多都與它的焦點弦有關.理解并掌握這個焦點弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的.【例2】 過拋物線的焦點F作直線交拋物線于兩點，求證：（1） （2）【證明】（1）如圖設拋物線的準線為，作，.兩式相加即得：（2）當ABx軸時，有成立；當AB與x軸不垂直時，設焦點弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡得：方程（1）之二根為x1，x2，.故不論弦AB與x軸是否垂直，恒有成立.（3）切線拋物線與函數(shù)有緣有關拋物線的許多試題，又與它的切線有關.理解并掌握拋物線的切線方程，是解題者不可或缺的基本功.【例3】證明：過拋物線上一點M（x0，y0）的切線方程是：y0y=p（x+x0）【證明】對方程兩邊取導數(shù)：.由點斜式方程： y0y=p（x+x0）（4）定點與定值拋物線埋在深處的寶藏 拋物線中存在許多不不易發(fā)現(xiàn)，卻容易為人疏忽的定點和定值.掌握它們，在解題中常會有意想不到的收獲.例如：1.一動圓的圓心在拋物線上，且動圓恒與直線相切，則此動圓必過定點 （ ）顯然.本題是例1的翻版，該圓必過拋物線的焦點，選B.2.拋物線的通徑長為2p；3.設拋物線過焦點的弦兩端分別為，那么：以下再舉一例【例4】設拋物線的焦點弦AB在其準線上的射影是A1B1，證明：以A1B1為直徑的圓必過一定點【分析】假定這條焦點弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的距離為p，可知該圓必過拋物線的焦點.由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點.以下我們對AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設焦點兩端分別為，那么：設拋物線的準線交x軸于C，那么.這就說明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點. 通法 特法 妙法（1）解析法為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易解決的幾何問題（如對稱問題等）.【例5】（07.四川文科卷.10題）已知拋物線y=-x2+3上存在關于直線x+y=0對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直線AB必與直線x+y=0垂直，且線段AB的中點必在直線x+y=0上，因得解法如下.【解析】點A、B關于直線x+y=0對稱，設直線AB的方程為：. 由設方程（1）之兩根為x1，x2，則.設AB的中點為M（x0，y0），則.代入x+y=0：y0=.故有.從而.直線AB的方程為：.方程（1）成為：.解得：，從而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，選C.（2）幾何法為解析法添彩揚威雖然解析法使幾何學得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這又使得許多考生對解析幾何習題望而生畏.針對這種現(xiàn)狀，人們研究出多種使計算量大幅度減少的優(yōu)秀方法，其中最有成效的就是幾何法.【例6】（07.全國1卷.11題）拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，垂足為，則的面積（ ）A B C D【解析】如圖直線AF的斜率為時AFX=60.AFK為正三角形.設準線交x軸于M，則且KFM=60，.選C.【評注】（1）平面幾何知識：邊長為a的正三角形的面積用公式計算. （2）本題如果用解析法，需先列方程組求點A的坐標，再計算正三角形的邊長和面積.雖不是很難，但決沒有如上的幾何法簡單.（3）定義法追本求真的簡單一著許多解析幾何習題咋看起來很難.但如果返樸歸真，用最原始的定義去做，反而特別簡單.【例7】（07.湖北卷.7題）雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的線為，焦點為與的一個交點為，則等于（ ）A B C D【分析】 這道題如果用解析法去做，計算會特別繁雜，而平面幾何知識又一時用不上，那么就從最原始的定義方面去尋找出路吧.如圖，我們先做必要的準備工作：設雙曲線的半焦距c，離心率為e，作 ，令.點M在拋物線上，這就是說：的實質(zhì)是離心率e.其次，與離心率e有什么關系？注意到： . 這樣，最后的答案就自然浮出水面了：由于.選 A.（4）三角法本身也是一種解析三角學蘊藏著豐富的解題資源.利用三角手段，可以比較容易地將異名異角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名同角的三角函數(shù)，然后根據(jù)各種三角關系實施“九九歸一”達到解題目的.因此，在解析幾何解題中，恰當?shù)匾肴琴Y源，常可以擺脫困境，簡化計算.【例8】（07.重慶文科.21題）如圖，傾斜角為a的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。（）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；（）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。【解析】（）焦點F（2，0），準線.（）直線AB：代入（1），整理得：設方程（2）之二根為y1，y2，則.設AB中點為AB的垂直平分線方程是：.令y=0，則故于是|FP|-|FP|cos2a=，故為定值.（5）消去法合理減負的常用方法.避免解析幾何中的繁雜運算，是革新、創(chuàng)新的永恒課題.其中最值得推薦的優(yōu)秀方法之一便是設而不求，它類似兵法上所說的“不戰(zhàn)而屈人之兵”.【例9】 是否存在同時滿足下列兩條件的直線：（1）與拋物線有兩個不同的交點A和B；（2）線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，說明理由，若存在，求出直線的方程.【解析】假定在拋物線上存在這樣的兩點線段AB被直線：x+5y-5=0垂直平分，且.設線段AB的中點為.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中點為.故存在符合題設條件的直線，其方程為： （6）探索法奔向數(shù)學方法的高深層次有一些解析幾何習題，初看起來好似“樹高蔭深，叫樵夫難以下手”.這時就得冷靜分析，探索規(guī)律，不斷地猜想證明再猜想再證明.終于發(fā)現(xiàn)“無限風光在險峰”.【例10】（07.安徽卷.14題）如圖，拋物線y=-x2+1與x軸的正半軸交于點A，將線段OA的n等分點從左至右依次記為P1,P2,Pn-1,過這些分點分別作x軸的垂線，與拋物線的交點依次為Q1，Q2，Qn-1，從而得到n-1個直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,當n時，這些三角形的面積之和的極限為 . 【解析】設OA上第k個分點為第k個三角形的面積為： .故這些三角形的面積之和的極限拋物線定義的妙用對于拋物線有關問題的求解，若能巧妙地應用定義思考，常能化繁為簡，優(yōu)化解題思路，提高思維能力?，F(xiàn)舉例說明如下。一、求軌跡（或方程）例1. 已知動點M的坐標滿足方程，則動點M的軌跡是（ ）A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 以上都不對解：由題意得：即動點到直線的距離等于它到原點（0，0）的距離由拋物線定義可知：動點M的軌跡是以原點（0，0）為焦點，以直線為準線的拋物線。故選C。二、求參數(shù)的值例2. 已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點到焦點距離為5，求m的值。解：設拋物線方程為，準線方程：點M到焦點距離與到準線距離相等解得：拋物線方程為把代入得：三、求角例3. 過拋物線焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影分別為，則_。A. 45 B. 60 C. 90 D. 120圖1解：如圖1，由拋物線的定義知：則由題意知：即故選C。四、求三角形面積例4. 設O為拋物線的頂點，F(xiàn)為拋物線的焦點且PQ為過焦點的弦，若，。求OPQ的面積。解析：如圖2，不妨設拋物線方程為，點、點圖2則由拋物線定義知：又，則由得：即又PQ為過焦點的弦，所以則所以，點評：將焦點弦分成兩段，利用定義將焦點弦長用兩端點橫坐標表示，結合拋物線方程，利用韋達定理是常見的基本技能。五、求最值例5. 設P是拋物線上的一個動點。（1）求點P到點A（-1，1）的距離與點P到直線的距離之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。解：（1）如圖3，易知拋物線的焦點為F（1，0），準線是由拋物線的定義知：點P到直線的距離等于點P到焦點F的距離。于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A（-1，1）的距離與點P到F（1，0）的距離之和最小。顯然，連結AF交曲線于P點，則所求最小值為，即為。圖3（2）如圖4，自點B作BQ垂直準線于Q交拋物線于點，則，則有即的最小值為4圖4點評：本題利用拋物線的定義，將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，從而構造出“兩點間線段距離最短”，使問題獲解。六、證明例6. 求證：以拋物線過焦點的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準線相切。證明：如圖5，設拋物線的準線為，過A、B兩點分別作AC、BD垂直于，垂足分別為C、D。取線段AB中點M，作MH垂直于H。圖5由拋物線的定義有：ABDC是直角梯形即為圓的半徑，而準線過半徑MH的外端且與半徑垂直，故本題得證。拋物線與面積問題拋物線與面積相結合的題目是近年來中考數(shù)學中常見的問題。解答此類問題時，要充分利用拋物線和面積的有關知識，重點把握相交坐標點的位置及坐標點之間的距離，得出相應的線段長或高，從而求解。例1. 如圖1，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標為（1，0）。點C（0，5）、點D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點。圖1（1）求拋物線的解析式；（2）求MCB的面積。解：（1）設拋物線的解析式為，根據(jù)題意得，解得所求的拋物線的解析式為（2）C點坐標為（0，5），OC5令，則，解得B點坐標為（5，0），OB5，頂點M的坐標為（2，9）過點M作MNAB于點N，則ON2，MN9例2. 如圖2，面積為18的等腰直角三角形OAB的一條直角邊OA在x軸上，二次函數(shù)的圖像過原點、A點和斜邊OB的中點M。圖2（1）求出這個二次函數(shù)的解析式和對稱軸。（2）在坐標軸上是否存一點P，使PMA中PAPM，如果存在，寫出P點的坐標，如果不存在，說明理由。解：（1）等腰直角OAB的面積為18，OAOB6M是斜邊OB的中點，點A的坐標為（6，0）點M的坐標為（3，3）拋物線，解得解析式為，對稱軸為（2）答：在x軸、y軸上都存在點P，使PAM中PAPM。P點在x軸上，且滿足PAPM時，點P坐標為（3，0）。P點在y軸上，且滿足PAPM時，點P坐標為（0，3）。例3. 二次函數(shù)的圖像一部分如圖3，已知它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過點A（1，0）和點B（0，1）。圖3（1）請判斷實數(shù)a的取值范圍，并說明理由。（2）設此二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個交點為c，當AMC的面積為ABC面積的倍時，求a的值。解：（1）由圖象可知：；圖象過點（0，1），所以c1；圖象過點（1，0），則；當時，應有，則當代入得，即所以，實數(shù)a的取值范圍為。（2）此時函數(shù)，要使，可求得。例4. 如圖4，在同一直角坐標系內(nèi)，如果x軸與一次函數(shù)的圖象以及分別過C（1，0）、D（4，0）兩點且平行于y軸的兩條直線所圍成的圖形ABDC的面積為7。圖4（1）求K的值；（2）求過F、C、D三點的拋物線的解析式；（3）線段CD上的一個動點P從點D出發(fā)，以1單位/秒的速度沿DC的方向移動（點P不重合于點C），過P點作直線PQCD交EF于Q。當P從點D出發(fā)t秒后，求四邊形PQFC的面積S與t之間的函數(shù)關系式，并確定t的取值范圍。解：（1）點A、B在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABDC的面積為7。（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得（3）PD1ttOP4t即。拋物線1已知拋物線D：y2=4x的焦點與橢圓Q：的右焦點F1重合，且點在橢圓Q上。（）求橢圓Q的方程及其離心率；（）若傾斜角為45的直線l過橢圓Q的左焦點F2，且與橢圓相交于A，B兩點，求ABF1的面積。解：（）由題意知，拋物線的焦點為（1，0）橢圓Q的右焦點F1的坐標為（1，0）。 又點在橢圓Q上， 即 由，解得 橢圓Q的方程為 離心離 （）由（）知F2（1，0）直線l的方程為 設由方程組 消y整理，得 又點F1到直線l的距離 2如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求AMN面積最大時直線l的方程，并求AMN的最大面積 解法一 由題意，可設l的方程為y=x+m,其中5m0 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 點A到直線l的距離為d= S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128 S8,當且僅當22m=5+m,即m=1時取等號 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 解法二 由題意，可設l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0m5 由方程組,消去x,得y 24 y 4m=0 直線l與拋物線有